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LOIS EXPONENTIELLES - EXERCICES Exercice n°1 (correction) La durée de vie, en heures, d'un composant électronique est modélisée par la loi 

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Pour la suite de l'exercice, on prendra λ= 0, 2 2 A quel instant t, à un mois près, la probabilité qu'un robot tombe en panne pour la première fois est 

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loscope est une variable aléatoire notée X qui suit la « loi de durée de vie sans vieillissement » (ou encore loi exponentielle de paramètre λ avec λ > 0

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(page de l'énoncé/page du corrigé) On admet que la variable D suit une loi exponentielle de paramètre λ= Dans la suite de l'exercice, on prendra λ = 0,125

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31 août 2012 · Exercice 20 (14 p 418, Math'x, TS, Didier) Une variable aléatoire Y suit une loi exponentielle de paramètre λ=2 1 Calculer t tel que P(Y>t)=0 

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Une variable aléatoire X suit une loi de probabilité de densité f Reprendre l' exercice 10 6 avec I = [0 ;3] et f (t)= 1 3 Reprendre l'exercice 10 5 avec I=[1;+∞ [ 1/5 une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0 1

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Exercice 1 Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(125 ; 0,3) Corrigé 2 Exercice 1 [10 pts] Loi exponentielle 1 D'après le cours P(T

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La durée d'attente en seconde de la caisse d'un supermarché est une variable aléatoire Y qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,01 Alors : a La densité 

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est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de toire qui suit une loi exponentielle de paramètre telle que 1 13 Cet exercice est un QCM Chaque  

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Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de feux verts rencontrés sur le trajet Quelle est sa loi de probabilité et son espérance ? Exercice 3 Pour aller  

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ds 7 Lois continues

1Exercice 1.[10 pts]Loi exponentielle

La durée de vie d"un lave-linge (en années) peut être modélisée par une variable aléatoireTsuivant

une loi exponentielle de paramètreλ.

Une étude statistique montre qu"au bout de 7 ans, 60% des lave-linges sont en état de fonction-

nement.

1.Montrer que les données se traduisent pare-7λ= 0,6

Donner la valeur deλarrondie à10-3

2. a)Calculer la probabilité qu"un lave-linge ait une durée de vie inférieure à 6 mois

b)Calculer la probabilité qu"un lave-linge ait une durée de vie supérieure ou égale à 10 ans

3. a)Calculer la demi-vie, c"est-à-dire le nombre d"annéesttel que

p(T < t) =p(T≥t) b)Calculer l"espérance de vie d"un lave-linge

4.Dans cette question, on notep=P(T≥10)etq= 1-p.

Le propriétaire d"une laverie veut installernlave-linges et il souhaite quela probabilité d"avoir

au moins un lave-linge qui dépasse 10 ans soit supérieure à 0,9. On suppose que deux lave-linges tombent en panne de façon indépendante. Montrer que cette condition se traduit par :

1-qn≥0,9

Combien de lave-linges faut-il installer ?

Exercice 2.[10 pts]Loi normale

Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.

1.Une variable aléatoireXsuit une loi binomialeB(125 ;0,3).

a)Donner l"espéranceμet l"écart-typeσdeX b)Justifier queZ=X-μσ peut être approchée par la loi normale centrée réduite c)CalculerP(X >35)

2.On admet que la proportion de femmes dans la population française est 51,4%.

a)On constitue un échantillon de 40 personnes et on notefla proportion de femmes dans cet

échantillon.

Dans quel intervalle fluctuefavec une probabilité de 0,95 ? b)On observe dans une classe 16 filles et 24 garçons : peut-on dire que les filles sont sous- représentées dans cette classe ?

3.Un sac contient une grande quantité de billes rouges et bleues.

Pour estimer la proportionpde billes rouges, on extrait un échantillon de 50 billes dans lequel on observe 13 billes rouges a)Quelle loi est suivie par le nombre de billes rouges ? Quelle approximation de cette loi peut-on proposer ? b)Donner une estimation depà l"aide d"un intervalle de confiance au niveau 0,95 . ds 7Corrigé

2Exercice 1.[10 pts]Loi exponentielle

1.D"après le coursP(T < t) = 1-e-λtetP(T≥t) =e-λt.

DoncP(T≥7) = 0,6??e-7λ= 0,6

Cette équation est équivalente àλ=ln0,6-7≈0,0732. a)P(T <0,5) = 1-e-0,0365≈0,036b)P(T≥10) =e-0,73≈0,483. a)1-e-λt=e-λt??e-λt= 0,5??t=ln2λ ≈9,5b)E(X) =1λ ≈13,74.On saitp= 0,48etq= 0,52. L"hypothèse d"indépendance implique que la probabilité qu"aucun lave-linge ne fonctionne au bout de 10 ans estqn. Donc la probabilité qu"au moins un lave-linge fonctionne au bout de 10 ans est1-qn.

Il faut donc installer au moins 4 lave-linges.

Exercice 2.[10 pts]Loi normale

1. a)μ= 37,5etσ= 5,12b)On vérifie125≥30ainsi que125×0,7≥125×0,3≥5

On peut donc appliquer Moivre-Laplace

La parité de la densité de la loi normale centrée réduite implique P? -aσ = 0,9??P? = 0,95

La calculatrice donne

aσ ≈1,64et donca≈8,422. a)Intervalle de centrep= 0,514et de rayon1⎷40 ≈0,158 La probabilité quefsoit dans [0,356 ; 0,669] dépasse 0,95 b)On calculef=1640 = 0,4?[0,356 ;0,669]: on peut donc dire que les filles ne sont pas sous-représentées

3. a)Le nombre de billes rouges suit une loi binomiale de paramètresn= 50etpinconnue

On peut approcher cette loi par une loi normale de paramètresμ=npetσ=?np(1-p) b)Un intervalle de confiance au niveau 0,95 dans lequel se trouvepest [0,12 ; 0,40] .quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23