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Sup PCSI1 - Exercices de physique Mouvement dans un champ de force centrale conservatif (CORRIGES) 1 Mouvement dans un champ de force centrale

FORCES CENTRALES ET GRAVITATION : CORRECTIONS

Exercices prioritaires :Poids et altitude

?Exercice n° 1

A la surface de la terre le "poids» d"un homme indiqué par un dynamomètre est de 80 kg. Quel

sera le "poids» indiqué par le dynamomètre à une altitude de 8000 m?

On donneRTAE6400 km.

Le dynamomètre dont il est question ici mesure une force, et il est donc sensible à la force de gravitation, qui diminue avec l"altitude (ici 8000m). On a : j

F0jAEGmMTR

2 Tet jFhjAEG mMT(

RTÅh)2)¯¯¯¯F

hF 0¯

¯¯¯AEµRTR

AE0,9975

Le "poids» indiqué par le dynamomètre sera donc : 0,9975mAE79,8 kg. i: une balance peut soit mesurer une masse, par comparaison (balance romaine ou ba-

lance à fléau de marché par exemple), soit une force, c"est le cas de la plupart des balances

actuelles, mais cette force est traduite en masse, en supposantPAEmg0(g0étant l"accéléra-

quelle que soit l"altitude car la masse est constante contrairement à la force de gravitation.Trajectoire d"une comète

??,Exercice n° 2

En 1997, la comèteHale-Boppest passée relativement près de la Terre et a traversé notre ciel.

Cette comète possède une orbite elliptique autour du Soleil avec une excentricitéeAE0,995. A

son périhélie, le 1 eravril 1997, sa distance au Soleil étaitrPAE1,35£108km et en ce point sa vitesse valaitvPAE45 km/s. 1. L ac onservationde qu ellequ antitép ermetd "expliquerq uela t rajectoired ela comèt eest plane? Pourquoi cette quantité est-elle conservée tout au long du mouvement?

UJF L1 1 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Forces centrales et gravitation : corrections 2013-2014 Question de cours : c"est la conservation du moment cinétique. Le moment cinétique est un vecteur perpendiculaire au vecteur position et au vecteur vitesse (produit vec- toriel). S"il se conserve cela implique que le plan qui contient vitesse et position ne change pas : c"est le plan de la trajectoire. Le moment cinétique est conservé car la seule force qui s"exerce sur la comète est la force gravitationnelle qui est une force centrale et qui n"exerce aucun moment sur la

comète. En vertu du théorème du moment cinétique celui ci ne varie donc pas.2.C alculerle p aramètreqde cette orbite. En déduire la distancerAde la comète à l"aphélie.

Quelle est la vitessevAcorrespondante? Justifier la démarche suivie pour obtenir cette vitesse particulière. Le produitCAErvest donc constant et représente la " constante des aires ». On a

CAErPvPAE6,0751015m2/s.

A partir de l"équation de la trajectoire en coordonnées polaires on a : r On en déduit ensuite les caractéristique de l"aphélie : r AAEq1ÅecosµAavecµAAE¼)rAAE1Åe1¡erPAE5,391013m etvAAECr AAE113m/s3.Q uev autle demi- grandax eade l"orbite? aAErPÅrA2 AErP(1¡eÅ1Åe)2(1¡e)AErP(1¡e)AE2,701013m4.M ontrerqu eqAEa(1¡e2). aAErPÅrA2

AEq2(1Åe)Åq2(1¡e)AEq(1¡e)(1Åe))qAEa(1¡e2)5.S achantqueTdésignelapériodeorbitaleetquelerapportT2/a3estconstantenvertude

la loi des aires, prédire en quelle année la comète reviendra à son périhélie nous rendre

visite.UJF L1 2 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Forces centrales et gravitation : corrections 2013-2014 Le rapportT2/a3est une constante qui ne dépend que la masse du soleil additionnée à celle de la comète. Dès lors que la masse du corps en orbite autour du soleil est négligeable devant celle du soleil on pourra donc considérer cette constante comme

Bop et pour la planète Terre. On a donc :

T 2a 3AET2 Ta 3

T)TAETTsa

3a 3

TAE1ansµ

2,7010131,5010

3 '2400ans iConnaissantGetMS, il aurait été possible d"utiliser la formule issue des lois de

Newton :

µ2¼T

2 a3AEG(MSÅm)'GMS iEnfin si l"on se limite aux données de l"énoncé (la constanteCAErPvP) on a :

SAE¼abAE12

P(1¡e)32

6. O nsaitquel"énergiemécaniquedelacomètevautEAE¡4,49£1023J(l"énergiepotentielle

étant définie comme nulle à l"infini). Déterminer sa massem. Étant donné que la masse

volumique des roches cométaire est très voisine de celle de l"eau, quel est le rayon moyen Rde cette comète (en faisant l"approximation d"une comète sphérique). E mAE12 mv2

P¡GmMSr

P)mAEEm1

2 v2

P¡GMSr

centricité est proche de 1, l"énergie mécanique est proche de zéro et issue de la diffé-

rence de deux termes grands. Il vaut mieux alors tout exprimer en fonction des carac-

téristiques de l"orbite de la comète c"est à dire éliminer dans l"expression de l"énergie

mécanique la constanteGMS. En se plaçant au périhélie on peut exprimer la constante des aires de deux façons : C 2AEr2 Pv2 PetC2AEqGMS(cette relation n"est pas immédiate. Pour l"obtenir il faut écrite le PFD projeté sur#uret l"appliquer au périhélie ou plus simplement

écrire l"égalité de l"énergie mécanique en l"aphélie et au périhélie). On peut alors ré-UJF L1 3 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Forces centrales et gravitation : corrections 2013-2014 exprimer l"énergie en fonction des paramètres du mouvement : E mAE12 mv2

P¡mr2pv2

Pqr PAE12 mv2 Pµ

1¡2rpq

AE12 mv2 Pµ )mAE2Emv 2

P1Åe1¡e

iOn peut remarquer au passage que le signe de l"énergie mécanique totale est dé- terminé par la valeur dee. -eAE1 :EmAE0 . La trajectoire est une parabole (soleil au foyer). La comète est à la limite de libération

-eÈ1 :EmÈ0 . La trajectoire est une hyperbole. La comète n"est pas liée au soleil7.Dé montrer,en j ustifiantc haqueé tapequi le néc essite,qu el "ona la r elation:

12 (vPÅvA)2AEG2Msoleilq v PAECr

PetvAAECr

A)vPÅvAAECµ1r

PÅ1r

AECµ1Åeq

Å1¡eq

AE2Cq

AvecC2AEqGMSet en éliminantCon obtient la relation demandée.8.Q uelquesann éesaprès son der nierpa ssagela c omètepas ser elativementprès d "unepla-

donc sa trajectoire. Après cette perturbation, les nouvelles caractéristiques orbitales sont e

0AE0,70 eta0AE1,5£1010km.

Q uelleest la v aleurdu par amètreq0de cette nouvelle trajectoire elliptique? q

0AEa0(1¡e02)AE7,651012m-Q uedev iennentalor sl esdist ancesr0

Petr0 A, respectivement au périhélie et à l"aphélie? r 0

PAEq0/(1Åe0)AEa0(1¡e0)AE4,51012m etr0

AAEq0/(1¡e0)AEa0(1Åe0)AE25,51012m-D étermineraussi l esn ouvellesvitesses c orrespondantesv0

Petv0 A. C 0AEqq

0GMS)v0

PAEpq 0GMSr 0

PAE7100m/s etv0

AAEpq 0GMSr 0

AAE1250m/sUJF L1 4 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Forces centrales et gravitation : corrections 2013-2014

Satellite géostationnaire

?Exercice n° 3 Déterminer le rayon de l"orbite circulaire d"un satellite géostationnaire. Pour que le satellite soit géostationnaire il est néces- saire qu"il tourne à la même vitesse angulaire (1 tour par jour) autour de l"axe de rotation de la Terre. Par ailleurs son orbite ayant pour foyer la Terre on en conclus que cette orbite est circulaire (vitesse angu- laire constante) et dans le plan équatorial (perpendi- culaire à l"axe de rotation et contenant le centre de la

Terre).

D"après le PFD on a :

¡mr!2#urAE¡GmMTr

2#ur)rAE3sG

MT! 2

8.9 Satellite géostationnaire

L'orbite doit être circulaire, pour assurer une vitesse constante, et se trouver dans le plan de l'équateur. D'après le PFD: 2 2 3 2T rG r T G

Mmmru K ur

MrK Mm T

La période de révolution doit

être égale à celle de la terre.

Ce qui donne numériquement,

avec

2 /(246060) 2 /86400

6,6710 ( . .)

G KSI T M=610 24
kg 7

4,2310rm En enlevant le rayon de la terre, l'altitude s'établit à : 36000km

N.B. En toute rigueur la période de la terre à considérer est sa période de rotation sidérale

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