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2 Fonctions quadratiques, graphes et optimisation 17 Problèmes mélangés 1 1 Résoudre graphiquement dans R2 les inéquations suivantes a) 2x + 3y A l' aide d'un tableau de valeurs, de -5 à 5, tracer le graphique de chacune de ces deux Source : Office fédéral de la statistique, site web Statistique suisse 2012

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dernières années sur des problèmes (discrets) d'optimisation pour le cycle 3 qui d'abord de les résoudre puis d'indiquer les savoirs mathématiques qu'ils y identifiaient de discriminer les différentes fonctions des nombres dans un tableau de (On peut poser le problème : un chocolatier fabrique 2 748 chocolats, son

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pour résoudre ce type de problèmes sera divisée en deux étapes principales : a) La modélisation l'objectif poursuivi par l'entreprise, ce qui se traduira par une fonction à optimiser de ces ateliers sont donnés dans le tableau ci-dessous Ces temps de pains au chocolat et de croissants lors de la pause de 10 heures

Résoudre des problèmes, un atout pour réussir - OECD

la Norvège, les Pays-Bas, le Portugal, le Royaume-Uni, la Suède, la Suisse et la de 15 ans sur cinq environ est capable de résoudre des problèmes de manière Tableau 2 1 Pourcentage d'élèves à chaque niveau de compétence de conçus pour optimiser la qualité de l'échantillonnage en fonction des estimations

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4 3 4 Programmation linéaire ou comment optimiser une fonction à 2 variables? portionnelles que sont la distance et le temps par un tableau Temps (en min) x 15 45 60 75 (c) Résoudre cette équation et en déduire les deux nombres Activité variables sont utilisées pour répondre à certains problèmes Quelquefois 

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au chocolat (lien vers le · site de la Il faut donc faire bien attention à traiter ce problème pour tous les x réels sauf −1 Et on écrit, 1 Ces entiers naturels permettaient de résoudre des équations du type x +3=5 par exemple de tableau que l'on appelle communément triangle de Pascal 1822), mathématicien suisse,

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d'économétrie Université de Genève 40, boulevard du Pont d'Arve 1211 Genève 4 Suisse 35 , 30 , 20 , 10 et 5 des fois par une panne dans les composantes Calculer la probabilité qu'il y ait exactement 2 pépites de chocolat 3 On construit le tableau de probabilités et on calcule l'espérance pour U1

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Programmation linéaire

2 eOption spécifique

Jean-Philippe Javet

x3 x 4 x 5x

1x2x3x4x5¨°°3 4 1 0 0 42001 3 0 1 0 24002 2 0 0 1 2600

100 120 0 0 0 0

http://www.javmath.ch

Table des matières

1 Introduction 1

1.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1

1.2 Un exemple résolu par voie graphique . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2

2 Résolution de systèmes d"inéquations à 2 ou 3 variables 5

2.1 Inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5

2.2 Système d"inéquations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 8

2.3 Ensembles convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 12

2.3.1 Quelques propriétés des ensembles convexes . . . . . . . .. . . . . . . . . . 12

3 Traduction des problèmes en langage mathématique 15

3.1 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15

4 Résolution graphique d"un problème à 2 variables 21

4.1 Reprenons l"exemple résolu au premier chapitre . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Résolution graphique d"un problème de minimisation . . .. . . . . . . . . . . . . . 22

5 Résolution graphique d"un problème à 3 variables 25

5.1 Un exemple à 3 variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 25

5.2 Un théorème important . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 29

5.3 Exemple FIL ROUGE (à compléter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 29

6 Résolution par méthode algébrique 33

6.1 Variables d"écart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 33

6.2 Coefficients des variables d"écart dans la fonction économique . . . . . . . . . . . . . 34

6.3 Résolution complète de l"exemple FIL ROUGE . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 36

6.4 Marche à suivre de la méthode algébrique . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 46

6.5 Exemple accompagné(reprise de l"exercice 3.1 déjà étudié en page 17): . . . . . . . . . 47

7 Résolution par la méthode du simplexe 55

7.1 Résolution du problème FIL ROUGE par la méthode du simplexe . . . . . . . . . . 55

7.2 Marche à suivre de la résolution matricielle . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 60

I II

7.3 Les variables dans et hors programme dans la résolution matricielle . . . . . . . . . 61

7.4 Exemple accompagné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 62

7.5 Quelques remarques pour terminer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 66

8 OpenOffice pour résoudre des problèmes de P.L. 67

8.1 Résolution de l"exemple accompagné(cf. pages 47 et 62). . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.2 Quelques exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 70

A Quelques éléments de solutions I

A.2 Résolution de systèmes d"inéquations . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . I

A.3 Traduction des prob. en langage mathématique . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . II A.4 Résolution graphique d"un prob. à 2 variables . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . IV A.5 Résolution graphique d"un prob. à 3 variables . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . IV

A.6 Résolution par méthode algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . V

A.7 Résolution par méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . VI A.8 OpenOffice pour résoudre des problèmes de P.L. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . VII

Index VIII

1

Introduction

1.1 Préambule

Laprogrammation linéairepeut se définir comme une technique mathématique permettant

de résoudre des problèmes de gestion et particulièrement ceux où le gestionnaire doit déterminer,

face à différentes possibilités, l"utilisation optimale des ressources de l"entreprise pour atteindre

un objectif spécifique comme la maximisation des bénéfices oula minimisation des coûts. Dans la

plupart des cas, les problèmes de l"entreprise pouvant êtretraités par la programmation linéaire

comportent un certain nombre de ressources. On peut mentionner, par exemple,la main-d"œuvre,

les matières premières, les capitaux, ... qui sont disponibles en quantité limitée et qu"on veut

répartir d"une façon optimale entre un certain nombre de processus de fabrication. Notre approche

pour résoudre ce type de problèmes sera divisée en deux étapes principales :

a) La modélisationdu problème sous forme d"équations ou d"inéquations linéaires qui permet-

tra ainsi de bien identifier et structurer les contraintes que doivent respecter les variables du

modèle; de plus, on doit définir l"apport de chaque variable àl"atteinte de l"objectif poursuivi

par l"entreprise, ce qui se traduira par une fonction à optimiser. b)La détermination de l"optimum mathématiqueà l"aide de certaines techniques propres à la programmation linéaire.

Nous étudierons 3 méthodes pour résoudre les différents types de problèmes de programmation

linéaire; la première est basée sur une résolution graphique, elle est donc limitée à 2 ou 3 variables.

La deuxième méthode est plus algébrique et elle justifiera latroisième qui porte le nom de

méthode (ou algorithme) du simplexe.

Plan général du polycopié :

(I)Un exemple résolu par voie graphique (II)Résolution de systèmes d"inéquations à 2 ou 3 variables (III)Traduction des problèmes en langage mathématique (IV)Résolution de problèmes de programmation linéaire à 2 variables par voie graphique (V)Résolution de problèmes de programmation linéaire à 3 variables par voie graphique (VI)Résolution de problèmes de programmation linéaire par méthode algébrique (VII)Résolution de problèmes de programmation linéaire par méthode du simplexe 1

2 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

1.2 Un exemple résolu par voie graphique

Problème:La direction d"une usine de meubles a constaté qu"il y a des temps morts dans chacun des départements de l"usine. Pour remédier à cette situation, elle décide d"utiliser ces temps morts pour fabri- quer deux nouveaux modèles de bureaux,M1etM2. Les temps de réalisation pour chacun de ces modèles dans les ateliers de sciage, d"assemblage et de sablage ainsi que les temps libres dans chacun de ces ateliers sont donnés dans le tableau ci-dessous. Ces temps représentent le nombre d"heures nécessaires à un homme pouref- fectuer le travail. Les profits que la compagnie peut réaliser pour chacun de ces modèles sont de Fr. 300.- pourM1et de Fr. 200.- pourM2.

M1M2Temps libres

Sciage 1 2 20

Assemblage 2 1 22

Sablage 1 1 12

La direction désire déterminer combien de bureaux de chaquemo- dèle elle doit fabriquer pour maximiser son profit. Solution:Posonsx1le nombre de bureaux du modèleM1etx2le nombre de bureaux du modèleM2. Les temps libres de chaque département imposent des contraintes qu"il faut respecter. La contrainte imposée par les temps libres à l"atelier de sciage : x les autres contraintes sont : x Il s"ajoute à ces contraintes des contraintes denon-négativité puisque le nombre de bureaux ne peut être négatif, on a donc : x

1ě0 etx2ě0

CHAPITRE 1. INTRODUCTION 3

Graphiquement les solutions réalisables sont les points dupolygone convexe de la figure suivante : x1

246810121416182022

x2 2 4 6 8 10

12x1`x2"122x

1`x 2"22 x1`2x2"20 La direction veut maximiser son profit, c"est-à-dire maximiser la fonction : fpx1;x2q "300x1`200x2 Pour chacune de ces solutions, c"est-à-dire pour chacun despoints du polygone convexe, la compagnie fera un profit positif. Si la com- pagnie fabrique trois exemplaires du modèleM1et deux exemplaires du modèleM2, le profit sera : fp3;2q "300¨3`200¨2"1300 (Fr.) Il ne saurait être question de calculer le profit réalisable pour chacun des points du polygone convexe. Pour avoir une vision globale du problème, représentons le profit réalisé par le paramètrep. On a :

300x1`200x2"p

qui représente une famille de droites parallèles. En isolantx2, on obtient : x

2" ´300x1

200`p200

x

2" ´3

2x1`p200

Il s"agit donc d"une famille de droites de pente´3{2 et dont l"ordon- née à l"origine estp{200. Parmi les droites de cette famille, seules celles ayant des points communs avec le polygone convexe nous inté- ressent. La fonctionfpx1;x2qatteindra sa valeur maximale lorsque l"ordonnée à l"originep{200 de la droite : x

2" ´3

2x1`p200

atteindra sa valeur maximum tout en passant par au moins un des points du polygone convexe.

4 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

x1

246810121416182022

x2 2 4 6 8 10

12x1`x2"122x

1`x 2"22 x1`2x2"20 Graphiquement on constate que la droite respectant ces conditions semble être la droite de la famille passant par le point-sommet p10;2q. Le profit est alors : fp10;2q "300¨10`200¨2"3400 (Fr.) Il reste à s"assurer algébriquement des coordonnées du point- sommet en résolvant le système : #2x1`x2"22 x

1`x2"12ñ"x1"10

x 2"2 2 Résolution de systèmes d"inéquations à 2 ou 3 variables

2.1 Inéquations linéaires

Cette partie est consacrée à la présentation des définitionset des propriétés des inéquations, de systèmes d"inéquations linéaires et d"ensemble-solution des systèmes d"inéquations linéaires. Nous ac- corderons de l"importance à ces définitions parce qu"elles sont in- dispensables pour la compréhension des démarches de résolution de problèmes de programmation linéaire. Définition:Uneinéquation linéaireest une expression de la forme : a oùxisont les variables (ou inconnues), lesaisont les coefficients des variables,best une constante etnest le nombre d"inconnues.

Remarque:Une expression de la forme :

a

1x1`a2x2`a3x3` ¨¨¨ `anxněb

est également une inéquation linéaire àninconnues. Cependant, en multipliant les deux termes de l"inéquation par un nombre négatif, on change également le sens de l"inégalité. On peut donc toujours exprimer une inéquation linéaire sous la forme : a et nous utiliserons cette forme dans toutes les définitions. Définition:On appellerasolution d"une inéquation linéaireàninconnues de la forme : a toutn-tuplet :pk1;k2;k3;...;knqpour lequel : a 5

6 CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D"INÉQUATIONS À 2 OU 3 VARIABLES

Ce n"est pas la seule solution de cette inéquation; les couplesp0;0q, p1;2q,p3;1qsont également des solutions. L"ensemble des solutions de cette inéquation est un demi-plan dans le système d"axesOx1x2. Lafrontièrede ce demi-plan est la droite

2x1`3x2"9

x1´112345 x2 ´1 1 2 3

2x1`3x2ă9

2x1`3x2ą92x

1`3x 2"9 Constatations:Pour déterminer l"ensemble-solution d"une inéquation linéaire à deux inconnues, on commence par tracer la droite-frontière, puis à l"aide d"un couple, on détermine par substitution de quel côté de la frontière sont les couples qui satisfont à l"inéquation.Lorsque l"in- équation ne comporte qu"une inégalité stricte < ou > la frontière ne fait pas partie de l"ensemble-solution de l"inéquation.

Exemple 2:

´112345x1

´1 1 2 3 x2 x

1`2x2ă5Représenter l"ensemble-solution de l"inéquationx1`2x2ă5 :

Exercice 2.1:Représenter l"ensemble-solution des inéquations proposées :

´112345x1

´1 1 2 3 x2 x

´112345x1

´1 1 2 3 x2

4x1`6x2ą12

CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D"INÉQUATIONS À 2 OU 3 VARIABLES 7 x3 x 2 x 1 p0;0;b{a3q p0;b{a2;0q pb{a1;0;0qLorsque l"inéquation comporte trois inconnues, la frontière est un plan. Ainsi la frontière de l"inéquation : a est un plan coupant les axes aux points représentant le triplet : pb{a1;0;0q;p0;b{a2;0q;p0;0;b{a3q

En effet :

Lorsqu"on représente un tel plan, il est d"usage de représenterles traces du plansur les plans du système d"axes. On ne donne en fait qu"une partie du plan puisque celui-ci s"étend à l"infini. Exemple 3:Représenter l"ensemble-solution de l"équation 4x1`6x2`3x3"12 :

1234x2

1 2 3 4x3 1 2 3 4 x 1 Exercice 2.2:Représenter l"ensemble-solution des équations proposées:

1234x2

1 2 3 4x3 1 2 3 4 x 1

6x1`8x2`12x3"24

1234x2

1 2 3 4x3 1 2 3 4 x 1

2x1`3x2"6

8 CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES D"INÉQUATIONS À 2 OU 3 VARIABLES

Le plan, ensemble solution d"une équation à 3 inconnues, divise l"espace en deuxdemi-espaces. L"un de ces demi-espaces en union avec la frontière forme l"ensemble-solution d"une inéquation linéaire

à trois inconnues.

Lorsque l"inéquation comporte plus de trois inconnues, on ne peut plus représenter l"ensemble-solution graphiquement; cependant, les définitions seront toujours posées à partir des systèmes d"inéqua- tions àninconnues. Définition:L"ensemble-solution d"une inéquation de la forme : a est appelédemi-espace fermé. Si l"inéquation est définie par une inégalité stricte (<), ledemi- espace est ditouvert. La frontière de ce demi-espace est l"ensemble- solution de l"équation linéaire : a

1x1`a2x2`a3x3` ¨¨¨ `anxn"b

Cet ensemble-solution est appelé unhyperplande

?n.

2.2 Système d"inéquations linéaires

Définition:On appellesystème deminéquations linéaires àninconnues un système de la forme : %a a aquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39