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EXERCICE 1Un sondage a été effectué auprès de vacanciers sur leurs pratiques sportives pendant leurs congés.

Ce sondage révèle que 45% des vacanciers fréquentent une salle de sport pendant leurs congés et parmi ceux-ci,

60% pratiquent la natation.

Parmi les vacanciers qui ne fréquentent pas une salle de sport, 70% pratiquent la natation. On choisit un vacancier au hasard. On considère les évènements suivants : S: " le vacancier choisi fréquente une salle de sport » N: " le vacancier choisi pratique la natation ». 1. S 0,45N 0,6 N0,4

S0,55N

0,7

N0,32.(a)S∩N: " le vacancier choisi fréquente une salle de sport et pratique la natation » .

(b)P(S∩N) =P(S)PS(N) = 0,45×0,6 = 0,27.

3. Montrer queP(N) =P(S)PS(N) +P(

S)PS(N) = 0,55×0,7 + 0,27 = 0,655.

4.PN(S) =P(S∩N)

P(N)=0,270,655≈0,4122 arrondi à 10-4près.

5. On répète 4 fois de manière identique et indépendante l"épreuve : " on interroge un vacancier ».Xla variable

aléatoire qui donne le nombre de ces vacanciers pratiquant la natation pendant leurs congés suit une loi binomiale.

(a)Xsuit la loi binomiale de paramètres 4 et 0,655. (b)P(X= 2)≈0,3064 arrondi à 10-4près. EXERCICE 2Cet exercice comporte deux parties largement indépendantes

Partie A

Dans un petit village, la mairie a organisé une fête locale : un certain nombre d"entrées gratuites ont été distribuées

aux habitants et des stands ont été installés pour la vente deproduits locaux.

Les organisateurs estiment que 40% des visiteurs de la fête ont eu une entrée gratuite, les autres ont payé leur

entrée.

De plus, parmi les visiteurs ayant une entrée gratuite, 45% ont effectué un achat dans un des stands. Parmi ceux

ayant payé leur entrée, 60% n"ont rien acheté. On interroge au hasard un des visiteurs de la fête à la fin de la journée.

On note

Gl"évènement : " le visiteur a eu une entrée gratuite », Al"évènement : " le visiteur a effectué un achat ».

On notera

Gl"évènement contraire deGetAl"évènement contraire deA.

1. La probabilitéPG(A) est donnée par l"énoncé : " .... parmi les visiteurs ayant une entrée gratuite .... 45% ont

effectué un achat ... », doncPG(A) = 0,45 .

2. Recopier et compléter sur votre copie l"arbre de probabilité ci-dessous

G 0,4A 0,45 A0,55 G0,6A 0,4 A0,6

3. L"évènement suivant : " le visiteur a payé son entrée et a effectué un achat » a pour probabilitéP(

G∩A) =

G)PG(A) = 0,6×0,4 = 0,24.

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4.P(A) =P(G)PG(A) +P(G)PG(A) = 0,4×0,45 + 0,24 = 0,42. La probabilité que le visiteur ait effectué un

achat est bien 0,42. 5.PA(

G) =P(G∩A)

P(A)=0,240,42≈0,57 arrondi à 0,01 près.

Partie B

Dans cette partie, on arrondira les résultats à0,01près On rappelle que la probabilité qu"un visiteur ait effectué unachat vaut 0,42.

On interroge un groupe de 15 visiteurs.

Dans cette question, on suppose que la réponse d"un visiteurest indépendante de celle des autres visiteurs. SoitX

qui compte le nombre de visiteurs qui ont effectué un achat surles 15 interrogés.

1.P(X= 10)≈0,03 arrondi à 0,01 près.

2.P(X?5)≈0,34 arrondi à 0,01 près.

3.P(X?8) = 1-P(X?7)≈1-0,74≈0,26 arrondi à 0,01 près.

EXERCICE 3Les parties A, B sont dans une large mesure indépendantes

Un magasin de vêtements a constitué un stock d"un certain type de pantalons venant de trois fabricantsf1, f2, et

f 3. Certains de ces pantalons présentent un défaut.

Pour tout évènementEon note

Eson évènement contraire etp(E) sa probabilité.

Partie A

60% du stock provient du fabricantf1, 30% du stock provient du fabricantf2, et le reste du stock provient du

fabricantf3. La qualité de la production n"est pas la même selon les fabricants.

Ainsi :

6% des pantalons produits par le fabricantf1sont défectueux

4% des pantalons produits par le fabricantf2sont défectueux

2% des pantalons produits par le fabricantf3sont défectueux.

On prélève au hasard un pantalon dans le stock. On considère les évènements suivants :

1: " le pantalon a été fabriqué parf1»;

2: " le pantalon a été fabriqué parf2»;

3: " le pantalon a été fabriqué parf3»;

D: " le pantalon est défectueux ».

1. Probabilité de l"évènementF3:P(F3) = 1-P(F1)-P(F2) = 1-0,3-0,6 = 0,1.

2.(a) OK.

(b)P(D) = 0,6×0,06 + 0,3×0,04 + 0,1×0,02 = 0,05. (c) L"évènement : " le pantalon est sans défaut » est

Dde probabilitéP(D) =

1-P(D) = 0,95.

3.PD(F1) =P(D∩F1)

P(D)=0,6×0,060,05= 0,72.F

1 0,6D 0,06 D0,94 F 2 0,3D 0,04 D0,96 F 3

0,1D0,02

D0,98

Partie B

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Dans toute cette partie, on admet que le pourcentage de pantalons du stock présentant un défaut est égal à 5%.

On choisit au hasard un lot de 3 pantalons dans le stock. On suppose que le stock est suffisamment important pour

que ce choix puisse être assimilé à 3 tirages indépendants avec remise.

On appelleXla variable aléatoire qui dénombre les pantalons présentant un défaut dans le lot de 3 pantalons prélevés.

1. La loi de probabilité suivie parXest la loi binomiale de paramètres 3 et 0,05.

2.P(X= 1)≈0,135.

3.P(X?1) = 1-P(X= 0)≈1-0,857≈0,143 arrondi au millième.

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[PDF] [PDF] TD 12 : Probas et loi binomiale (Correction) EXERCICE 1 Un

60% pratiquent la natation.

S0,55N

3. Montrer queP(N) =P(S)PS(N) +P(

S)PS(N) = 0,55×0,7 + 0,27 = 0,655.

4.PN(S) =P(S∩N)

5. On répète 4 fois de manière identique et indépendante l"épreuve : " on interroge un vacancier ».Xla variable

Partie A

On note

On notera

1. La probabilitéPG(A) est donnée par l"énoncé : " .... parmi les visiteurs ayant une entrée gratuite .... 45% ont

2. Recopier et compléter sur votre copie l"arbre de probabilité ci-dessous

3. L"évènement suivant : " le visiteur a payé son entrée et a effectué un achat » a pour probabilitéP(

G∩A) =

G)PG(A) = 0,6×0,4 = 0,24.

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4.P(A) =P(G)PG(A) +P(G)PG(A) = 0,4×0,45 + 0,24 = 0,42. La probabilité que le visiteur ait effectué un

G) =P(G∩A)

Partie B

On interroge un groupe de 15 visiteurs.

1.P(X= 10)≈0,03 arrondi à 0,01 près.

2.P(X?5)≈0,34 arrondi à 0,01 près.

3.P(X?8) = 1-P(X?7)≈1-0,74≈0,26 arrondi à 0,01 près.

Pour tout évènementEon note

Partie A

60% du stock provient du fabricantf1, 30% du stock provient du fabricantf2, et le reste du stock provient du

Ainsi :

6% des pantalons produits par le fabricantf1sont défectueux

4% des pantalons produits par le fabricantf2sont défectueux

2% des pantalons produits par le fabricantf3sont défectueux.

1: " le pantalon a été fabriqué parf1»;

2: " le pantalon a été fabriqué parf2»;

3: " le pantalon a été fabriqué parf3»;

D: " le pantalon est défectueux ».

1. Probabilité de l"évènementF3:P(F3) = 1-P(F1)-P(F2) = 1-0,3-0,6 = 0,1.

2.(a) OK.

Dde probabilitéP(D) =

1-P(D) = 0,95.

3.PD(F1) =P(D∩F1)

P(D)=0,6×0,060,05= 0,72.F

0,1D0,02

Partie B

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1. La loi de probabilité suivie parXest la loi binomiale de paramètres 3 et 0,05.

2.P(X= 1)≈0,135.

3.P(X?1) = 1-P(X= 0)≈1-0,857≈0,143 arrondi au millième.

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