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Chapitre 6. Déterminant d"une matrice carrée

§1. Cas d"une matrice 2×2.

Définition. det?ab

c d 2

èmeécriture=

Chapitre 6. Déterminant d"une matrice carrée

§1. Cas d"une matrice 2×2.

Définition. det?ab

c d 2

èmeécriture=????ab

c d ?définition= Chapitre 6. Déterminant d"une matrice carrée

§1. Cas d"une matrice 2×2.

Définition. det?ab

c d 2

èmeécriture=????ab

c d ?définition= ad-bc.

Exemples.

?2 11 3???? =??, det?4 1 -1 3? Chapitre 6. Déterminant d"une matrice carrée

§1. Cas d"une matrice 2×2.

Définition. det?ab

c d 2

èmeécriture=????ab

c d ?définition= ad-bc.

Exemples.

?2 11 3???? =??, det?4 1 -1 3?

A quoi ça sert?

Chapitre 6. Déterminant d"une matrice carrée

§1. Cas d"une matrice 2×2.

Définition. det?ab

c d 2

èmeécriture=????ab

c d ?définition= ad-bc.

Exemples.

?2 11 3???? =??, det?4 1 -1 3? A quoi ça sert? Ca sert, à calculer l"inverse de la matrice (sielle existe), résoudre un système sans faire des échelonnements, tester lié ou libre, base ou pas ... Chapitre 6. Déterminant d"une matrice carrée

§1. Cas d"une matrice 2×2.

Définition. det?ab

c d 2

èmeécriture=????ab

c d ?définition= ad-bc.

Exemples.

?2 11 3???? =??, det?4 1 -1 3? A quoi ça sert? Ca sert, à calculer l"inverse de la matrice (sielle existe), résoudre un système sans faire des échelonnements, tester lié ou libre, base ou pas ...

Exemple (méthode de Cramer).?2 11 3??

x y? 4 -1? a comme solution : Chapitre 6. Déterminant d"une matrice carrée

§1. Cas d"une matrice 2×2.

Définition. det?ab

c d 2

èmeécriture=????ab

c d ?définition= ad-bc.

Exemples.

?2 11 3???? =??, det?4 1 -1 3? A quoi ça sert? Ca sert, à calculer l"inverse de la matrice (sielle existe), résoudre un système sans faire des échelonnements, tester lié ou libre, base ou pas ...

Exemple (méthode de Cramer).?2 11 3??

x y? 4 -1? a comme solution :x=???? 41
2 4 1-1 ?2 11 3????=?? Chapitre 6. Déterminant d"une matrice carrée

§1. Cas d"une matrice 2×2.

Définition. det?ab

c d 2

èmeécriture=????ab

c d ?définition= ad-bc.

Exemples.

?2 11 3???? =??, det?4 1 -1 3? A quoi ça sert? Ca sert, à calculer l"inverse de la matrice (sielle existe), résoudre un système sans faire des échelonnements, tester lié ou libre, base ou pas ...

Exemple (méthode de Cramer).?2 11 3??

x y? 4 -1? a comme solution :x=???? 41
2 4 1-1 ?2 11 3????=?? (x=13

5,y=-65)

Exemple (méthode de Cramer).?2 11 3??

x y? =?4 -1? a comme solution :x=???? 41

135,y=????

2 4 1-1 ?2 11 3????=-65.

Exo.Résoudre?2 11 1??

x y? 4 -1? , puis?a b c d?? x y? =?s t?

Exemple (méthode de Cramer).?2 11 3??

x y? =?4 -1? a comme solution :x=???? 41

135,y=????

2 4 1-1 ?2 11 3????=-65.

Exo.Résoudre?2 11 1??

x y? 4 -1? , puis?a b c d?? x y? =?s t?

Théorème de matrice inverse.

?a b c d? -1 =1 ?a b c d????? d-b -c a?

Exemple (méthode de Cramer).?2 11 3??

x y? =?4 -1? a comme solution :x=???? 41

135,y=????

2 4 1-1 ?2 11 3????=-65.

Exo.Résoudre?2 11 1??

x y? 4 -1? , puis?a b c d?? x y? =?s t?

Théorème de matrice inverse.

?a b c d? -1 =1 ?a b c d????? d-b -c a?

Preuve. Il suffit de multiplier... .

Exemple (méthode de Cramer).?2 11 3??

x y? =?4 -1? a comme solution :x=???? 41

135,y=????

2 4 1-1 ?2 11 3????=-65.

Exo.Résoudre?2 11 1??

x y? 4 -1? , puis?a b c d?? x y? =?s t?

Théorème de matrice inverse.

?a b c d? -1 =1 ?a b c d????? d-b -c a?

Preuve. Il suffit de multiplier... .

Exo.Calculer?2 01 3?

-1 ,?2-1 1 1? -1 ,?2 14 2? -1

§2. Déterminant 3×3 etn×n

Rappel.????a b

c d???? =ad-bc.Définition. ?a b c d e f g h i??????

§2. Déterminant 3×3 etn×n

Rappel.????a b

c d???? =ad-bc.Définition. ?a b c d e f g h i?????? suivant=la 1ecol.?????? ab c de f gh i??????

§2. Déterminant 3×3 etn×n

Rappel.????a b

c d???? =ad-bc.Définition. ?a b c d e f g h i?????? suivant=la 1ecol.?????? ab c de f gh i?????? a·????e f h i????

§2. Déterminant 3×3 etn×n

Rappel.????a b

c d???? =ad-bc.Définition. ?a b c d e f g h i?????? suivant=la 1ecol.?????? ab c de f gh i?????? a·????e f h i???? +(-d)·????b c h i????

§2. Déterminant 3×3 etn×n

Rappel.????a b

c d???? =ad-bc.Définition. ?a b c d e f g h i?????? suivant=la 1ecol.?????? ab c de f gh i?????? a·????e f h i???? +(-d)·????b c h i???? +g·????b c e f????

§2. Déterminant 3×3 etn×n

Rappel.????a b

c d???? =ad-bc.Définition. ?a b c d e f g h i?????? suivant=la 1ecol.?????? ab c de f gh i?????? a·????e f h i???? +(-d)·????b c h i???? +g·????b c e f???? ou bien (on obtient le même résultat) suivant =la 1eligne?????? abc d e f g h i??????

§2. Déterminant 3×3 etn×n

Rappel.????a b

c d???? =ad-bc.Définition. ?a b c d e f g h i?????? suivant=la 1ecol.?????? ab c de f gh i?????? a·????e f h i???? +(-d)·????b c h i???? +g·????b c e f???? ou bien (on obtient le même résultat) suivant =la 1eligne?????? abc d e f g h i?????? =a·????e f h i????

§2. Déterminant 3×3 etn×n

Rappel.????a b

c d???? =ad-bc.Définition. ?a b c d e f g h i?????? suivant=la 1ecol.?????? ab c de f gh i?????? a·????e f h i???? +(-d)·????b c h i???? +g·????b c e f???? ou bien (on obtient le même résultat) suivant =la 1eligne?????? abc d e f g h i?????? =a·????e f h i???? +(-b)·????d f g i???? +c·????d eg h????

Exemple. Calculer

?2-1 1 0 2-1

0 1 0??????

par les deux méthodes.

Calculer

?1 0 0 0

100 2-1 1

a0 2-1

§3. Lié ou libre?

Théorème.SoitAunematrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes : detA?=0detA=0

§3. Lié ou libre?

Théorème.SoitAunematrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes : detA?=0detA=0

Le systèmeA?x=?badmet-il une unique sol.?

§3. Lié ou libre?

Théorème.SoitAunematrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes : detA?=0detA=0 Le systèmeA?x=?badmet-il une unique sol.?OuiNon

§3. Lié ou libre?

Théorème.SoitAunematrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes : detA?=0detA=0 Le systèmeA?x=?badmet-il une unique sol.?OuiNon

Est-ce que la matriceAest inversible?

§3. Lié ou libre?

Théorème.SoitAunematrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes : detA?=0detA=0 Le systèmeA?x=?badmet-il une unique sol.?OuiNon

Est-ce que la matriceAest inversible?OuiNon

§3. Lié ou libre?

Théorème.SoitAunematrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes : detA?=0detA=0 Le systèmeA?x=?badmet-il une unique sol.?OuiNon

Est-ce que la matriceAest inversible?OuiNon

Les colonnes deAsont-elles liées ou libres?

§3. Lié ou libre?

Théorème.SoitAunematrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes : detA?=0detA=0 Le systèmeA?x=?badmet-il une unique sol.?OuiNon

Est-ce que la matriceAest inversible?OuiNon

Les colonnes deAsont-elles liées ou libres?libresliées

Les colonnes deAforment-elles une base?

Les colonnes deAsont-elles génératrices?

§3. Lié ou libre?

Théorème.SoitAunematrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes : detA?=0detA=0 Le systèmeA?x=?badmet-il une unique sol.?OuiNon

Est-ce que la matriceAest inversible?OuiNon

Les colonnes deAsont-elles liées ou libres?libresliées

Les colonnes deAforment-elles une base?

Les colonnes deAsont-elles génératrices?OuiNon

§3. Lié ou libre?

Théorème.SoitAunematrice carrée. Il suffit de vérifier siquotesdbs_dbs6.pdfusesText_11