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M1 - en un pointMde l'espace (" localement », donc!) - par rapport à trois directions orthogonale xes du repère cartésien dans lequel on travaille. ÜIl faudra donctoujoursreprésenteren premierle repère cartésien (une origine O, trois axesOx,OyetOzqui doivent êtreorientés par une flèche, et les trois vecteur unitaires¡!ex;¡!ey;¡!ezcorrespondants)avantde dessiner la base locale au pointM.

Ex-M1.1Base locale cylindrique

Retenir :

nous avons absolu- ment besoin dela base cylindrique

Üdonc : la com-

prendre et bien eyez H m M O xyzex ey Ozxy M

Vue de dessusz

HM m

OVue dans le

"plan de la porte" ez

Ex-M1.3Mouvement circulaire uniforme :

Un" disque vynile 33 tr », placé sur la platine du tourne- disque, effectue un mouvement de rotation uniforme à raison de 33 tours par minute. Calculer :

1)sa vitesse angulaire de rotation, sa période et sa fré-

quence;

2)la vitesse et les accélérations (normale, tangentielle et

totale) d"un pointMà la périphérie du disque (rayonR=

15cm).

3)même question pour un pointM0tournant àr= 5cm

du centre du disque.

Rép. : 1)!= 3;5rad:s¡1;f= 0;55Hz;T= 1;8s.

2)v= 0;52m:s¡1;an= 1;8m:s¡2;at= 0;a=?

a

2t+a2n.

3)v0= 0;17m:s¡1;a0n= 0;6m:s¡2;a0t= 0;a0=a0n.

mouvement uniformen'estpasnulle si la trajectoire n'estpasune droite.

Autrement dit :

Pour chacune des questions, indiquer les propositions exactes : b) de m^eme sens que le vecteur vitesse; c) toujours de valeur constante. a) tangent µa la trajectoire; c) nul si la vitesse deMest constante.

Ex-M1.5Relation vitesse-position :

4a.

Ex-M1.6Poursuite en mer

se dirige vers l'est µa la vitessevAetBvers le nord µa la vitessevB. La courbure de la surface

2)Quelle directionBdoit-il prendre pour rattraperAavec un mouvement rectiligne uniforme?

v 2A v

2A+v2B;2)¿=d0

v

2B¡v2A¨

Ex-M1.7Mouvement elliptique(ÜCf CoursM7)

1 +ecosµ

2)Sachant que le mouvement est tel quer2_µ=cste=C,

PM Oq 2 ; ¼;3¼ 2 quel point de la trajectoire la vitesse est-elle maximale? minimale?

¡!v=C?esinµ

p

¡!er+1 +ecosµ

p

¡!eµ?

;3)v2=v2r+v2µ=C2 p

2(1 +e2+ 2ecosµ).

2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

(base" locale » = base définie enM) :

OM=r¡!er+z¡!ez

vM=R= _r¡!er+r_µ¡!eµ+ _z¡!ez d

Rque : Une B.O.N.D. vérifie la " règle des trois doigts de la main droite »Üalorsvérifiez-le

avec la vôtre, de main droite! eyez H m M O xyzex ey Ozxy M

Vue de dessusz

HM m

OVue dans le

"plan de la porte" ez er eq ezr eqer r er eq qr e q H z z ez ez q

Solution Ex-M1.2

Ma pour coordonnées(r; µ; ')dans le référentielRd"origineOet de Base locale(¡!er;¡!eµ;¡!e')

(base " locale » = base définie enM) :

OM=r¡!er

vM=R= _r¡!er+r_µ¡!eµ+rsinµ_'¡!e' d

Rque : Une B.O.N.D. vérifie la " règle des trois doigts de la main droite »Üalorsvérifiez-le

avec la vôtre, de main droite! ex ej ey er eq ez H m M O xyzex ey Ozxy M

Vue de dessusz

HM m

OVue dans le

"plan de la porte" ez j qrer r er r je j ej eq eqq

Solution Ex-M1.4

1.b)(la réponse c) n"est vraie que lorsqu"on exprime l"accélération dans la base cartésienne; elle

est fausse si on travaille dans la base polaire));2.a);3.b);4.c) Sur une route rectiligneOx, une voiture(1)de longueurl1de vitessev1double un autocar de longueurLet de vitesseV. En face arrive une voiture(2)de longueurl2à la vitessev2. Quelle distance minimumDentre l"avant de la voiture(1)et l"avant de la voiture(2)permet à la voiture (1)de doubler?A.N.avecl1=l2= 4m,L= 20m,v=v2= 90km:h¡1etV= 72km:h¡1. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3

¦Ex-M1.9Vitesse moyenne et vitesse maximale

Un automobiliste parcourt une distanced= 1;25kmsur une route rectiligne. Son mouvement

est uniformément accéléré, puis uniforme, puis uniformément retardé. L"accélérationaest égale

en valeur absolue à0m:s¡2ou à2;5m:s¡2et la vitesse moyenne vaut75km:h¡1. Déterminer la vitesse maximale de l"automobiliste.

Rép :vmax=a:d

2vmoy¡?

a:d

2vmoy?

2

¡a:d= 25m:s¡1= 90km:h¡1

Ex-M1.10Spirale et base polaire

Un point matériel M parcourt avec une vitesse de norme constantevla spirale d"équation po- laire :r=aµ. Exprimer en fonction deµet devle vecteur vitesse de M dans la base polaire.

Rép. :¡!v=v

p

1 +µ2(¡!er+µ¡!eµ).

Soit l"hélice droite définie en coordonnées cylindriques par les équations :r=Retz=hµ et orientée dans le sensµcroissant (soithcste>0). L'origine de la trajectoire du point M est enz= 0.

1)Déterminer les équations de l"hélice en coordonnées car-

tésiennes.

2)Le point M parcourt l"hélice à une vitesse constantev.

a) Déterminer les vecteurs vitesse et accélération en fonction deR, hetv. b) Montrer que l'angle®=(¡!ez;¡!v)est constant.

En déduire l'hodographe du mouvement.xyz

2 hp

Ex-M1.12Mouvement cycloijdal (**)

Une roue de rayonRet de centre C roule sans glis-

ser sur l"axe(Ox)à vitesse angulaire!constante tout en restant dans le plan(Oxz). Soit M un point liée à la roue situé sur la circonférence. À l"instant t= 0, M se trouve enM0(x= 0; z= 2R). Les mou- vements sont étudiés dans le référentiel Rassocié au repère(O;¡!ex;¡!ey;¡!ez).

1)Comment exprimer la condition " la roue ne

glisse pas »? xz exeye z wM O0 M CC eyq I 0

2)Déterminer les coordonnéesxCetzCde C à l"instantt.

3)Même question pour M.

4)Étudier la trajectoire définie par le système d"équations paramétriques(x(µ);z(µ))avecµ=

!t. La tracer pourµ2[-4¼; 4¼].

5)Calculer la vitesse¡¡¡!vM=Rdu point M à l"instantt. Exprimer sa normeven fonction de???cosµ

2

En déduire l"hodographe du mouvement.

6)Calculer l"accélération¡¡¡!aM=Rdu point M à l"instantt. Exprimer sa norme en fonction deR

etv. Calculer numériquement cette norme de l"accélération dans le cas d"un point périphérique

d"un pneu de voiture roulant à130km:h¡1sur une autoroute (R= 35cm).

7)Déterminer¡¡¡!vM=Ret¡¡¡!aM=RlorsqueMest en contact avec l"axe(Ox).

4http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

Il est nécessaire de faire deux sché-

mas de l"axeOxoù, sur le pre- mier, on fait apparaître les posi- tions des trois véhicules au début du dépassement (l"origineOétant l"avant de la voiture (1) coïncidant,

àt= 0, avec l"arrière du bus qu"elle

dépasse) et où, sur le second, on re- présente les positions des véhicules

à la fin du dépassement dans la si-

tuation la plus critique, la voiture (1) se rabattantin extremis.l1l2 L O D x x v1v2 V t=0 t=tf

En utilisant les propriétés du mouvement rectiligne uniforme, on écrit les équations horaires des

diérents points : on notex1les abscisses relatives à la voiture qui double,x2celles relatives à

la voiture qui arrive en face etXcelle relatives au bus. On note l"indiceAVpour l"avant d"un véhicule etARpour l"arrière de ce véhicule. x1;AV=v1t x

1;AR=v1t¡l1?

XAV=V t+L

X

AR=V t?

x2;AV=¡v2t+D x

2;AR=¡v2t+D+l2

À la datetfde la fin du dépassement, l"accident sera évité si : x1;AR=XAV x

1;AV< x2;AV,?v1tf¡l1=V tf+L

v

1t <¡v2t+D)?

???t f=L+l1 v

1¡V

D > v1+v2 v

1¡V(L+l1) = 240m

Solution Ex-M1.12

1)Condition de roulement sans glissement :C0C=?OI()vt=Rµ()v=R_µ´R!.

2)

¡¡!OC?xC=Rµ=R!t

z C=R 3) ¡¡!OM=¡¡!OC+¡¡!CM?xC=R(µ+ sinµ) =R(!t+ sin!t) z

C=R(1 + cosµ) =R(1 + cos!t)

4)z(µ)est une fonction périodique paire

de période2¼etx(µ+2¼) =x(µ)+2¼R: il suffit donc d"étudierxetzsurµ2[0;2¼].

Le reste de la courbe se déduisant par

translation de2¼Rselon(Ox)et par sy- métrie par rapport àOzsi on veut tracer

On étudie d"abord

?x0(µ) =R(1 + cosµ) z

0(µ) =¡Rsinµ

On pose²=µ¡¼pour étudier la tangente

à la courbe au point de paramètreµ=¼.

Le coefficient directeur de la tangente à la

courbe est :p=dz dx=dz dµdµ dx=z0(µ) x

0(µ)

p=¡Rsin(¼+²)

R(1 + cos(¼+²))=sin²

1¡cos²

z(q) 0 pR2R 2pR x(q)3pR !Doncp(µ=¼) = lim²!0sin²

1¡cos²'²

2=2=2 ¡! 1: la tangente enµ=¼[2¼]est verticale : on dit que la courbe présente un point de rebroussement enµ=¼. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/5 _z

¡R!sin!t

¡R!sinµ

Cl :L"hodographe du mouvement est donc un cercle de centre(R!;0)et de rayonv=R!.

De plus :

v

2M= _x2+ _z2=R2!2:2(1 + cos!t) = 4R2!2cos2µ

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