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Devoir Maison N
o2 - Licence MASS 2eme annee. Exercice.Une compagnie aerienne donne des reservations sur le vol d'un appareil de400 places. La probabilite qu'un passager ayant reserve pour ce vol ne se presente pas a
l'embarquement est de0;08 = 8%. a)SoitXla variable aleatoire qui decrit le choix d'un passager, et qui vaut1si le pas- sager en question se presente a l'embarquement et0si le passager se desiste. Quelle loi de probabilite est-il raisonnable d'associer a la variable aleatoireX? Donner le parametrep0de cette loi. Calculer alorsE(X)etVar(X). Reponse.La variable aleatoireXest une variable aleatoire reelle discrete, qui prend ses valeurs dans l'ensemblef0;1g. C'est donc une variable aleatoire de Bernouilli. Sa loi est entierement determinee parP(X= 1) etP(X= 0). On notep0=P(X= 1). D'apres l'enonce, on a p0= 92% = 0;92:
On aE(X) = 0P(X= 0) + 1P(X= 1) =p0;
E(X2) = 02P(X= 0) + 12P(X= 1) =p0;
etV(X) =E(X2)E(X)2=p0p02=p0(1p0):
b)Si la compagnie accorde420reservations sur ce vol, quel est le risque de \surbooking", i.e., quelle est la probabilite que se presentent plus de passagers que les400qui pourront embarquer? (On commencera par modeliser ce probleme a l'aide d'une famille de variables aleatoiresXi,i= 1;:::;420, independantes et de m^eme loi, et dont on choisira la loi en s'aidant de la question a)). Reponse.Pouri2N, on appelleXila variable aleatoire qui vaut 1 si lei-eme passager se presente a l'embarquement, et qui vaut 0 sinon. On supposera que les variables aleatoires X iont toutes la m^eme loi de Bernouilli de parametrep0, et qu'elles sont mutuellement independantes. La variable aleatoireS=X1+X2+:::+X420represente le nombre de passagers qui se presentent a l'embarquement. La probabilite de surbooking est donc la probabilite de l'evenement :A=fS >400g:
On aP(A) =P
420Xi=1X i>400! =P P420 =P P420 i=1Xi420E(X1)p420V(X1)>2;45! = 1P P420 i=1Xi420E(X1)p420V(X1)2;45! :(1) Les variables aleatoiresXietant independantes et de m^eme loi, et puisquen= 42030, np
010 etn(1p0)10, on peut, a l'aide du theoreme de la limite centrale, approximer
loi deP 420i=1Xi420E(X1)p420V(X1)par la loi normale centree reduite. En utilisant les tables de la loi normale centree reduite, on obtient alors l'approximation :
P(A)'199;29% = 0;71%:
2 c)Quel est le nombre maximum de billet que doit vendre la compagnie pour ^etre s^ure a99%que tous les passagers qui se presenteront a l'embarquement avec un billet aient une
place dans l'avion?Reponse.On cherche le plus grand entierNtel que
P(NX i=1X i400)99%:On cherche donc le plus grandNtel que
P PN i=1XiNE(X1)pNV(X1)400N0;92pN0;080;92! 99%:Comme dans la question precedente, on peut approximer la loi de P N i=1XiNE(X1)pNV(X1)par la loi normale centree reduiteN(0;1). Le nombreNverie donc (approximativement) l'equation