[PDF] Série dexercices no3/5 Résolution numérique déquations non PDF TD3-AN-2018.pdf

Exercice 1 Valeur approchée de √ 5 On se propose de calculer une valeur approchée de √ 5 en appliquant la méthode de Newton-Raphson à l'équation

(Éventuellement, tracez les graphes et lisez le corrigé pour avoir les commentaires ) L'exercice 2 donne la relation de récurrence qui définit la suite de Newton

[PDF] Analyse Numérique

Corrigé du TD 5 xn+1 tel que f(xn+1) = 0, d'o`u la méthode de Newton Par suite, d'apr`es l'exercice 1, la convergence de la méthode de Newton est

[PDF] 233 Exercices (méthode de Newton)

2 3 3 Exercices (méthode de Newton) Exercice 82 (Newton et logarithme) Suggestions en page 183 Corrigé en page 184 Soit f la fonction de IR∗+ dans IR

[PDF] EXAMEN 1 - Corrigé

4) Nous ne répondrons à aucune question concernant ces exercices, sauf si (v ) [5 pts] Appliquer la méthode de Newton à l'équation de départ et faites 2 ité-

[PDF] Série dexercices no3/5 Résolution numérique déquations non

Exercice 1 Valeur approchée de √ 5 On se propose de calculer une valeur approchée de √ 5 en appliquant la méthode de Newton-Raphson à l'équation

[PDF] Résolution déquations non linéaires £ ¢ ¡ Exercice 41 - LMPA

autrement dit la méthode de point fixe assignée est la méthode de Newton (qu'on sait être d'ordre de convergence égale `a 2 lorsque la racine est simple) £ ¢

[PDF] 1 Point fixe et Newton

Étant donnée une fonction non contractante quelconque f : [a, b] → R, sous quelles conditions sur f votre méthode est-elle applicable ? Exercice 3 Du point fixe à

[PDF] TS DM5 - Correction Méthode de NEWTON-RAPHSON Soit I un

Méthode de NEWTON-RAPHSON Soit I un intervalle de Ret f une fonction dérivable sur I Pour déterminer une approximation numérique des solutions de

[PDF] S2 : Analyse Ch 3 : Résolution numérique déquations (avec TD3

Vérifiez que les hypoth`eses de la méthode de Newton sont satisfaites sur cet intervalle 2 On pose x0 = 1 Calculer l'équation de la tangente au point M0 du

43, boulevard du 11 novembre 1918Spécialité : Mathématiques

69622 Villeurbanne cedex, FranceAnalyse numérique L2- Printemps 2018

Série d"exercices n

o3/5 Résolution numérique d"équations non linéaires

Exercice 1.Valeur approchée de

p5On se propose de calculer une valeur approchée dep5en appliquant la méthode de Newton-Raphson à l"équation x

25 = 0, pourx >0.

F ormulerla suite (xn)ninNde Newton-Raphson.

2. En prenant x0= 2, comme valeur initiale, calculerx1,x2,x3sous forme fractionnaire. 3.

Donner x4sous forme fractionnaire.

Comment f aut-ilprocéder pour être sûr d"a voirune v aleure xactpour 10 chif fresaprès la

virgule en écriture décimale. Exercice 2.Points fixes attractifs et répulsifs 1. Soient IRun intervalle ouvert etg:I!Iune fonction de classeC1. Soitx2Iun

point fixe deg. Pourx02Idonné on considère la suite définie par récurrence par la relation

x p+1=g(xp), pour toutp2N. Dans toute cette partie, pour touth >0, nous noteronsVhl"intervalle fermé[xh;x+h]. (a)

On suppose que jg0(x)j<1.

Montrer qu"il existeh >0avecVhItel que pour toutx02Vh, on aitxp2Vh, pour toutp2Net qu"en plus la suite(xp)p2Nconverge versxquandptend vers+1.

On dit alors quexest un point attractif deg.

(b)

On suppose maintenant jg0(x)j>1.

Montrer qu"il existeh >0avecVhItel que pour toutx02Vh fxgon ait jg(x0)xj>jx0xj. On s"éloigne du point fixexsi le point de départ n"est pasx. Dans ce cas on dit que le point fixe est répulsif. 2. Soit f:R!Rdonnée parf(x) =x34x+1. On se propose de résoudre numériquement l"équation f(x) = 0 (E). 1 (a)Montrer que l"é quation(E)admet 3 racines réelles notéesa1,a2eta3avec 52
< a1<2,0< a2<12 et32 < a3<2. (b)

On réécrit (E)sous la formex='(x)avec

'(x) =14 (x3+ 1). Montrer que seula2est un point fixe attractif de'. Conclure. (c)

Montrer que pour x >14

l"équation(E)est équivalente àx='+(x), où +(x) =r41x Montrer alors quea3est un point fixe attractif de'+. (d) Montrer que pour x <0l"équation(E)est équivalente àx='(x), où +(x) =r41x Montrer alors quea1est un point fixe attractif de'. Exercice 3.Convergence globale partielleSoitf:R!Rune fonction de classeC2. On suppose qu"il existe2Rracine def( c"est à diref() = 0) telles que les fonctionsf,f0etf00ne s"annulent pas sur l"intervalle];+1[et ont toutes le même signe sur];+1[(elles sont soit toutes les trois strictement positives, soit strictement négatives). On considère la suite(xk)k2Nréelle définie par récurrence par la relation x

0> donné, etxk+1=xkf(xk)f

0(xk)pour toutk2N.

1. Soit p2Ntel que l"élémentxpsoit bien défini avec en plusxp> . Montrer quexp+1est bien défini et qu"il existecp2];xp[tel que x p+1=(xp)2f00(cp)2f0(xp). En déduire que la suite(xk)k2Nest bien définie et que pour toutk2Non axk> . 2. Montrer que la suite (xk)k2Nest décroissante. En déduire que lim k!+1xk=. 3. Supposons en plus que f0()6= 0etf00()6= 0. Quel est l"ordre de convergence de la suite (xk)k2N? 4. Applicat ion: supposons que fsoit un polynôme de degrén, ayantnracines réelles distinctes et soit2Rla plus grande racine def.

Montrer que les hypothèses des ponts précédents sont satisfaites. Que peut-on en déduire?

2 trouver une valeur approchée d"une des racines, nous devons évaluerP(x)etP0(x). Évaluer les valeurs deP(x)pour unxdonné peut quelques fois s"avérer assez long. 1. On considè rele polynôme de de grénsuivant

P(x) =anxn+an1xn1+:::+a1x+a0.

Nous posonsbn=anet pour toutk= 0;:::;n1,bk=ak+bk+1x0. (a) Si nous posons Q(x) =bnxn1+bn1xn2+::::b2x+b1, un polynôme de degrén1, montrer queP(x) = (xx0)Q(x) +b0. (b)

Év aluerP(x0).

2. Exprimer la déri vede Pen fonction deQetQ0. Que peut-on en déduire sur le calcul des termes de la suite de la méthode de Newton-Raphson par cette méthode? 3. Applicat ion: on considère le polynôme P(x) = 2x43x2+ 3x4. 4. Montrer qu"il e xisteune unique racine de ce polynôme située entre 3et3=2. On choisit x

0=2dans la suite de l"exercice.

(a) (b) En déduire x1(premier terme de la suite définie par la méthode de Newton-Raphson). (c) Répéter cet teméthode pour trouv erx2etx3. (d) En déduire une v aleurapproché ede la racine xdePsituée entre3et3=2.

Exercice 5.Méthode de Newton.

1. On cherche à calculer les zéros de f:R!R,x7!x22. (a) Montrer que chac undes zéros de fpeut être approché par la méthode de Newton. (b) Écrire e xplicitementla relation de récurrence vérifiée par les suites des itérés. (c)

L "algorithmee st-ilglobalement défini ?

On s"inté resseau système en (x1;x2)2R2

5x1+ 2sinx1+ 2cosx2= 0;

5x2+ 2sinx2+ 2cosx1= 0:

(a) Récrire la recherche de solutions au système pré cédentcomme la recherche de zéros d"une certaine fonctionf:R2!R2. (b) Montrer que chacun des zéros év entuelsde fpeut être approché par la méthode de

Newton.

(c)

Écrire la relation de récurrence vérifiée par la suite des itérées et justifier que l"algo-

rithme est globalement bien défini. 3 Exercice 6.Examen Mai 2017 - Exercice 2 - 40 minutes - 9 points

On considère l"équation

(E)x(1 +ex) =ex;oùx2R. 1. (2 points) Montrer que cette équation admet une unique solution réelle ldans[0;1]. 2. (3 points) O npose f1la fonction définie pour toutx2Rpar f

1(x) =x(1 +ex)ex.

(a) (3 points) Écrire la méthode de Ne wton-Raphsonpour approcher la solution len se servant de la fonctionf1précédente. Est-ce que la suite construite par cette méthode est toujours définie? Justifier la réponse. (b)Bonus : (+2 points)Justifier le fait que la suite construite à partir de cette méthode converge et donner l"ordre de convergence de l"erreur. (c)Bonus : (+1 point)Donner une interprétation graphique de cette méthode. 3. (4 points) On considère maintenant la fonction f2définie pour toutx2Rpar f

2(x) =ex1 +ex.

On considère également la suite définie par : x

02[0;1], et pour toutn2Nparxn+1=f2(xn):

(a) (1.5 point) Montrer que l"interv alle[0;1]est stable parf2. (b) (1.5 point) Montrer que f2est strictement contractante dans cet intervalle. (c) (1 point) En déduire que la suite con vergev ersla solution de l"équation ( E) dans[0;1]. 4quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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[PDF] Devoir de révision : la méthode de Newton