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S a i n t e - M a r i eFeuille d"exercices n°7
H y p o k h â g n e B LMatrices et matrices d"applications linéairesExercice 1
?et?sont des matrices de taille4×5(4lignes et5colonnes);?,?,?sont des matrices respectivement5×2,4×2,5×4. Parmi les expressions suivantes, dire celles qui ont un sens et indiquer alors le format de la
matrice obtenue :Exercice 2
Soient les matrices?=(0 00 1)
et?=(0 01 0) Calculer?2,?2,??,??,?2-?2,(?+?)(?-?),(?+?)2,?2+ 2??+?2. Vos réflexions?Exercice 3
Effectuer le produit des matrices suivantes :
(2 13 2)×(1-1
1 1) ;(1 2 03 1 4) -1-1 0 1 4-12 1 2⎞⎠
1 1 1⎞⎠
1? ? 1? ?1? ?⎞⎠
Exercice 4Équation matricielle
On se propose de résoudre l"équation matricielle d"inconnue?: (3 1 -2 2) ?-?(1 42 0) =(1 0 -2-3)Montrer que le format de la matrice?est entièrement déterminé. Montrer alors que l"équation seramène à un
système linéaire que l"on résoudra.Exercice 5
Trouver toutes les matrices?telles que??=?, avec?=(2 12 1) . (quelle doit être la taille de??)Exercice 6
Montrer que, dansℳ2(ℝ), les matrices de la forme(?2?+ 8? ?-?3?+?) (avec(?,?)∈ℝ2) constituent un sev deℳ2(ℝ).En déterminer la dimension ainsi qu"une base.
Exercice 7
Soitℳle sous-espace des matrices réelle de taille2×2engendré par{?,?}où?=(1 00 1) et?=(0 1 -5 2)1.Montrer que?2∈ ℳ. En déduire queℳest stable pour le produit matriciel.
2.Montrer que toute matricenon nulle?appartenant àℳest inversible et que?-1∈ ℳ.
Que peut-on en déduire pourℳ?
Exercice 8Commutant d"une matrice
1.On pose?=(0 11 1)
et on note?={?∈ ℳ2,2(ℝ);??=??}. a.Montrer que?est un sev de ... b.Déterminer une CNS (condition nécessaire et suffisante) pour que?=(? ? appartienne à?. c.Donner la dimension de?.2.Même question avec?=(1 2
-1-1) puis avec?=⎛⎝ 1 0 0 0 1 03 1 2⎞⎠
Exercice 9
On considère la matrice deℳ3(ℝ):?=⎛⎝ 2 5 3 1 3 21 2 2⎞⎠
1.Calculer?3-7?2+ 4?-?3,?3étant la matrice identité d"ordre 3.
2.Exprimer?4en fonction des seules matrices?2,?et?3.
3.Montrer que?est inversible et donner son inverse en fonction de?,?et?2.
S a i n t e - M a r i eFeuille d"exercices n°7 (suite) H y p o k h â g n e B LMatrices et matrices d"applications linéairesExercice 10
1.Pour?∈ℕ∗, calculer(0 10 0)
2.Soit?=(2 10 2)
. Calculer??pour?∈ℕ∗.Exercice 11Matrices en damier
Soit?= (???)∈ ℳ?(ℝ). On dit que?esten damiersi??,?= 0pour∣?-?∣impair (faire un dessin). On note
?l"ensemble des matrices?×?en damier.1.Montrer que?est une sous-algèbre deℳ?(ℝ):?est un sev qui est de plus stable par produit et par
passage à l"inverse (sauf pour0bien sûr). On admettra le passage à l"inverse.2.Quelle est sa dimension (en tant qu"e-v)?
Exercice 12Opérations par blocs
1.Soient?1∈ ℳ?,?1(ℝ),?2∈ ℳ?,?2(ℝ),?1∈ ℳ?1,?(ℝ),?2∈ ℳ?2,?(ℝ).
On pose?=(?1?2)∈ ℳ?,?1+?2(ℝ)et?=(?1 2) ?1+?2,?(ℝ). Montrer que??=?1?1+?2?2.2.Soit?=(? ?
0?) où?,?,0,?sont des matrices de tailles?×?,?×?,?×?,?×?(matrice triangulairepar blocs). Montrer que?est inversible si et seulement si?et?le sont. Le cas échéant, donner?-1
sous la même forme.3.En déduire une démonstration de la propriété :L"inverse d"une matrice triangulaire est triangulaire.
Exercice 13Conjugaison de matrices
Soit?∈???(ℝ). Montrer que l"application??:ℳ?(ℝ)→ ℳ?(ℝ) ??→?-1??est un isomorphisme d"algèbre. C"est à dire que??est un isomorphisme d"espace vectoriel et que de plus ∀(?,?)∈ ℳ?(ℝ)2on a?(??) =?(?)×?(?).Exercice 14
On considère la matrice suivante :
?=⎛⎜⎜⎝0? ? ?0 0? ?
0 0 0?
0 0 0 0⎞⎟⎟⎠
Calculer?2,?3,?4,?5.
Exercice 15
1.Soit?=⎛⎝
1 1 0 0 1 10 0 1⎞⎠
et soit?=?-?3.a.Calculer?2,?3en déduire une formule de récurrence que l"on démontrera pour??, pour tout entier
b.Développer(?+?3)?par la formule du binome et simplifier. c.En déduire??Pour tout entier?.2.Soit?=⎛⎜⎜⎝1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1⎞⎟⎟⎠
.Pour tout entier?,calculer??en utilisant?-?4.Exercice 16
Calculer le rang des matrices suivantes.
S a i n t e - M a r i eFeuille d"exercices n°7 (suite) H y p o k h â g n e B LMatrices et matrices d"applications linéairesExercice 17
Soit?une matrice carrée d"ordre?; on suppose que?2est une combinaison linéaire de?et??:?2=??+???.
1.Montrer que??est également une combinaison linéaire de?et??pour tout?∈ℕ∗.
2.Montrer que si?est non nul, alors?est inversible et que?-1est encore combinaison linéaire de?et??.
3.Application 1 : soit?=??-??,où??est la matrice dont tous les coefficients sont égaux à1, avec?≥1.
Montrer que?2= (?-2)?+ (?-1)??; en déduire que?est inversible, et déterminer son inverse.4.Application 2 : montrer que si?= 2,?2est toujours une combinaison linéaire de?et?2,et retrouver la
formule donnant?-1en utilisant 2.Exercice 18
Déterminer deux éléments?et?de?2(ℝ)tels que :??= 0et??∕= 0.Exercice 19
Soit?∈?2(ℝ).On nomme commutant de?et on note?(?)l"ensemble des?∈?2(ℝ)telles que??=??.
1.Montrer que?(?)et un sous espace vectoriel de?2(ℝ).
2.Montrer que pour tout?∈ℕ,??∈?(?).
Exercice 20
Calculer l"inverse de?=⎛⎝
1 2 1 1 2-1 -2-2-1⎞⎠ . Idem pour?=⎛⎝ 1 1 1 0 1 10 0 1⎞⎠
Exercice 21
Calculer l"inverse de :
⎝1... ...10 1......
.0 1...0...0 1⎞⎟⎟⎟⎟⎠
,⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 2... ? 0 1 2 .0 1 20...0 1⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Exercice 22
Soient(??)?∈ℕet(??)?∈ℕdeux suites réelles, vérifiant la relation de récurrence linéaire suivante :
??+1=-9??-18?? ?+1= 6??+12??avec?0=-137et?0= 18. On se propose dans ce problème de trouver les termes généraux de ces deux suites.
1.Montrer qu"il existe une matrice?∈?2(ℝ)telle que la relation de récurrence linéaire ci-dessus soit
équivalente à la relation??+1=???, où??=(??2.Trouver une expression de??en fonction de?et de?0.
3.Trouver le noyau de?, et en donner une base?1. Calculer le rang de?.
4.Montrer que l"ensemble des vecteurs?∈ℝ2tels que??= 3?est un sous-espace vectoriel deℝ2. Quelle
est sa dimension? En donner une base, qu"on notera?2.5.Montrer que la réunion?1∪?2forme une base?deℝ2. Soit?la matrice formée des composantes des
vecteurs de?relativement à la base canonique deℝ2. Montrer que?est inversible, et que le produit
-1??est une matrice diagonale?qu"on calculera.6.Montrer que??=????-1. Calculer??, et en déduire??, pour tout?∈ℕ.
7.Donner les termes généraux??et??.
Exercice 23
Soient?un espace vectoriel de dimension?,?une application linéaire de?dans lui-même et?un élément de
?tel que la famille (?(?),...,??(?)) soit libre.1.Montrer que la famille?,?(?),...,??-1(?)est une base de?. En déduire que?est un isomorphisme.
2.On suppose maintenant que??(?) =?. Déterminer la matrice de?dans la base(?,?(?),...,??-1(?)).
S a i n t e - M a r i eFeuille d"exercices n°7 (suite et fin) H y p o k h â g n e B LMatrices et matrices d"applications linéairesExercice 24
Soitℎl"homomorphisme deℝ3dansℝ2défini par rapport à deux bases(?1,?2,?3)et(?1,?2)par la matrice
?=(2-1 13 2-3)
1.On prend dansℝ3la nouvelle base :
1=?2+?3, ?′2=?3+?1, ?′3=?1+?2.
Quelle est la nouvelle matrice?1deℎ?
2.On choisit pour base deℝ2les vecteurs :
′1=12(?1+?2), ?′2=12(?1-?2)
en conservant la base(?′1,?′2,?′3)deℝ3. Quelle est la nouvelle matrice?2deℎ?
Exercice 25
Soitℝ[?]l"espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Soit?∈ℕfixé,?≥1, on noteℝ?[?], ensemble
des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à?. C"est un sous-espace vectoriel deℝ[?]et la
famille(1,?,...,??)est une base deℝ?[?].1.Soient?,?etℎles applications deℝ[?]dans lui-même définies par :
ℎ(?(?)) = (?(?))2. Montrer que les applications?et?sont linéaires, mais queℎne l"est pas.2.On désigne par??et??les restrictions de?et de?àℝ?[?]. Montrer que l"image de??est incluse dans
?[?]et celle de??est incluse dansℝ?+1[?]. Déterminer la matrice de??dans la base(1,?,...,??)de
?[?]. Déterminer la matrice de??de la base(1,?,...,??)dans la base(1,?,...,??+1). Calculer les dimensions respectives des images de??et de??.3.D"après ce qui précède,?et?sont-elles injectives? Surjectives? Déterminer leurs noyaux respectifs, et
leur dimensions. Déterminer l"image de?, puis de?.Exercice 26
Soient?un espace vectoriel de dimension3et?une application linéaire de?dans?telle que?2= 0et?∕= 0.
Posons?=rg(?).
2.Soit?1∈?tel que?(?1)∕= 0. Posons?2=?(?1). Montrer qu"il existe?3∈Ker(?)tel que la famille
{?2,?3}soit libre. Montrer que{?1,?2,?3}est une base de?.3.Déterminer la matrice de?dans la base{?1,?2,?3}.
Exercice 27
Soient?un espace vectoriel et?une application linéaire de?dans lui-même telle que?2=?.1.Montrer que?=Ker(?)⊕Im(?).
2.Supposons que?est de dimension finie?. Posons?=dim(Ker(?)). Montrer qu"il existe une base
ℬ={?1,...,??}de?telle que :?(?1) =...=?(??) = 0et, pour tout? > ?,?(??) =??. Déterminer la matrice de?dans la baseℬ.Exercice 28
Soit(?1,?2,?3)une base de l"espace?=ℝ3.??désigne l"application identique de?. On considère l"application
linéaire?de?dans?telle que : ?(?1) = 2?2+ 3?3, ?(?2) = 2?1-5?2-8?3, ?(?3) =-?1+ 4?2+ 6?3.