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O 2 2 y x Page 3 http://msenlp free Bac Pro tert Exercices sur les fonctions exponentielles 3/7 Exercice 2 Un transporteur achète en 2002 un véhicule

2) Soit la fonction g définie sur l'intervalle [50 ; 1 200] par g(x) = 200 ln(x) (D' après sujet de Bac Pro Exploitation des Transports – Logistique Session 2004)

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Exercices sur les fonctions exponentielles 1/7

EEXXEERRCCIICCEESS SSUURR LLEESS FFOONNCCTTIIOONNSS EEXXPPOONNEENNTTIIEELLLLEESS

Exercice 1

Un atelier confectionne

des maillots de bain "dos nageur » dont le modèle est présenté ci- contre.

Pour compléter l"esquisse du " dos nageur » ci-après, on considère la fonction f définie par

3( ) 6 4

x f x e -= + sur l"intervalle [0 ; 20].

1) La dérivée f " de la fonction f est définie par :

3"( ) 2

x f x e -= - sur l"intervalle [0 ; 20] Etudier le signe de f "(x) sur l"intervalle [0 ; 20].

2) Compléter le tableau de variation de la fonction f ci-dessous.

x 0 20

Signe de "f

Variation de f

3) Compléter le tableau de valeurs de la fonction

f ci-dessous.

Chaque résultat sera arrondi à 0,1.

x 0 2 4 6 8 10 14 20 )(xf 7,1 4,8 4,4 4,1

4) Tracer la courbe

Cf représentative de la fonction f sur l"intervalle [0 ; 20].

5) Compléter la représentation graphique en construisant le symétrique de la courbe

Cf par

rapport à l"axe des ordonnées.

6) En utilisant la représentation graphique, donner les cordonnées du point M puis vérifier que

ce point appartient à la courbe Cf.

7) En utilisant l"expression

3"( ) 2

x f x e -= -, calculer f " (0).

8) L"équation de la droite (AM) tracée sur le graphique est

102+-=xy.

Justifier que cette droite est la tangente à la courbe

Cf au point M.

D"après sujet de Bac Pro Artisanat et Métiers d"art Session 2006) http://msenlp.free.fr

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2/7 A M B O 2 2 y x

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Exercices sur les fonctions exponentielles 3/7

Exercice 2

Un transporteur achète en 2002 un véhicule fourgon de 9 tonnes au prix de 50 200 euros, taxes comprises. Compte tenu du nombre de kilomètres parcourus, le véhicule perd 20 % de sa valeur chaque année.

La perte de chaque année est calculée sur la valeur résiduelle de l"année précédente.

Partie I : Étude d"une situation

1) Calculer la valeur résiduelle du fourgon en 2003, 2004, 2005

2) Les valeurs du véhicule en 2002, 2003, 2004, 2005 forment une suite de nombres.

Préciser la nature et la raison de cette suite de nombres

3) Donner l"expression de la valeur résiduelle V

n du véhicule pour l"année n, l"année 2002 étant considérée comme la première année.

Partie II : Étude d"une fonction

Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x de l"intervalle [0 ; 10] par : f (x) = 50 200×0,8x On rappelle que cette fonction est décroissante sur l"intervalle [0 ; 10]

1) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Arrondir les valeurs de

f(x) à la centaine. x 0 1 2 3 5 7 8 10 f(x) 50 200 25 700 5 400

2) Dans le repère ci-dessous :

a) Placer les points de coordonnées ( x ; f(x)) calculées précédemment b) Tracer la courbe représentative de f.

3) Déterminer graphiquement la valeur de

x pour laquelle f(x) = 12 500, en laissant apparents les traits permettant la lecture graphique

Partie III : Exploitation des résultats

Le propriétaire du véhicule fourgon décide qu"il faut remplacer ce véhicule lorsque sa valeur

est inférieure à 12 500 euros.

En vous aidant de l"étude précédente, déterminer l"année au cours de laquelle il remplacera le

véhicule.

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Exercices sur les fonctions exponentielles 4/7

(D"après sujet de Bac Pro Exploitation des transports Session 2002)

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Exercices sur les fonctions exponentielles 5/7

Exercice 3

Pour rentabiliser son entreprise un carrossier fait l"acquisition d"une machine dont le prix d"achat est 10 000 euros. Cette machine perd chaque année 10 % de la valeur de l"année précédente.

On appelle V

1, V2 et V3 les valeurs de la machine au bout de 1, 2 et 3 ans de fonctionnement.

Partie A : Étude d"une suite

1) Calculer V

1, V2 et V3.

2) Montrer que V

1, V2 et V3 sont les premiers termes d"une suite géométrique (Vn) où n est un

nombre entier positif. Préciser sa raison.

3) Montrer que V

n = 9 000×0,9(n - 1).

4) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Les résultats seront arrondis au centième.

n 1 3 4 5 7 8 10

Vn 9 000 5 904,9 4 304,67 3 486,78

5) Placer les points de coordonnées (

n ; Vn) dans le repère suivant.

Partie B : Étude de fonctions

1) Soit

f la fonction définie sur l"intervalle [1 ; 10] par : f (x) = 10 000×0,9x. a) Vérifier que : f (1) = V1, f (2) = V2, f (3) = V3. b) Exprimer f (n) en fonction de n. c) En remarquant que 10 000×0,9 = 9 000, déduire que f (n) = Vn

2) On donne le tableau de variation de la fonction

f. x 1 10

Signe de f "(x) -

f 9 000

3486,78

Construire la représentation graphique de la fonction f sur l"intervalle [1 ; 10] en utilisant le repère ci-dessous.

3) Déterminer graphiquement le temps au bout duquel la machine perd la moitié de sa valeur

initiale.

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Exercices sur les fonctions exponentielles 6/7

D"après sujet de Bac Pro Carrosserie option construction et réparation Session juin 2006)

Exercice 4

Au mois de décembre 1998, le chiffre d"affaires hors taxe d"un magasin spécialisé dans la vente de téléphones portables était de 200 000 €.

Pour l"année 1999, le responsable du magasin prévoit un taux d"augmentation du chiffre

d"affaires hors taxe de 8 % par mois.

Soit la fonction

f définie pour un nombre réel x de l"intervalle [0 ; 12] par : f (x) = 200 000 ×1,08x

1) Représenter et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

x 1 2 3 4 5 6 f(x) 216 000,00 233 280,00 251 942,40 272 097,79 293 865,62 317 374,86 x 7 8 9 10 11 12 f(x)

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Exercices sur les fonctions exponentielles 7/7

2) À l"aide du tableau de valeurs, représenter graphiquement la fonction

f dans le repère orthogonal ci-après. Echelle : en abscisse : 0,5 cm pour 1 en ordonnée : 0,5 cm pour 20 0000.

3) a) Calculer

f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) qui est le chiffre d"affaires prévisionnel cumulé sur le premier semestre 1999. b) Quel est le chiffre d"affaires mensuel moyen prévu pour ce semestre ?

Sera-t-il atteint : en mars ? en avril ?

4) a) Pour quel mois de l"année 1999, le chiffre d"affaires sera presque le double de celui de

décembre 1998 ? b) Résoudre l"équation suivante : 200 000 ×1,08 x = 400 000. Écrire la valeur approchée par

défaut à l"unité près de la solution de cette équation. Quel résultat retrouve-t-on ainsi ?

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Exercice 1

Un atelier confectionne

3( ) 6 4

1) La dérivée f " de la fonction f est définie par :

3"( ) 2

2) Compléter le tableau de variation de la fonction f ci-dessous.

Signe de "f

Variation de f

3) Compléter le tableau de valeurs de la fonction

Chaque résultat sera arrondi à 0,1.

4) Tracer la courbe

5) Compléter la représentation graphique en construisant le symétrique de la courbe

Cf par

6) En utilisant la représentation graphique, donner les cordonnées du point M puis vérifier que

7) En utilisant l"expression

3"( ) 2

8) L"équation de la droite (AM) tracée sur le graphique est

102+-=xy.

Cf au point M.

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Exercice 2

Partie I : Étude d"une situation

1) Calculer la valeur résiduelle du fourgon en 2003, 2004, 2005

2) Les valeurs du véhicule en 2002, 2003, 2004, 2005 forment une suite de nombres.

3) Donner l"expression de la valeur résiduelle V

Partie II : Étude d"une fonction

1) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Arrondir les valeurs de

2) Dans le repère ci-dessous :

3) Déterminer graphiquement la valeur de

Partie III : Exploitation des résultats

Exercice 3

On appelle V

1, V2 et V3 les valeurs de la machine au bout de 1, 2 et 3 ans de fonctionnement.

Partie A : Étude d"une suite

1) Calculer V

1, V2 et V3.

2) Montrer que V

1, V2 et V3 sont les premiers termes d"une suite géométrique (Vn) où n est un

3) Montrer que V

4) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Les résultats seront arrondis au centième.

Vn 9 000 5 904,9 4 304,67 3 486,78

5) Placer les points de coordonnées (

Partie B : Étude de fonctions

1) Soit

2) On donne le tableau de variation de la fonction

Signe de f "(x) -

3486,78

3) Déterminer graphiquement le temps au bout duquel la machine perd la moitié de sa valeur

Exercice 4

Soit la fonction

1) Représenter et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

2) À l"aide du tableau de valeurs, représenter graphiquement la fonction

3) a) Calculer

Sera-t-il atteint : en mars ? en avril ?

4) a) Pour quel mois de l"année 1999, le chiffre d"affaires sera presque le double de celui de

220 000

200 000

0 1 12 x