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Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles Exercice 1 Donner l' ensemble des solutions des équations différentielles suivantes : 1 y/(x) - 4 y(x)=3

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1, à coefficients constants, avec second membre On commence par résoudre l'équation homogène

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Dans chacun des cas, il s'agit d'équations différentielles linéaires du second ordre, `a coefficients constants, et avec un second membre de la forme polynome /

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Exercice type 2 Résoudre (E):2y'' − 6y' + 4y = te2t ++++++++ Solution + : On normalise l

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Exercice assez délicat, comportant des questions difficiles, inconnue renvoie à une équation linéaire du second ordre homogène à coefficients constants équation différentielle linéaire d'ordre 1, l'ensemble des solutions de (H) sur lk est

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Exercice 7 17 Déterminer une équation différentielle homogène, du second ordre à coefficients constants réels (i e du type ay'' + 5 Le grenier (non corrigé) Exercice Montrer que u = z' vérifie une équation différentielle d'ordre 1 Résoudre

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(b) Application : calculer les primitives de ln sur un intervalle approprié Exercice 2 : équations différentielles 1 Résoudre les équations différentielles suivantes

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2 2 Exercices 2 5 Corrigé du devoir Considérons une équation différentielle d'ordre 1 dans Rd, homogène en temps : Y (t) = G(Y (t)) Toute solution Y (t) définit Commençons par résoudre l'équation sans second membre y (t) = − 2t

[PDF] Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles

Universit´e Grenoble AlpesMAP101

Licence 1 - DLSTAnn´ee 2016-2017

Fiche exercices (avec corrig´es) - Equations diff´erentielles

Exercice 1

Donner l"ensemble des solutions des ´equations diff´erentielles suivantes :

1. y?(x)-4y(x) = 3pourx?R

2. y?(x) +y(x) = 2 expourx?R

3. y?(x)-tan(x)y(x) = sin(x)pourx?]-π

2,π2[

4. y?(x) =y(x)

x+xpourx?R?+

5.(x2+ 1)y?(x) +xy(x) = 0pourx?R

R´eponse :

1. L"´equation esty?(x)-4y(x) = 3 :a(x) =-4 etf(x) = 3 .

a) L"´equation homog`ene esty?(x)-4y(x) = 0.

Icia(x) =-4 donc une primitive estA(x) =-4x.

La solution g´en´erale de l"´equation homog`ene esty(x) =Ce-A(x)=Ce4x. b) Une solution particuli`ere v´erifiey?0(x)-4y0(x) = 3. Cette solution s"´ecrity0(x) =g(x)e-A(x)avecg(x) primitive def(x)eA(x)= 3e-4x ?g(x) =-3

4e-4x?y0(x) =-34e-4xe4x=-34

c) La solution g´en´erale esty(x) =Ce4x-3 4

2. L"´equation esty?(x) +y(x) = 2ex:a(x) = 1 etf(x) = 2ex.

a) L"´equation homog`ene esty?(x) +y(x) = 0.

Icia(x) = 1 donc une primitive estA(x) =x.

La solution g´en´erale de l"´equation homog`ene esty(x) =Ce-A(x)=Ce-x. b) Une solution particuli`ere v´erifiey?0(x) +y0(x) = 2ex. Cette solution s"´ecrity0(x) =g(x)e-A(x)avecg(x) primitive def(x)eA(x)= 2exex= 2e2x ?g(x) = e2x?y0(x) = e2xe-x= ex c) La solution g´en´erale esty(x) =Ce-x+ ex

3. L"´equation esty?(x)-tan(x)y(x) = sin(x).

a) L"´equation homog`ene esty?(x)-tan(x)y(x) = 0 :a(x) =-tan(x) etf(x) = sin(x)

MAP1011Exos ´equa. diff.

Icia(x) =-tan(x) =-sin(x)cos(x)donc une primitive estA(x) = ln|cos(x)|= ln(cos(x)) car on est sur l"intervalle ]-π/2,π/2[ et donc cos(x)>0. La solution g´en´erale de l"´equation homog`ene est y(x) =Ce-A(x)=Ce-ln(cos(x))=C eln(cos(x))=Ccos(x) b) Une solution particuli`ere v´erifiey?0(x)-tan(x)y0(x) = sin(x).

Cette solution s"´ecrity0(x) =g(x)e-A(x)avec

g(x) primitive de sin(x)eA(x)= sin(x)cos(x) ?g(x) =1

2sin2(x)?y0(x) =g(x)cos(x)=sin2(x)2 cos(x)

c) La solution g´en´erale esty(x) =C cos(x)+sin2(x)2 cos(x)=sin2(x) +C12 cos(x)

4. L"´equation esty?(x)-y(x)x=x:a(x) =-1xetf(x) =x.

a) L"´equation homog`ene esty?(x)-y(x) x= 0.

Icia(x) =-1

xdonc une primitive estA(x) =-ln|x|=-ln(x) car on est sur l"intervalle ]0,+∞[ . La solution g´en´erale de l"´equation homog`ene est y(x) =Ce-A(x)=Celn(x)=C x b) Une solution particuli`ere v´erifiey?0(x)-y0(x) x=x. Cette solution s"´ecrity0(x) =g(x)e-A(x)avecg(x) primitive dexeA(x)=x x= 1 ?g(x) =x?y0(x) =xeln(x)=xx=x2 c) La solution g´en´erale esty(x) =C x+x2

5. L"´equation esty?(x)-xx2+ 1y(x) = 0 qui est une ´equation homog`ene.

Icia(x) =-x

x2+ 1donc une primitive estA(x) =-12ln(x2+ 1) . La solution g´en´erale de l"´equation (homog`ene) est y(x) =Ce-A(x)=Ce1

2ln(x2+1)=C(x2+ 1)12=C⎷x2+ 1

Exercice 2

R´esoudre les probl`emes de Cauchy suivants :

MAP1012Exos ´equa. diff.

1. y?(x)-2y(x) = 4, y(0) = 0, x?R

2. y?(x) =y(x) + 1

x, y(1) = 0, x >0

3. y?(x)-2y(x) = 2x , y(0) =1

4, x?R

4. x2y?(x)-(2x-1)y(x) =x2, y(1) = 1, x >0

5.(x+ 1)y?(x)-xy(x) + 1 = 0, y(0) = 2, x >-1

R´eponse :

1. L"´equation esty?(x)-2y(x) = 1 :a(x) =-2 etf(x) = 4 .

a) L"´equation homog`ene esty?(x)-2y(x) = 0.

Icia(x) =-2 donc une primitive estA(x) =-2x.

La solution g´en´erale de l"´equation homog`ene est y(x) =Ce-A(x)=Ce2x b) Une solution particuli`ere v´erifiey?0(x)-2y0(x) = 1. Cette solution s"´ecrity0(x) =g(x)e-A(x)avecg(x) primitive def(x)eA(x)= 4e-2x ?g(x) =-2e-2x ?y0(x) =-2e-2xe2x=-2 c) La solution g´en´erale esty(x) =Ce2x-2 d)y(0) = 0??C-2 = 0??C= 2.

La solution est doncy(x) = 2e2x-2

2. L"´equation esty?(x)-y(x)x=1x:a(x) =-1xetf(x) =1x.

a) L"´equation homog`ene esty?(x)-y(x) x= 0.

Icia(x) =-1

xdonc une primitive estA(x) =-ln|x|=-ln(x) car on est sur l"intervalle ]0,+∞[ . La solution g´en´erale de l"´equation homog`ene est y(x) =Ce-A(x)=Celn(x)=C x b) Une solution particuli`ere v´erifiey?0(x)-y0(x) x=1x. Cette solution s"´ecrity0(x) =g(x)e-A(x)avecg(x) primitive def(x)eA(x)=1 x1x=1x2 ?g(x) =-1 x ?y0(x) =-1 xx=-1

MAP1013Exos ´equa. diff.

c) La solution g´en´erale esty(x) =C x-1 d)y(1) = 0??C-1 = 0??C= 1.

La solution est doncy(x) =x-1

3. L"´equation esty?(x)-2y(x) = 2x:a(x) =-2 etf(x) = 2x.

a) L"´equation homog`ene esty?(x)-2y(x) = 0.

Icia(x) =-2 donc une primitive estA(x) =-2x.

La solution g´en´erale de l"´equation homog`ene est y(x) =Ce-A(x)=Ce2x b) Une solution particuli`ere v´erifiey?0(x)-2y0(x) = 2x. Cette solution s"´ecrity0(x) =g(x)e-A(x)avecg(x) primitive def(x)eA(x)= 2xe-2x ?g(x) =? x c

2te-2tdt

Posonsu(t) =t,v?(t) = 2e-2t?u?(t) = 1,v(t) =-e-2t: g(x) =?-te-2t?xc+? x c e-2tdt=? -te-2t-1

2e-2t?

x c=-xe-2x-12e-2x=-2x+ 12e-2x ?y0(x) =-2x+ 1

2e-2xe2x=-2x+ 12

c) La solution g´en´erale esty(x) =Ce2x-2x+ 1 2 d)y(0) =1

4??C-12=14??C=34.

La solution est doncy(x) =3

4e2x-2x+ 12

4. L"´equation esty?(x)-2x-1x2y(x) = 1 :a(x) =-2x-1x2etf(x) = 1 .

a) L"´equation homog`ene esty?(x)-2x-1 x2y(x) = 0.

Icia(x) =-2x-1

x2=-2x+1x2donc une primitive estA(x) =-2ln|x| -1x=-2ln(x)-1x carx >0 . La solution g´en´erale de l"´equation homog`ene est y(x) =Ce-A(x)=Ce2ln(x)+1/x=C x2e1/x b) Une solution particuli`ere v´erifiey?0(x)-2x-1 x2y0(x) = 1. Cette solution s"´ecrity0(x) =g(x)e-A(x)avecg(x) primitive def(x)eA(x)=1 x2e-1/x. g(x) est de la formeu?(x)eu(x)avecu(x) =-1/x: ?g(x) = eu(x)= e-1/x?y0(x) = e-1/xx2e1/x=x2

MAP1014Exos ´equa. diff.

c) La solution g´en´erale esty(x) =C x2e1/x+x2 d)y(1) = 1??C e+ 1 = 1??C= 0.

La solution est doncy(x) =x2

5. L"´equation esty?(x)-xx+ 1y(x) =-1x+ 1:a(x) =-xx+ 1etf(x) =-1x+ 1.

a) L"´equation homog`ene esty?(x)-x x+ 1y(x) = 0 .

Icia(x) =-x

x+ 1=1x+ 1-1 donc une primitive estA(x) = ln|x+ 1| -x= ln(x+ 1)-x. La solution g´en´erale de l"´equation homog`ene est y(x) =Ce-A(x)=Ce-ln(x+1)+x=Cex x+ 1 b) Une solution particuli`ere v´erifiey?0(x)-x x+ 1y0(x) =-1x+ 1.

Cette solution s"´ecrity0(x) =g(x)e-A(x)

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Universit´e Grenoble AlpesMAP101

Licence 1 - DLSTAnn´ee 2016-2017

Exercice 1

1. y?(x)-4y(x) = 3pourx?R

2. y?(x) +y(x) = 2 expourx?R

3. y?(x)-tan(x)y(x) = sin(x)pourx?]-π

2,π2[

4. y?(x) =y(x)

5.(x2+ 1)y?(x) +xy(x) = 0pourx?R

R´eponse :

1. L"´equation esty?(x)-4y(x) = 3 :a(x) =-4 etf(x) = 3 .

Icia(x) =-4 donc une primitive estA(x) =-4x.

4e-4x?y0(x) =-34e-4xe4x=-34

2. L"´equation esty?(x) +y(x) = 2ex:a(x) = 1 etf(x) = 2ex.

Icia(x) = 1 donc une primitive estA(x) =x.

3. L"´equation esty?(x)-tan(x)y(x) = sin(x).

MAP1011Exos ´equa. diff.

Cette solution s"´ecrity0(x) =g(x)e-A(x)avec

2sin2(x)?y0(x) =g(x)cos(x)=sin2(x)2 cos(x)

4. L"´equation esty?(x)-y(x)x=x:a(x) =-1xetf(x) =x.

Icia(x) =-1

5. L"´equation esty?(x)-xx2+ 1y(x) = 0 qui est une ´equation homog`ene.

Icia(x) =-x

2ln(x2+1)=C(x2+ 1)12=C⎷x2+ 1

Exercice 2

R´esoudre les probl`emes de Cauchy suivants :

MAP1012Exos ´equa. diff.

1. y?(x)-2y(x) = 4, y(0) = 0, x?R

2. y?(x) =y(x) + 1

3. y?(x)-2y(x) = 2x , y(0) =1

4, x?R

4. x2y?(x)-(2x-1)y(x) =x2, y(1) = 1, x >0

5.(x+ 1)y?(x)-xy(x) + 1 = 0, y(0) = 2, x >-1

R´eponse :

1. L"´equation esty?(x)-2y(x) = 1 :a(x) =-2 etf(x) = 4 .

Icia(x) =-2 donc une primitive estA(x) =-2x.

La solution est doncy(x) = 2e2x-2

2. L"´equation esty?(x)-y(x)x=1x:a(x) =-1xetf(x) =1x.

Icia(x) =-1

MAP1013Exos ´equa. diff.

La solution est doncy(x) =x-1

3. L"´equation esty?(x)-2y(x) = 2x:a(x) =-2 etf(x) = 2x.

Icia(x) =-2 donc une primitive estA(x) =-2x.

2te-2tdt

2e-2t?

2e-2xe2x=-2x+ 12

4??C-12=14??C=34.

La solution est doncy(x) =3

4e2x-2x+ 12

4. L"´equation esty?(x)-2x-1x2y(x) = 1 :a(x) =-2x-1x2etf(x) = 1 .

Icia(x) =-2x-1

MAP1014Exos ´equa. diff.

La solution est doncy(x) =x2

5. L"´equation esty?(x)-xx+ 1y(x) =-1x+ 1:a(x) =-xx+ 1etf(x) =-1x+ 1.

Icia(x) =-x

Cette solution s"´ecrity0(x) =g(x)e-A(x)