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17 Calcul par la méthode du rectangle Dans les livres du secondaire, on estime le coefficient de corrélation par la formule suivante :

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le calcul de la covariance et du coefficient de corrélation linéaire La réponse graphique consiste `a tracer le nuage de points (xi,yi) dans le plan (x, y), que l'on  

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Calcul de la covariance : = + - 7,508 x 4,333 = 19,310 Calcul du coefficient de corrélation linéaire : Pour calculer r, il faut calculer : • Variance de X et écart-type  

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(Xk − Xn )2 La normalisation par n − 1 le rend sans biais (calcul) De plus (en développant), cet estimateur est fortement consistant 

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2 1) : Fig 2 1 Détails des calculs - Estimation de la covariance Au bas de la feuille de calcul, en colonne C et D nous avons la moyenne de chaque variable

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La covariance la moyenne de la somme du produit des écarts Exemple : calcul calcul ▷ indique la « force » d'une corrélation linéaire entre les données

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FSG - D

´epartement de math´ematiques et de statistique STT-2902 A-12 Emmanuelle Reny-NolinSemaine 6 : Covariance et corr

´elation

1 La covariance entreXetY

1.1 La covariance th

´eorique

La covariance th

´eorique

La covariance th

´eorique entre deux variables al´eatoiresXetYest une mesure d"association lin´eaire d´efinie

comme suit :

Cov(X;Y) =E(XX)(YY)

Remarques:

SiCov(X;Y)>0, alors la relation est ...

SiCov(X;Y)<0, alors la relation est ...

SiCov(X;Y) = 0, alors ...

SiXetYsont ind´ependantes, alorsCov(X;Y) =

Unit´es :

Valeurs possibles :

Propri

´et´es de la covariance th´eorique

1)Cov(X;X) =

2)Cov(X;Y) =

3)Cov(aX;Y) =

4)Cov(X+b;Y) =

5)Cov(X1+X2;Y) =

6)V ar(X+Y) =

7)V ar(XY) =

1.2 La covariance

´echantillonnale

La covariance

´echantillonnale

On estime en g

´en´eral la covariance th´eorique par la covariance´echantillonnale : d

Cov(X;Y) =n

P i=1(XiX)(YiY)n1 SXYn1 =1

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´epartement de math´ematiques et de statistique STT-2902 A-12 Emmanuelle Reny-Nolin2 La corr

´elation entreXetY

2.1 La corr

´elation th´eorique

Coefficient de corr

´elation th´eorique :

Pour r

´egler le probl`eme des unit´es de la covariance, on utilise plus souvent le coefficient de corr´elation entreXet

Y. =Cov(X;Y)pV ar(X)V ar(Y)

Ce coefficient est compris entre1et 1.

Unit

´es :

2.2 La corr

´elation´echantillonnale

Coefficient de corr

´elation´echantillonnal :r

On estime la corr

´elation par le coefficient de corr´elation´echantillonnalr: r=dCov(X;Y)S

XSY=1n1n

P i=1(XiX)(YiY)s 1 n1n P i=1(XiX)21n1n P i=1(YiY)2 SXYpS

XXSY Y=

Propri

´et´es der

2

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´epartement de math´ematiques et de statistique STT-2902 A-12 Emmanuelle Reny-NolinParmi les principales propri´et´es du coefficient de corr´elation, notons les suivantes :

1. Le coefficient de corr´elation mesure le degr´e d"association lin´eaire entre la variable

Xet la variableY.

3. On obtientr= 1 si et seulement si lesnpoints sont sur une droite de pente positive

et on obtientr=-1 si et seulement si lesnpoints sont sur une droite de pente n´egative.

4. Un coefficient de corr´elation nul indique l"absence d"association lin´eaire.

5. Un coefficient de corr´elation positif indique une association lin´eairepositiveentre la

variableXet la variableY: plusXest grand et plusYa tendance `a ˆetre grand; plusXest petit et plusYa tendance `a ˆetre petit. Cette association est d"autant plus forte querest proche de 1.

6. Un coefficient de corr´elation n´egatif indique une association lin´eairen´egativeentre

la variableXet la variableY: plusXest grand et plusYa tendance `a ˆetre petit; plusXest petit et plusYa tendance `a ˆetre grand. Cette association est d"autant plus forte querest proche de -1. Voici quelques exemples de nuages de points et leurs coefficients de corr´elation : Corrélation = 0.3Corrélation = 0.6Corrélation = 0.9 Corrélation = -0.3Corrélation = -0.6Corrélation = -0.9

209Questions

Sir= 1, que vaut^2=MSE?

Sir= 0, qu"est-ce que cela signifie?

Que vautrsi tous les points sont sur une droite de pente nulle?

Causalit

´e

Peut-on dire que plus une corr

´elation est forte entre 2 variables, plus cela indique la pr´esence d"un lien causal entre elles?3

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´epartement de math´ematiques et de statistique STT-2902 A-12 Emmanuelle Reny-NolinExemple sur l"IMC

Que valent la covariance et le coefficient de corr ´elation´echantillonnaux entre l"IMC et le poids selon l"´etude chez les jeunes de 16-17 ans?10152025303540455055

40 50 60 70 80 90 100 110

IMC

Poids(kg)

DiagrammededispersionRappels :

n= 278; SXX= 49442; SY Y= 5411; SXY= 128414

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´epartement de math´ematiques et de statistique STT-2902 A-12 Emmanuelle Reny-Nolin2.3 La m

´ethode du rectangle

Estimation depar le rectangle05101520253035

55,566,577,588,59

Nombredepatatesparplant

pHdusol

Nbpatates/plantenfonctiondupHSource :Visions, Sciences naturelles, manuel de l"´el`eve, volume 1, p. 17.

Calcul par la m

´ethode du rectangle

Dans les livres du secondaire, on estime le coefficient de corr

´elation par la formule suivante :

r5

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´epartement de math´ematiques et de statistique STT-2902 A-12 Emmanuelle Reny-Nolin2.4 Discr

´etisation de variables continues

Discr

´etisation de variables continues

On peut aussi d

´ecrire de fac¸on qualitative la corr´elation entreXetY`a partir du tableau de fr´equences (`a double

entr ´ee), o`u les valeurs sont regroup´ees en classes.

On dira qu"il y a corr

´elation si on observe ...

Exemple05101520253035

5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9

Nombredepatatesparplant

pHdusol

Nbpatates/plantenfonctiondupHCompl

´etez le tableau de fr´equences ci-dessous en vous basant sur le nuage de points. X

XXXXXXXXXNb patatespH[5;6[[6;7[[7;8[[8;9[Total

[5;10[[10;15[[15;20[[10;25[[25;30[Total

Que remarquez-vous?

6

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´epartement de math´ematiques et de statistique STT-2902 A-12 Emmanuelle Reny-NolinSauriez-vous calculer une valeur approximative du coefficient de corr

´elation entre le pH et le nombre de patates

par plant `a partir de ce tableau?7quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28