Exercice 7 : Mesures quantiques et évolution temporelle En physique quantique, l'état d'une particule ne peut être prédit : on connaıt seulement sa probabilité
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Licence 3 Semestre 2Quantique
Travaux dirig´es de m´ecanique quantique
olivier.legrand@unice.fr anders.kastberg@unice.fr olivier.alibart@unice.frFormalisme math
ematiqueExercice 1 :Commutateurs et traces
1.Montrer que
[A,BC] =B[A,C] + [A,B]C(1)2.La trace d"un op´erateur est la somme des ´el´ements diagonaux de sa matrice repr´esentative dans une
base donn´ee TrA=? nA nn(2)Montrer que
TrAB= TrBA(3)
et en d´eduire que la trace est invariante dans un changement de baseA→A?=SAS-1. La trace d"un
op´erateur est (heureusement!) ind´ependante de la base.3.Montrer que la trace est invariante par permutation circulaire
TrABC= TrBCA= TrCAB(4)
Exercice 2 :D´eterminant et trace
1.Soit une matriceA(t) d´ependant d"un param`etretv´erifiant
dA(t) dt=A(t)B Montrer queA(t) =A(0)exp(Bt). Quelle est la solution de dA(t) dt=BA(t)?2.Montrer que
deteAt1×deteAt2= deteA(t1+t2)
et que deteA= eTrA
ou de fa¸con ´equivalente detB= eTr lnB(1)Suggestion : obtenir une ´equation diff´erentielle pour l"op´erateurg(t) = det[exp(At)]. Les r´esultats sont
´evidents siAest diagonalisable.
Exercice 3 :Commutateurs et valeur propre d´eg´en´er´eeSoit trois matricesN×N A,BetCqui v´erifient
[A,B] = 0 [A,C] = 0 [B,C]?= 0 Montrer qu"au moins une valeur propre deAest d´eg´en´er´ee.2014/20151
Licence 3 Semestre 2Quantique
Exercice 4 :Matrices normales
Une matriceCest ditenormalesi elle commute avec la matrice hermitique conjugu´ee CC=CC
En ´ecrivant
C=12(C+C) + i12i(C-C) =A+ iB
montrer queCest diagonalisable. Exercice 5 :Matrices normales et d´ecomposition spectrale (`a chercherseul!)On se propose de d´emontrer le th´eor`eme de d´ecomposition spectrale d"un op´erateur normalMsans
faire appel `a la diagonalisabilit´e des op´erateurs hermitiques. Ainsi, comme il est ais´e de montrer que les
op´erateurs hermitiques et les op´erateurs unitaires sont normaux, le th´eor`eme de d´ecomposition spectrale
pour ces deux classes d"op´erateurs en d´ecoule.On veut donc ´etablir le th´eor`eme suivant : Tout op´erateur normalMsur un espace de HilbertHest
diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee deH. R´eciproquement, tout op´erateur diagonalisable est
normal.1.Montrer la r´eciproque.
2.Pour d´emontrer la premi`ere proposition, on proc`ede par induction sur la dimensionddeH. Soitλ
une valeur propre deM,Ple projecteur sur le sous-espace propre associ´e `aλetQle projecteur sur le
compl´ement orthogonal `a ce sous-espace. On ´etablira d"abord queM=PMP+QMQ .(1)
D´emontrer ensuite queQMQest normal.
Par induction,QMQest diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee du sous-espace associ´e `aQet
PMPest d´ej`a diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee du sous-espace associ´e `aP. Il s"ensuit que
M=PMP+QMQest diagonal par rapport `a une base orthonorm´ee de l"espace total.3.Montrer qu"une matrice normale est hermitiquesi et seulement sielle poss`ede des valeurs propres
r´eelles.Exercice 6 :Identit´es op´eratorielles
1.Soit l"op´erateurf(t) fonction du param`etret
f(t) = etABe-tA o`u les op´erateursAetBsont repr´esent´es par des matricesN×N. Montrer que df dt= [A,f(t)]d2fdt2= [A,[A,f(t)]] etc.En d´eduire
e tABe-tA=B+t1![A,B] +t22![A,[A,B]] +...(1)
2.On suppose queAetBcommutent tous deux avec leur commutateur [A,B].´Ecrire une ´equation
diff´erentielle pour l"op´erateur g(t) = eAteBt et en d´eduire, par int´egration entret= 0 ett= 1, la relation eA+B= eAeBe-1
2[A,B](2)
Attention! Cette identit´e n"est pas g´en´eralementvalable. Elle n"est garantie que si [A,[A,B]] = [B,[A,B]] =
0. Montrer ´egalement avec les mˆemes hypoth`eses
eAeB= eBeAe[A,B](3)
2014/20152
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Postulats de la physique quantique
Exercice 7 :Mesures quantiques et ´evolution temporelleA. Mesure quantique
On consid`ere une base orthonorm´ee{|1?,|2?,|3?}o`u le hamiltonienHet une grandeur physiqueAsont repr´esent´es par les matrices :H=E0((
3 0 0 0 1 00 0-1))
etA=a(( 2 0 0 0 0 10 1 0))
(1) o`uE0etasont des constantes positives.1.a) On proc`ede `a une mesure de l"´energie. Quels r´esultats peut-on obtenir?
b) DiagonaliserA. c) On proc`ede `a une mesure de la grandeurA. Quels r´esultats peut-on obtenir?2.On pr´epare le syst`eme dans l"´etat :|ψ?=1
⎷3(|1?+|2?+|3?). a) Quelle est la probabilit´e pour qu"une mesure de l"´energie donne 3E0?b) Si le r´esultat d"une telle mesure est effectivement 3E0, quel est l"´etat du syst`eme apr`es la mesure?
c) Quel(s) r´esultat(s) donneraitalorsune mesure deA? Avec quelle(s) probabilit´e(s)?3.a) Quelle est la probabilit´e pour que l"´energie mesur´ee soitE0si le syst`eme est initialement dans l"´etat
|ψ?? Quel est l"´etat du syst`eme apr`es la mesure?b) Quels sontalorsles r´esultats possibles d"une mesure deA? Quelles sont les probabilit´es associ´ees?
c) On suppose que la mesure deAdonne-a. Quel est l"´etat du syst`eme apr`es la mesure?4.On effectue un grand nombre de mesures de l"´energie sur un grandnombre de syst`emes identiques tous
pr´epar´es dans l"´etat|ψ?. Quelle en est la moyenne?B. Mesure et ´evolution temporelle
L"´evolution du vecteur d"´etat d"un syst`eme quantique est r´egie par l"´equation de Schr¨odinger :
i?∂ ∂t|ψ(t)?=H|ψ(t)?.(2)o`u le hamiltonienHne d´epend pas du temps et poss`ede une base d"´etats propres{|φn?}, i.e.H|φn?=
E n|φn?, o`u l"on suppose que les ´energies propresEnsont non d´eg´en´er´ees.1.On d´ecompose le vecteur d"´etat dans cette base :|ψ(t)?=?
ncn(t)|φn?.Trouver l"´equation diff´erentielle que doit v´erifier chaque coefficientcn(t) et la r´esoudre.
2.Dans une base orthonorm´ee{|1?,|2?,|3?}, le hamiltonien a pour matrice repr´esentative :
H=?ω((
0 0 0 0 0 10 1 0))
(3) a) On suppose que le syst`eme est initialement dans l"´etat :|ψ(0)?=|3?.Calculer l"expression de|ψ(t)?dans la base{|φ0?,|φ+?,|φ-?}des ´etats propres deH, puis dans la base
initiale{|1?,|2?,|3?}. b) Quelle est la probabilit´eP2(t) pour que le syst`eme soit dans l"´etat|2?au tempst?3.On suppose maintenant que le syst`eme est initialement dans l"´etat:|ψ(0)?=1
⎷2(|1? - |2?). a) Calculer|ψ(t)?dans la base{|1?,|2?,|3?}.b) At=t0on mesure l"´energie et l"on trouve-?ω. Avec quelle probabilit´e? Que vaut|ψ(t)?pourt > t0?
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Exercice 8 :Dispersion et vecteurs propres
Montrer qu"une condition n´ecessaire et suffisante pour que|??soit vecteur propre d"un op´erateur hermi-
tiqueAest que la dispersion Δ?A= 0 o`u (Δ?A)2=?A2??-(?A??)2=?(A- ?A??I)2??.Exercice 9 :M´ethode variationelle
1.Soit|??un vecteur (non normalis´e) de l"espace de Hilbert des ´etats et un hamiltonienH. La valeur
moyenne?H??est ?H??=??|H|?? Montrer que si le minimum de cette valeur moyenne est obtenu pour|??=|?m?et le maximum pour |??=|?M?, alorsH|?m?=Em|?m?etH|?M?=EM|?M?
o`uEmetEMsont la plus petite et la plus grande valeur propre.3.SiHagit dans un espace `a deux dimensions, sa forme la plus g´en´erale est
H=?a+c b
b a-c? o`ubpeut toujours ˆetre choisi r´eel. En param´etrant|?(α)?sous la forme |?(α)?=?cosα/2 sinα/2?trouver les valeurs deα0en cherchant les extrema de??(α)|H|?(α)?. Retrouver ainsi que les vecteurs
propres deHsont |χ+?=?cosθ/2 sinθ/2? |χ-?=?-sinθ/2 cosθ/2? correspondant aux valeurs propresa+⎷ b2+c2eta-⎷b2+c2respectivement, l"angleθ´etant d´efini par c=? b2+c2cosθ b=? b2+c2sinθ . On notera que tanθ=b/c, et qu"il faut prendre garde `a choisir la bonne d´etermination deθ.Exercice 10 :Th´eor`eme de Feynman-Hellmann
Soit un op´erateur hermitiqueA(λ) d´ependant d"un param`etre r´eelλ,a(λ) une valeur propre simple et
|?(λ)?le vecteur propre normalis´e (||?(λ)||2= 1) correspondantA(λ)|?(λ)?=a(λ)|?(λ)?
Montrer que
∂a ?(λ)?(1) Exercice 11 :Op´erateur d"´evolution et repr´esentation de HeisenbergOn consid`ere un syst`eme dont l"hamiltonienHest ind´ependant du temps (syst`eme isol´e). Montrer que
le vecteur d"´etat `a l"instantt, not´e|ψ(t)?, se d´eduit du vecteur d"´etat `a l"instant initial|ψ(t0)?par la
formule : |ψ(t)?=U(t-t0)|ψ(t0)? avecU(τ) = exp[-iHτ/?].1.Montrer queU(τ) est unitaire.
2014/20154
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2.On note|ψ(0)?l"´etat de ce syst`eme `a l"instantt= 0. On s"int´eresse `a la valeur moyennea(t) des
r´esultats de mesures d"une observableA`a l"instantt.a.Exprimera(t) en fonction de|ψ(0)?,Aet de l"op´erateur d"´evolutionU(t) introduit plus haut.
b.Montrer quea(t) peut s"interpr´eter comme la valeur moyenne d"un op´erateurA(t) dans l"´etat|ψ(0)?,
et queA(t) est d´etermin´e par : i?dA(t) dt= [A(t),H] etA(0) =A.(1)Cette approche est appel´ee repr´esentation (ou point de vue)de Heisenberg : le vecteur d"´etat est
ind´ependant du temps, et les op´erateurs ob´eissent `a l"´equation de Heisenberg (1).Exercice 12 :Point de vue de l"interaction
Un point de vue interm´ediaire entre celui de Schr¨odinger et celui de Heisenberg est lepoint de vue
de l"interaction(ou de Dirac). On l"utilise lorsqu"il est naturel de d´ecomposer l"hamiltonienHen un
hamiltonienlibreH0ind´ependant du temps, que l"on sait diagonaliser, et un hamiltonien d"interaction
W(t).L"objectif est de se d´ebarrasser de l"´evolution connue deH0. On d´efinit le vecteur d"´etat|˜ψ(t)?dans le
point de vue de l"interaction par ˜ψ(t)?= exp[iH0t/?]|ψ(t)? |˜ψ(t= 0)?=|ψ(t= 0)? Le point de vue de l"interaction co¨ıncide avec celui de Heisenberg siW= 0.L"op´erateur d"´evolutionU(t) v´erifie
i?dU(t) dt= [H0+W(t)]U(t)On d´efinit l"op´erateur d"´evolution
˜U(t) dans le point de vue de l"interaction parU(t) =U0(t)˜U(t) o`uU0(t) = exp[-iH0t/?]
Montrer qu"on obtient l"´equation d"´evolution i?d˜U(t) dt=˜W(t)˜U(t) o`u˜W(t) =U-10(t)W(t)U0(t).(1) Exercice 13 :Relation d"incertitude temps-´energieOn consid`ere un syst`eme pr´epar´e dans un ´etat|ψ?dont la dispersion en ´energie vaut ΔE. On consid`ere
d"autre part une observableAde valeur moyenne?a?et de dispersion Δa. En utilisant les relations de commutation, montrer l"in´egalit´e suivante :ΔaΔE≥?
2???? d?a?dt????En d´eduire que si l"´echelle de temps typique d"´evolution d"un syst`eme est d´efinie parτ=|Δa/(d?a?/dt)|,
on a l"in´egalit´e :τΔE≥?/2. Exercice 14 :´Evolution temporelle d"un syst`eme `a deux niveauxPour commencer, consid´erons un atome qui poss`ede deux niveaux d"´energie +?ωet-?ω. L"hamiltonien
du syst`eme s"´ecritH=??ω0
0-ω?
dans la base|+?=?10? |-?=?01?2014/20155
Licence 3 Semestre 2Quantique
En l"absence de couplage, +?ωet-?ωsont les ´energies possibles du syst`eme, et les ´etats|+?et|-?sont
stationnaires (si l"on place le syst`eme dans l"un de ces ´etats, il y demeure ind´efiniment). Le probl`eme
consiste `a ´evaluer les modifications qui apparaissent lorsqu"on introduit un terme de couplageW=
??0B B0? qui va permettre au syst`eme de passer d"un ´etat `a l"autre. Notre syst`eme `a deux niveaux pr´esente donc un hamiltonienHrepr´esent´e par la matriceH=??ω B
B-ω?
On rappelle que les valeurs propres et vecteurs propres deHsont Eω2+B2|χ+?= cosθ2|+?+ sinθ2|-?
Eω2+B2|χ-?=-sinθ2|+?+ cosθ2|-?
avec cosθ=ω1.Le vecteur d"´etat|?(t)?au tempstpeut se d´ecomposer sur la base{|+?,|-?}
|?(t)?=c+(t)|+?+c-(t)|-?Ecrire le syst`eme d"´equations diff´erentielles coupl´ees auquelob´eissent les composantesc+(t) etc-(t).
2.On d´ecompose|?(t= 0)?sur la base{|χ+?,|χ-?}
|?(t= 0)?=|?(0)?=λ|χ+?+μ|χ-? |λ|2+|μ|2= 1Montrer quec+(t) =?+|?(t)?s"´ecrit
c +(t) =λe-iΩt/2cosθ2-μeiΩt/2sinθ2
avec Ω = 2ω2+B2:?Ω est la diff´erence d"´energie entre les deux niveaux. En d´eduire quec+(t) (de
mˆeme quec-(t)) v´erifie l"´equation diff´erentielle¨c+(t) +?Ω
2? 2 c +(t) = 03.On suppose quec+(0) = 0. En d´eduireλetμ`a une phase pr`es ainsi quec+(t). Montrer que la
probabilit´e de trouver le syst`eme au tempstdans l"´etat|+?est p +(t) = sin2θsin2?Ωt 2? =B2ω2+B2sin2?Ωt2?4.Montrer que sic+(t= 0) = 1 alors
c +(t) = cosΩt2-icosθsinΩt2
En d´eduirep+(t) etp-(t), et v´erifier la compatibilit´e du r´esultat avec celui de la question pr´ec´edente.
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Licence 3 Semestre 2Quantique
Spin 1/2, Polarisation et corr´elations quantiques Exercice 15 :D´ecomposition d"une matrice2×21.On introduit la notation :
ˆσ0=Iˆσi=σi, i= 1,2,3
Montrer que si une matrice 2×2Av´erifie Tr(ˆσiA) = 0?i= 0,...,3, alorsA= 0.2.Soit la matrice 2×2
A=λ0I+3?
i=1λ iσi=3? i=0λ iˆσiMontrer que
i=12Tr(Aˆσi)
En d´eduire qu"une matrice 2×2 quelconque peut toujours s"´ecrire A=3? i=0λ iˆσi A quelle condition doivent ob´eir les coefficientsλilorsqueAest hermitique?Exercice 16 :Exponentielles de matrices de Pauli
1.Montrer que
exp? -iθ2?σ·ˆn?
=Icosθ2-i(?σ·ˆn)sinθ2Suggestion : calculer (?σ·ˆn)2.
2.Une application bien instructive des matrices de rotations du type exp?-iθ
2?σ·ˆn?consiste `a voir
comment construire un vecteur propre (vecteur de spin propre ici) de l"op´erateur?σ·ˆnassoci´e `a la valeur
propre +1 et o`u ˆnest un vecteur de direction quelconque. Suggestion : Partez du vecteur propre +1 de
zet appliquez les transformations necessaires.Exercice 17 :Variables cach´ees et spin 1/2
En physique quantique, l"´etat d"une particule ne peut ˆetre pr´edit : on connaˆıt seulement sa probabilit´e
d"ˆetre dans l"´etataoub. En effet, les probabilit´es sont associ´ees `a des syst`emes quantiques individuels
alors qu"en physique classique les probabilit´es sont asscoi´ees `a des ensembles et le recours aux probabilit´es
est une fa¸con de prendre en compte la complexit´e de ph´enom`enes que nous ne pouvons pas conaˆıtre dans
le d´etail. Par exemple, `a un jeu de pile ou face, la connaissance parfaite des conditions initiales du
lancer de la pi`ece, la prise en compte de la r´esistance de l"air, de la configuration du sol d"arriv´ee, etc.
permettrait en th´eorie de pr´evoir le r´esultat. Quelques physiciens (de Broglie, Bohm, etc.) ont propos´e
que le caract`ere probabiliste de la physique quantique ait une origineanalogue. Si nous avions acc`es `a
des variables suppl´ementaires, inconnues pour le moment, et appel´ees pour cette raisonvariables cach´ees,
nous pourrions pr´edire avec certitude l"´etat individuel de chaque particule. Dans une th´eorie dite de
"variables cach´ees", on introduit pour d´ecrire un ´etat physique en plus du vecteur d"´etat|??une variable
(ou une collection de variables)λ. Un ´etat physique est alors caract´eris´e par l"ensemble{|??,λ}, et cet
´etat physique est de dispersion nulle, ce qui veut dire quetoutepropri´et´e physique poss`ede une valeur
bien d´etermin´ee. On retrouve les valeurs moyennes de la m´ecanique quantique en faisant une moyenne
surλ. Nous allons illustrer la notion de variable cach´ee sur le spin 1/2.Nous allons construire une th´eorie bas´ee sur l"existence d"une variable cach´ee,λ, qui traduirait l"apparte-
nance ou non de la particule `a un sous-groupe qui porte une propri´et´e physique parfaitement d´efinie `a la
mesure du spin selon?ux. C"est donc selon la valeur deλque la particule donnerait le r´esultat +1 ou -1.
2014/20157
Licence 3 Semestre 2Quantique
xyz detectorsFigure1 - Analyse du spin d"une particule.
C"est ensuite la statistique classique surλqui donnera le r´esultat probabiliste de la physique quantique.
entre 0 et 1 ?Sa?C=? 1 0 dλ?Sa?(λ) Les observables associ´ees `a la mesure du spin selon une directioni=x,y,zs"´ecriventˆSi=?2σi. Vous
avez montr´e `a l"exercice 15 que la forme g´en´erale deSassoci´ee `a une mesure du spin selon une direction
ˆas"´ecritSˆa=?
2?σ·ˆao`u ˆaest un vecteur unitaire.
Pour notre exercice nous allons travailler dans la base d´efinie par lesvecteurs propres deσz{|+>,|->}
prendrons|??=|+?l"´etat de spin 1/2 orient´e selon le vecteur unitaire ˆu= (0,0,1) et un vecteur unitaire
d"analyse ˆa=sin(θ)?ux+cos(θ)?uz1.Calculez la forme de l"op´erateurSadans le cadre de notre experience.
2.Pour situer les choses nous allons regarder les r´esultats pr´editspar le formalisme quantique pour deux
mesures particuli`eres : selon le vecteur ˆa1=?uzet ˆa2=?uxCalculez les r´esultats possibles de chaque
mesure ainsi que les probabilit´e qui leur sont associ´ees. Ensuitevous calculerez la valeur moyenne?Sa??
ainsi que la dispersion (Δ ?Sa)2.Vous commenterez les r´esultats obtenus et expliquerez en quoi cela d´erangeait Einstein, de Broglie, Bohm,
etc.3.On suppose que dans l"´etat{|??,λ}, l"op´erateur?σ·ˆavaut
Montrez queSaprend une forme qui ne laisse aucune ambiguit´e quant au r´esultatd"une mesure selon?ux
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