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B

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Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Matrices

Vincent Nozick

Vincent NozickMatrices1 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Les vecteurs

Un vecteur

(colonne) : x=0 B BB@x 1 x 2... x n1 C

CCAVincent NozickMatrices2 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Vecteurs et transpose

x=0 B BB@x 1 x 2... x n1 C

CCAx>=x1x2xn

Autrement dit:

0 B BB@x 1 x 2... x n1 C

CCA=x1x2xn>Vincent NozickMatrices3 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Addition de vecteurs

x=0 B BB@x 1 x 2... x n1 C

CCAy=0

B BB@y 1 y 2... y n1 C

CCAx+y=0

B BB@x 1+y1 x

2+y2...

x n+yn1 C CCA Conditions :xetysont de m^eme dimension.Vincent NozickMatrices4 / 47 Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Produit scalaire

x=0 B BB@x 1 x 2... x n1 C

CCAy=0

B BB@y 1 y 2... y n1 C CCA produit scalaire: x >y=x1y1+x2y2++xnyn =Pn i=1xiyi

Conditions :xetysont de m^eme dimension.Vincent NozickMatrices5 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Produit scalaire

Propriete geometrique :Le produit scalaire est l'intensite (signee) de la projection d'un vecteur sur un autre.

Vincent NozickMatrices6 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Produit scalaire

Propriete geometrique :

uv=kukkvkcos ouest l'angle entreuetv(valable pour toutes dimensions).

Applications geometriques :

!trouver l'angle entre 2 vecteurs :=cos1 uvkukkvk!

!trouver la projection deusurv: projv(u) =uvkvkvkvkVincent NozickMatrices7 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Produit vectoriel

x=0 @x 1 x 2 x 31
A y=0 @y 1 y 2 y 31
A z=xy=0 @x

2y3x3y2

x

3y1x1y3

x

1y2x2y11

A Conditions :deni uniquement en dimension 3.Vincent NozickMatrices8 / 47 Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Norme de vecteurs

Proprietes :

kxk>0ssix6=0etkxk= 0ssix=0 kkxk=jkj:kxk kx+yk kxk+kykNormeL1:kxk1=Pn i=1jxij(norme de Manhattan)

NormeL2:kxk2=px

21+:::+x2n(norme euclidienne)

NormeLp:kxkp=Pn

i=1jxijp 1p

NormeL1:kxk1= maxjx1j;:::;jxnj

Vincent NozickMatrices9 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Les matrices

Une matrice :M=2

4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m32m333

5

Vincent NozickMatrices10 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Les matrices

Element d'une matrice :Mij

M=2 4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m32m333

5 |{z} j9 i i: lignes

j: colonnesVincent NozickMatrices11 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Addition matricielle

M=2 4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m32m333

5 N=2 4n

11n12n13

n

21n22n23

n

31n32n333

5

A=M+N=2

4m

11+n11m12+n12m13+n13

m

21+n21m22+n22m23+n23

m

31+n31m32+n32m33+n333

5 A ij=Mij+Nij! O(n2)Vincent NozickMatrices12 / 47 Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Multiplication matrice-vecteur

y=Mx=2 4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m32m333

50
@x 1 x 2 x 31
A 0 @m

11x1+m12x2+m13x3

m

21x1+m22x2+m23x3

m

31x1+m32x2+m33x31

A Mx=0 @m>1x m >2x m >3x1

A!produit scalaire

!produit scalaire !produit scalaire

oum>icorrespond a laiemeligne deMVincent NozickMatrices13 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Multiplication vecteur-matrice

y >=x>M=x1x2x32 4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m32m333

5 0 @m

11x1+m21x2+m31x3

m

12x1+m22x2+m32x3

m

13x1+m23x2+m33x31

A> x >M=0 @x>m1 x>m2 x>m31 A> !produit scalaire !produit scalaire !produit scalaire

oumjcorrespond a lajemecolonne deMVincent NozickMatrices14 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Produit exterieur

Produit scalaire :x>y=u

Produit externe :xy>=A

0 B BB@x 1 x 2... x n1 C CCA y

1;y2;;ym

=2 6 664x

1y1x1y2x1ym

x

2y1x2y2x2ym............

x ny1xny2xnym3 7 775
A

ij=xiyjVincent NozickMatrices15 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Multiplication matricielle

A=MN=2

4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m32m333

52
4n

11n12n13

n

21n22n23

n

31n32n333

5 2

4m>1n1m>1n2m>1n3

m>2n1m>2n2m>2n3 m>3n1m>3n2m>3n33 5 oum>icorrespond a laiemeligne deM etnjcorrespond a lajemecolonne deNVincent NozickMatrices16 / 47 Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Multiplication matricielle

Pour chacune desmncase deA:

1 produit scalaire delelements.

complexite :O(lmn) O(n3)Vincent NozickMatrices17 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Strassen

Introduction :

multiplication matricielle standard :O(n3) avec la methode de Strassen :O(nlog27) =O(n2:81) methode recursive.

ecace seulement sur les grosses matrices.Vincent NozickMatrices18 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Strassen

Methode :rs

tu=ab cdef gh

Vincent NozickMatrices19 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Strassen

ae+bgaf+bh ce+dgcf+dh=ab cdef gh

8 produits de sous matrices

4 additions de sous matrices

Vincent NozickMatrices20 / 47

Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Strassen

rs ae+bgaf+bh tu ce+dgcf+dh=ab cdef gh on denit : P

1=afah

P

2=ah+bh

P

3=ce+de

P

4=dgde

P

5=ae+ah+de+dh

P

6=bg+bhdgdh

P

7=ae+afcecftel que :

r=P5+P4P2+P6 s=P1+P2 t=P3+P4

u=P1+P5P3P7Vincent NozickMatrices21 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Strassen

P

1=afah

P

2=ah+bh

P

3=ce+de

P

4=dgde

P

5=ae+ah+de+dh

P

6=bg+bhdgdh

P

7=ae+afcecfP

1=a(fh)

P

2= (a+b)h

P

3= (c+d)e

P

4=d(ge)

P

5= (a+d)(e+h)

P

6= (bd)(g+h)

P

7= (ac)(e+f)Vincent NozickMatrices22 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Strassen

P

1=a(fh)

P

2= (a+b)h

P

3= (c+d)e

P

4=d(ge)

P

5= (a+d)(e+h)

P

6= (bd)(g+h)

P

7= (ac)(e+f)

r=P5+P4P2+P6 s=P1+P2 t=P3+P4 u=P1+P5P3P7!7 produits de sous matrices !18 additions de sous matrices ce qui comporte moins d'operations que 8 produits de sous matrices 4 additions de sous matrices

Vincent NozickMatrices23 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Strassen

Remarques :

ecace sur les grosses matrices, mais pas sur les petites. pas tres stable numeriquement. gestion specique de la memoire.Vincent NozickMatrices24 / 47 Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Verication du produit matriciel

Methode :

SoitC=AB

Le produit de la matriceAavec le vecteur somme-des-lignesbde la matriceBdoit ^etre egal au vecteur somme-des-lignescde la matrice C. Ab=c

SiAb6=c, alors il y a une erreur de calcul.

La reciproque n'est pas forcement vraie.

Vincent NozickMatrices25 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Verication du produit matriciel

Exemple :

C=AB2 15

4 22 =1 3 2 4 2 3

0 4c=2 + 15

4 + 22

=17

26b=2 + 3

0 + 4 =5 4

Vincent NozickMatrices26 / 47Les vecteursLes matr icesMultiplicatio nmatricielle T ypede matrices Prop rietes

Verication du produit matriciel

Exemple :c=17

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