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?Exercices deBTS sur les probabilités.

Exercice1Polynésie mai 2012

A. Probabilitésconditionnelles

Un fabricant d"ampoules fluocompactes dispose de trois chaînes de montage A, B, C : — la chaîne de montage A fournit 20% de la production totale del"usine, — la chaîne de montage B fournit 20% de la production totale del"usine, — la chaîne de montage C fournit 60% de la production totale del"usine. Les ampoules qui sortent des trois chaînes sont testées : — le pourcentage d"ampoules défectueuses issues de la chaîne de montage A est 1,2%, — le pourcentage d"ampoules défectueuses issues de la chaîne de montage B est 3,3%, — le pourcentage d"ampoules défectueuses issues de la chaîne de montage C est 1,5%.

On note :

— A l"événement "l"ampoule est issue de la chaîne de montage A» — B l"événement "l"ampoule est issue de la chaîne de montage B» — C l"événement "l"ampoule est issue de la chaîne de montage C» — D l"événement "l"ampoule est défectueuse»

1.Montrer que le pourcentage d"ampoules défectueuses sur la production totale de l"usine s"élève à 1,8%.

2.Calculer la probabilité qu"une ampoule provienne de la chaîne B sachant qu"elle est défectueuse. Arrondir le résultat à10-2.

B. Loi binomiale

Danscette partieles résultatsserontarrondisà 10 -2 On prélève au hasard 50 ampoules dans la production totale d"une journée de l"usine.

On assimile ce tirage à un tirage avec remise.

On considère la variable aléatoireXqui, à tout prélèvement de 50 ampoules, associe le nombre d"ampoules qui sont défectueuses.

On rappelle que la probabilité pour qu"une ampoule prise au hasard soit défectueuse est de 0,018.

1.Expliquer pourquoi la variable aléatoireXsuit une loi binomiale, dont on déterminera les paramètres.

2.CalculerP(X=2).

3.Calculer la probabilité qu"au moins une pièce soit défectueuse.

C. Loinormale

Danscette partieles résultatsserontarrondisà 10 -4

On considère la variable aléatoireYqui, à toute ampoule prélevée au hasard dans la production journalière de l"usine, associe sa

durée de vie en heures.

1.On admet queYsuit une loi normale de moyenne 8300 et d"écart type250.

Calculer la probabilitéP(Y?8615).

2.Ces ampoules sont vendues dans le commerce, mais les informations concernant leur durée de vie ont dû être légèrement

modifiées pour tenir compte du nombre moyen d"allumages et d"extinctions. On admet queYsuit une loi normale de moyennemet d"écart typeσ.

On trouve, avec les précisions fournies par la table ou la calculatrice, queP(Y?7436)=0,2912etP(Y?8204)=0,8531.

a.Vérifier quemetσvérifient l"équation1,05σ+m=8204.

b.En admettant quemetσvérifient également l"équation-0,55σ+m=7436, déterminermetσ.

Exercice2Métropolejuin 2014

PartieA.

Un magasin spécialisé dans la vente de produits frais non stockables s"approvisionne quotidiennement auprès de deux grossistes

ADON et BRIX.

Le grossiste ADON fournit 75% des produits et le grossiste BRIX fournit les autres produits.

93% des produits provenant du grossiste ADON sont commercialisables et 85% des produits provenant du grossiste BRIX sont

commercialisables.

Un jour donné, on prélève au hasard un produit parmi la totalité des produits livrés ce jour par les deux grossistes. On suppose que

tous les produits ont la même probabilité d"être prélevés.

On définit les évènements :

A: "Le produit prélevé provient du grossiste ADON»; B: "Le produit prélevé provient du grossiste BRIX»;

C: "Le produit est commercialisable».

1

1.Donner les probabilités suivantes :P(A),P(B),PA(C)etPB(C).

On rappelle quePA(C)désigne la probabilité de l"évènementCsachant que l"évènementAest réalisé.

2.Calculer les probabilitésP(A∩C)etP(B∩C).

3.En déduire la probabilité que le produit prélevé soit commercialisable.

4.Calculer la probabilité qu"un produit prélevé provienne dugrossiste ADON sachant qu"il est commercialisable. On arrondira

le résultat au centième. Dans lespartiesB et C, lesrésultatsdemandés serontarrondisà 10-2.

PartieB.

Dans la livraison de ces produits un jour donné, on prélève auhasard 20 produits pour effectuer un contrôle. La livraisonest assez

importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 produits.

OnnoteEl"évènement :"unproduitprélevé auhasarddanscettelivraison n"estpascommercialisable». OnadmetqueP(E)=0,09.

On considère la variable aléatoireXqui, à tout prélèvement de 20 produits, associe le nombre de produits non commercialisables

parmi ces 20 produits.

1.Justifier que la variable aléatoireXsuit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

2.Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait exactement deux produits non commercialisables.

3.Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au moins dix-neuf produits commercialisables.

PartieC.

Dans cette partie, on s"intéresse à la vente d"articles d"unmême type parmi l"ensemble des produits frais proposés.

Le nombre d"articles de ce type vendus par jour peut être modélisé par une variable aléatoireYqui suit la loi normale de moyenne

40 et d"écart type 10. Le magasin réalise sur la vente de chaque article un bénéfice de 3 euros.

1. a.Quelle quantité d"articles de ce type doit-on vendre un jourdonné pour réaliser un bénéfice de 150 euros?

b.Calculer la probabilité que le bénéfice journalier sur la vente des articles de ce type soit au moins égal à 150 euros.

2.Si la quantité d"articles de ce type en stock en début de journée est de 55 unités, quelle est la probabilité que le magasin ne

soit pas en rupture de stock sur cet article un jour donné.

3.De quelle quantité d"articles de ce type doit-on disposer endébut de journée pour que la probabilité de rupture de stock

avant la fin de la journée soit inférieure à0,025?

Exercice3NouvelleCalédonie2014

Une entreprise fabrique des composants électroniques. Pour chaque composant sortant de l"usine, on a constaté qu"il pouvait

présenter au maximum deux défauts indépendants. Si au moinsun des défauts est constaté, le composant est dit hors d"usage. Si le

composant ne présente aucun défaut, on dit qu"il est conforme. Le défaut 1 : la puce électronique est mal placée, cela concerne 2% des composants. Le défaut 2 : le composant est surdimensionné, cela concerne5% des composants.

PartieA

On prélève au hasard un composant produit par cette entreprise. Tous les composants ont la même probabilité d"être prélevés. On

considère les deux évènements suivants : A : "le composant prélevé présente le défaut 1»; B : "le composant prélevé présente le défaut 2».

1.Quelle est la probabilité que le composant prélevé présenteles deux défauts?

2.Quelle est la probabilité que le composant prélevé soit horsd"usage?

3.Quelle est la probabilité que le composant prélevé soit conforme?

PartieB

On prélève 100 composants au hasard. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce choix de 100

composants à un tirage avec remise de 100 composants. On admet que la probabilité qu"un composant soit conforme est0,93.

On considère la variable aléatoireXqui, à tout prélèvement de 100 composants, associe le nombrede composants conformes.

1.Justifier que la variable aléatoireXsuit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.2

2.Déterminer l"espérance mathématique et l"écart-type de lavariable aléatoireX. On arrondira les résultats si nécessaire à

10 -1.

3.Montrer que la probabilité de l"évènement F : "tous les composants prélevés sont conformes»est très proche de0.

4.Calculer la probabilité de l"évènement F : "au moins deux composants prélevés sont hors d"usage ». Arrondir le résultat à

10 -2.

PartieC

On décided"approcher la variablealéatoireXpar une variable aléatoireZqui suit la loi normale de moyennem=93et d"écarttype

σ=2,55.

1.Calculer la probabilitéP(89?Z?95). On arrondira le résultat à10-4.

2.CalculerP(Z?89). On arrondira le résultat à10-4.

3.Déterminer le plus grand nombre entierntel queP(Z?n)?0,95.

Exercice4Métropole2015

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes

Le centre d"approvisionnement d"une chaîne de magasin spécialisée dans le jardinage et l"animalerie vient de recevoirune impor-

tante livraison de sable noir et blanc pour la décoration desfonds d"aquarium, de la part d"un nouveau fournisseur.

Ce sable d"une granulométrie importante est déjà conditionné en sacs d"environ 3 litres.£

À l"issue d"une série de tests, deux types de défauts sont apparus, notés respectivementcetj.

Le défautcconsiste en la présence d"agrégats calcaires. Le défautjconsiste en la présence de "grains» de sable jaune. On dit qu"un sac est défectueux s"il présente au moins un des deux défautscouj. Partie A - Évènements indépendants, probabilitésconditionnelles On prélève un sac au hasard dans cette livraison.

On noteC, l"évènement "le sac présente le défautc»etJl"évènement "le sac présente le défautj».

On suppose que ces deux évènements sont indépendants.

Les tests préalables ont permis d"établir que 2% des sacs présentent le défautcet que 3 % des sacs présentent le défautj.

1.Donner la valeur des probabilitésP(C)etP(J).

2.On noteEl"évènement : "le sac présente les deux défautscetj». Justifier queP(E)=0,0006.

3.On noteDl"évènement : "le sac est défectueux». Justifier queP(D)=0,0494.

Dans tout ce qui suit, les probabilités demandées sont à arrondir à10-3.

Partie B - Loi binomiale

Onprélève au hasard40 sacspour vérification, le stockétantassez important pour assimiler ceprélèvement àuntirage avecremise.

On rappelle que la probabilité qu"un sac soit défectueux est0,0494.

On considère la variable aléatoireXqui à tout prélèvement de 40 sacs associe le nombre de sacs défectueux.

1.Justifier que la variable aléatoireXsuit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

2.Calculer la probabilité pour que dans un tel prélèvement, ily ait exactement deux sacs défectueux.

3.Calculer la probabilité pour que dans un tel prélèvement, ily ait au, moins trois sacs défectueux.

Partie C - Loi normale

On s"intéresse dorénavant au volume d"un sac. La variable aléatoire qui à chaque sac associe sa contenance en litre est notéeV. On

admet, au vu des résultats de tests effectués, queVsuit la loi normale d"espérance 3,15 et d"écart-type 0,1.

1. a.Donner la valeur d"un nombre réelatel quep(3,15-a?V?3,15+a)=0,95à10-2près

b.Interpréter ce résultat à l"aide d"une phrase

2.Un sac dont le volume est inférieur à 2,9 litres est rejeté

a.Calculer, à l"aide de la calculatrice, la probabilité qu"unsac soit rejeté

b.Sans calcul supplémentaire et en expliquant votre démarche, donner la probabilité qu"un sac ait un volume supérieur à

3,4 litres.

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