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16 jan 2015 · 1 2 2 Filtrage numérique RIF (1) 1 2 4 Filtrage numérique RIF cascade 2 1 Corrigés des TD sur l'échantillonnage Pour les différents exercices de cette partie concernant l'implantation des filtres nous considérons

Déterminer la fonction de transfert, ainsi que la réponse impulsionnelle du système 1 3 Filtrage numérique 1 3 1 Exercice 1 On considère un filtre de fonction

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ÉlectroniqueetInformatiqueIndustrielle2ndeannée-EII2Traitement Numérique du Signal

Fascicule de travaux dirigésOlivier Sentieys

NSSAT - Université de Rennes 1

sentieys@enssat.fr http://www.irisa.fr/cairn

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22305 LANNION - FranceIRISA - ENSSAT

Institut de Recherche en Informatique et Systèmes Aléatoires École Nationale Supérieure de Sciences Appliquées et de Technologie

Technopôle Anticipa Lannion

ii Table des matières1 Travaux Dirigés en Traitement Numérique du Signal1

1.1 Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .1

1.1.1 Chaîne de TNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.1.2 Échantillonnage d'un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .1

1.2 Analyse et implantation des ltres numériques . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .2

1.2.1 Filtrage numérique RIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .2

1.2.2 Filtrage numérique RIF (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .4

1.2.3 Filtrage numérique RIF (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .4

1.2.4 Filtrage numérique RIF cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .4

1.2.5 Filtrage numérique RII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .5

1.3 Synthèse des ltres RII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .7

1.3.1 Filtre passe bas du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .7

1.3.2 Filtre passe haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .7

1.4 Synthèse des ltres RIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .8

1.4.1 Méthode du fenêtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .8

1.4.2 Méthode de l'échantillonnage fréquentiel . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .9

1.5 Transformée de Fourier Discrète et Rapide (TFD et TFR) . .. . . . . . . . . . . . . .9

1.5.1 TFD bidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .9

1.5.2 Transformée de Fourier Glissante . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .10

1.5.3 Transformée de Fourier en Base 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .10

1.5.4 Optimisation du calcul de la TFR d'une suite de nombresréels . . . . . . . . .10

1.5.5 Optimisation du calcul de la TFR de deux suites de nombres réels . . . . . . .11

1.5.6 Comparaison entre TFSD et TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .11

1.5.7 TFD par convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .11

1.5.8 Bruits dans la TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..12

1.5.9 Étude des bruits de calcul dans la transformée de Fourier Rapide . . . . . . . .12

1.5.10 Calculs de TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..13

1.6 Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .13

1.6.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

1.6.2 Analyse spectrale d'un signal sinusoïdal . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .14

1.6.3 Analyse spectrale d'un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .14

1.7 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .14

1.7.1 Calcul d'une convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .14

1.7.2 Complexité de calcul d'une convolution . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .14

1.8 Interpolation et décimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .14

1.8.1 Interpolation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .14

1.8.2 Suréchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .15

2 Corrections des Travaux Dirigés en TNS17

2.1 Corrigés des TD sur l'échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .17

2.1.1 Chaîne de TNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2.1.2 Échantillonnage d'un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .17

2.2 Analyse des ltres numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .18

2.2.1 Filtrage numérique RIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .18

2.2.2 Filtrage numérique RIF (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .18

2.2.3 Filtrage numérique RIF (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .18

2.2.4 Filtrage Numérique RIF cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .19

2.2.5 Cellule élémentaire du premier ordre RII . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .19

2.2.6 Cellule du second ordre RII purement récursive . . . . . .. . . . . . . . . . .19

2.2.7 Étude des bruits de calcul dans les ltres numériques RII . . . . . . . . . . . .20

2.3 Synthèse des ltres RII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .20

2.3.1 Filtre passe bas du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .20

2.3.2 Filtre passe haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .20

2.4 Synthèse des ltres RIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .20

2.4.1 Méthode du fenêtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .20

2.4.2 Méthode de l'échantillonnage fréquentiel . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .21

2.5 Transformée de Fourier Discrète et Rapide (TFD et TFR) . .. . . . . . . . . . . . . .23

2.5.1 TFD bi-dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .23

2.5.2 Transformée de Fourier Glissante . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .23

2.5.3 Transformée de Fourier en Base 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .23

2.5.4 Optimisation du calcul de la TFR d'une suite de nombresréels . . . . . . . . .23

2.5.5 Optimisation du calcul de la TFR de deux suites de nombres réels . . . . . . .23

2.5.6 Comparaison TFTD et TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..23

2.5.7 TFD par convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .24

2.5.8 Calculs de TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

2.6 Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .26

2.6.1 Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

2.6.2 Analyse spectrale d'un signal sinusoïdal . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .26

2.6.3 Analyse spectrale d'un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .26

2.7 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .26

2.7.1 Calcul d'une convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .26

2.7.2 Complexité de calcul d'une convolution . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .26

2.8 Interpolation et décimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .26

2.8.1 Interpolation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .26

2.8.2 Suréchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .27

3 Problèmes29

3.1 Etude des ltres CIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .29

3.1.1 Intégrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .29

3.1.2 Filtre en peigne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .30

3.1.3 Mise en cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..30

3.1.4 Association de plusieurs étages . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .30

3.2 Etude d'un système DTMF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .31

3.2.1 Solution à base d'un ltre RIF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .31

3.2.2 Solution à base d'une transformée de Fourier . . . . . . . .. . . . . . . . . .32

3.2.3 Solution à base d'un ltre RII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .32

3.2.4 Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

3.3 Synthèse de ltres numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .35

3.3.1 Synthèse de ltre RIF à phase linéaire par fenêtrage . .. . . . . . . . . . . . .35

3.3.2 Synthèse de ltre RII par la méthode bilinéaire . . . . . .. . . . . . . . . . .35

3.4 Etude d'un ltre en treillis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .35

3.4.1 Détermination de la fonction de transfert . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .36

2 3

3.4.2 Complexité et développement du code C . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .36

3.4.3 Implantation en virgule xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .36

3.4.4 Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

Chapitre 1Travaux Dirigés en TraitementNumérique du Signal1.1 Echantillonnage1.1.1 Chaîne de TNSOn s"intéresse à une chaîne de TNS du type de la figure 1.1

Figure1.1 - Chaîne de TNS

Le signalx(t) =A.e-at.sin(ω0.t).u(t)correspondant à une réponse transitoire d"un système oscil-

lant amorti est échantillonné à une période Te qui permette de limiter le recouvrement spectral.

1. Calculer la TF X(f) de ce signal.

2. Tracer le module du spectre|X(f)|de ce signal, et précisez le lieu du maximumFmax, ainsi

que sa valeur (A.N.ω0= 2π4rad/s;a= 7;A= 20).

3. Ce spectre présente un support de durée infinie (à démontrer). Calculer et dessiner le spectre

dex?(t)pour une périodeTequelconque.

4. Pour limiter l"effet de recouvrement spectral, on choisitde considérer la partie utile dex(t)

sur un support borné. Ainsi, toute composante spectrale dont l"amplitude ne dépasse pas

1% de l"amplitude maximaleFmaxdu spectre sera considérée comme négligeable. Calculer

la fréquenceFMau delà de laquelle l"amplitude des raies devient négligeable.

5. CalculerFetelle que le recouvrement n"entraîne une erreur sur le spectre initial ne dépassant

pas 1% de l"amplitude du spectre enFM.

6. Existe-t-il d"autres solutions qui permettent de limiter le recouvrement spectral.

1.1.2 Échantillonnage d'un signal

1. Soit le signalx(t) =e-at.u(t), calculez et dessinez sa transformée de FourierX(ω). On

donnera les valeurs du modules enω= 0, a,10a.

2. Calculez l"énergie du signalx(t).

3. On échantillonnex(t)à une périodeT. Calculez la transformée de FourierXe(ω)du signal

échantillonnéxe(nT).

2Travaux Dirigés en Traitement Numérique du Signal

4. Dessinez approximativement le module du spectre lorsqueT=π/10a. Expliquez quels

problèmes peuvent survenir lors de l"échantillonnage du signalx(t).

5. Donner l"expression de l"énergie en fonction de la bande de fréquence[-B,...+B]consi-

dérée. On rappelle que la primitive de1/(1 +x2)estarctg(x). TrouverBdonnant90%

de l"énergie totale du signal. Proposez, à partir de ces résultats, une solution pour limiter

l"effet de l"échantillonnage en considérant qu"une bande defréquence représentant90%de l"énergie du signal suffit à caractériser le signal.

1.2 Analyse et implantation des filtres numériques

Pour les différents exercices de cette partie concernant l"implantation des filtres nous considérons

un calculateur de type DSP (spécialisé dans le traitement dusignal) dont les caractéristiques sont

les suivantes : - le cycle d"horloge est de100ns - l"opération de base est du typey=a×x+b; - les opérations d"accumulation, ou de multiplication/addition sont exécutées en un cycle; - les calculs sont réalisés en simple précision; - les données en entrée et en sortie du multiplieur sont codées surbbits; - les données en entrée et en sortie de l"additionneur sont codées surbbits; - les données sont stockées en mémoire surbbits; - le bit de signe redondant issu de la multiplication n"est pas automatiquement éliminé;quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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