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Calculer l'espérance et la variance de Un 3 2 Loi de Poisson Siméon Denis Poisson (1781-1840) Exercice 24 1

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2σ2 ) Déterminer des lois : exemples Exercice 1 Lois binomiale et géométrique Soit X1,X2, une suite de variables aléatoires indépendantes et de loi B(p) où

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Comme U et 1−U ont même loi, W suit aussi la loi exponentielle E(1) 3) La variable aléatoire R = √−log(U) a pour domaine de variation [0,∞[ Pour r < 0

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2°) On considère une variable aléatoire Y dont la loi de probabilité est la loi de Poisson de paramètre 1,55 a) Calculer les probabilités prob(Y = k) pour les

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Exercice 2 Le nombre X de désintégrations d'une substance radioactive durant un intervalle de temps de 7,5 secondes suit une loi de Poisson de paramètre 3

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Loi de Poisson Exercice 1 2 des bouteilles d'eau fabriquées par une usine sont défectueuses On appelle X la variable aléatoire qui à tout lot de 100

CORRIGÉ DES EXERCICES SUR LES LOIS DE POISSON

__________________

Exercice 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

P(X = k) 0,002 0,015 0,045 0,089 0,134 0,161 0,161 0,138 0,103 __________________

Exercice 2

X est la variable aléatoire donnant le nombre de personne se présentant au guichet dans un intervalle de

10 minutes, X suit la loi de Poisson de paramètre 5. P(X ³ 8) » 1 - P(X < 8) » 0,133.

__________________

Exercice 3

1°) P("Sur un lot de 100 bouteilles choisies au hasard, il n"y a aucune bouteille défectueuse") » 0,050.

2°) P("Sur un lot de 100 bouteilles choisies au hasard, il y a 2 bouteilles défectueuses")

» 0,224.

3°) P("Sur un lot de 100 bouteilles choisies au hasard, il y a 3 bouteilles défectueuses")

» 0,224.

4°) P("Sur un lot de 100 bouteilles choisies au hasard, il y a moins de 4 bouteilles défectueuses")

» 0,647.

__________________

Exercice 4

1° a) - P("La vente journalière est au plus égale à 5") » 0,7852.

b) - P("La vente journalière est au plus égale à 2 ou au moins égale à 6")

» 0,4529.

2° a) - La probabilité que deux jours de suite la vente soit au moins égale à 5 est environ 0,1377.

b) - La probabilité que la somme des ventes de deux jours consécutifs soit égale à 2 est environ 0,011.

__________________

Exercice 5

I - La moyenne est 4, la variance est environ 4,13 et l"écart type est environ 2,033. II

1°) - On peut utiliser la loi de Poisson car l"arrivée des camions est un phénomène aléatoire où le futur est

indépendant du passé, et de plus la moyenne et la variance ont des valeurs sensiblement identiques, environ

égales à 4. On peut prendre la loi de Poisson de paramètre 4. 2°

a) - Le nombre maximal d"arrivées de camions n"entraînant pas d"attente est 5 car il y a 5 quais de

déchargement. b) - La probabilité de n"avoir aucun camion en attente est P(X £ 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0,018 + 0,073 + 0,143 + 0,195 + 0,195 + 0,156 » 0,784.

3°)

- Soit n le nombre minimal de postes de déchargement pour que la probabilité de n"avoir aucun camion en

attente soit supérieure à 0,95. n est le plus petit entier naturel tel que P(X < n) > 0,95.

En calculant successivement P(X

< 6), P(X < 7) et P(X < 8), on constate que n = 8.

4°)

- X suivra alors la loi de Poisson de paramètre 8. Un raisonnement analogue au précédent donne n = 13.

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