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Alors, det(A) = det(B) × det(D) Démonstration Fixons les matrices C et D On note X1, , Xp les colonnes de la matrice B 

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i) Le déterminant est linéaire par rapport `a chaque vecteur-colonne, les autres étant fixés ii) Si une matrice A a deux vecteurs colonnes égaux, alors son 

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Déterminant d'une matrice carrée de taille 2 Le déterminant de la matrice A = ( a b c d ) `a coefficients dans K est le scalaire det(A) = \ \ \ \ a b c d

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11a12 a 21a22
=a11a22a12a21; a

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a33

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a33

=a11(a22a33a32a23) +a12(a23a31a33a21) +a13(a21a32a31a22) = (1)1+1a11 a 22a23
a 32a33
+ (1)1+2a12 a 21a23
a 31a33
+ (1)1+3a13 a 21a22
a 31a32
11a12 a 21a22
=a11a22a12a21 = (1)1+1a11ja22j+ (1)1+2a12ja21j: ????M= (aij)16i6n ??? ???????33? M 11=a 11a 12a 13a 21a
22a
23a
31a
32a
330
B @1 C A?a 22a
23a
32a
33 !
?M12=a 11a 12a 13a 21a
22a
23a
31a
32a
330
B @1 C A?a 21a
23a
31a
33 !
M 13=a 11a 12a 13a 21a
22a
23a
31a
32a
330
B @1 C A?a 21a
22a
31a
32 !
?M21=a 11a 12a 13a 21a
22a
23a
31a
32a
330
B @1 C A?a 12a 13a 32a
33 !
M 22=a
11a 12a 13a 21a
22a
23a
31a
32a
330
B @1 C A?a 11a 13a 31a
33 !
?M23=a 11a 12a 13a 21a
22a
23a
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B @1 C A?a 11a 12a 31a
32 !
M 31=a
11a 12a 13a 21a
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B @1 C A?a 12a 13a 22a
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B @1 C A?a 11a 13a 21a
23 !
M 33=a
11a 12a 13a 21a
22a
23a
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32a
330
B @1 C A?a 11a 12a 21a
22 !

16j6n2Mn(R)??? ??????? ?????? ?? ??????n>1? ?? ?????? ???

a

11? ??n >1? ????? ?? ???? ?

det(M) =a11det(M11)a12det(M12) ++ (1)na1n1det(M1n1) + (1)n+1a1ndet(M1n) nX j=1(1)1+ja1jdet(M1j) a a n1anj+bnjann a a n1anjann a a n1bnjann ???? ????16j6n? a a n1an1an3ann =a11 a a n1an3ann a11 a a n1an3ann +a13 a a

21an1an4ann

++ (1)n+1a1n a a

21an1an3ann1

(aij)16i6n 0 @a

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a331

A =0 @a

11a21a31

a

12a22a32

a

13a23a331

A ?????det(M) = det(tM)? ?????det(P)det(Q) = 1?

16j6n2Mn(R)??? ??????? ?????? ?? ??????n>2? ???? ????16

i6n? ?? ? ? det(M) = (1)i+1ai1det(Mi1) + (1)i+2ai2det(Mi2) ++ (1)i+naindet(Min) nX j=1(1)i+jaijdet(Mij):?~? ?? ????? ???? ????16j6n? ?? ? ? det(M) = (1)1+ja1jdet(M1j) + (1)2+ja2jdet(M2j) ++ (1)n+janjdet(Mnj) nX i=1(1)i+jaijdet(Mij):?}? ?????? ????? ??????? ?? ???????~? ?????? ?? ?? ?????? ??? ?? ?? ??????? ?? ??? ??i= 1? ?? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 0 436
7612
C

2 C22C1; C3 C33C1

36
612
3 0 6 0

C2 C22C1

= 0??? ??????? ?????? M=0 @1 2 3 4 5 6

7 8 91

A @1 4 71
A 2 3 8 9 1 3 7 9 1 2 3 4 5 6 a11???an1 a1r???anr 0 B @a

11a1r??????

a n1anr1 C A 10 B @a 11??? a n11 C A++r0 B @a 1r??? a nr1 C A=0 B @0??? 01 C A: 0 B @a 11??? a n11 C A=2 10 B @a 12??? a n21 C A 2 10 B @a 1r??? a nr1 C A a

11a1r??????

a r1arr P r j=2ja1jar2arr rX j=2 j a a rjar2arr 10 B @a 11??? a n11 C A++r0 B @a 1r??? aquotesdbs_dbs6.pdfusesText_11