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Corrigé : Propagation d"une onde dans
le domaine optiquePartie I : optique géométrique
I-1- L"approximation de l"optique géométrique est l"approximation des très faibles longueurs
d"onde. L"amplitude des ondes considérées varie peu sur des distances de l"ordre de la longueur
d"onde l, ce qui implique l < a- Transparent : l"indice n(P) est réel : il n"y a pas d"absorption de l"énergie lumineuse. Isotrope : toutes les directions de l"espace sont équivalentes vis à vis des propriétés du a- Homogène : n(P) est indépendant de P, l"indice est le même en tout point. Alors L(AB) = n A) B . L(AB) est stationnaire ici si A) B est stationnaire, c"est à dire si la longueur du trajet est limite, il y aura un phénomène de réflexion totale sur le milieu 2, mais pas de réfractionEn optique géométrique :
· indépendance des rayons lumineux ;
· principe du retour inverse dans un milieu transparent isotrope · propagation rectiligne dans un milieu homogène isotrope. I-3- Principe de Fermat
Ces chemins voisins (
C") sont obtenus à partir de (C) en donnant à chaque point courant M de ( C) un déplacement dr M , fonction continue et dérivable, s"annulant en A et B. On dit que L (C) =LAB est stationnaire si L(C) - L(C") est un infiniment petit du second ordre au moins vis à vis de la borne supérieure e de dr M prise comme infiniment petit principal. I-4- Conséquences du principe de Fermat. Lois de Snell-Descartes. ABur . dur + ur . dAB .
Or ur . dur = 0, d"où dAB = ur . (Bdr
- Adr). c- * loi de la réflexion : A et B sont fixés, on cherche la position M0 de M minimisant le trajet (AB) = (AMB) = L AB. L AB = n1 AM + n1 MB, et, pour M voisin de M0, dLAB = 0. Il vient donc : n 1 ur 1 . dMr - n1 ur"1 . dMr = 0 quelque soit dMr appartenant au plan
tangent au dioptre au voisinage de M 0. D"où : ur
1-ur"1= aNr : le rayon
réfléchi appartient au plan d"incidence ( ur 1, Nr) (première loi de
Descartes de la réflexion).
A B r N
M0 dr M
n1 i1 i"1 r u 1 r u "1 A B r N
M0 dr M n1 n2 i1 i 2 v u 1 r u 2 2 De plus , si on note Tr le vecteur tangent au dioptre appartenant au plan d"incidence, il vient : ur 1 . Tr = ur"1 . Tr, soit sini1 = - sini"1, soit i"1 = -i1 (ceci fixe la position de M0)
(seconde loi de Descartes de la réflexion), les angles étant orientés de la normale vers le rayon. loi de la réfraction : A et B sont fixés, on cherche la position M0 de M minimisant le trajet (AB) = (AMB) = L AB. L AB = n1 AM + n2 MB, et, pour M voisin de M0, dLAB = 0. Il vient donc : n 1 ur 1 . dMr - n2 ur
2 . dMr = 0 quelque soit dMr appartenant au plan tangent au dioptre au
voisinage de M 0. D"où : n1ur
1 - n2ur
2 = aNr : le rayon réfracté appartient au plan
d"incidence ( ur 1, Nr) (première loi de Descartes de la réfraction).
De plus , si on note
Tr le vecteur tangent au dioptre appartenant au plan d"incidence, il vient : n 1ur 1 . Tr = n2ur
2 . Tr, soit n1sini1 = n2sini2 (ceci fixe la position de M0) ((seconde loi
de Descartes de la réflexion). d- Notons que sini2 = n1 n2 sini1. On considère un faisceau incident dans le milieu 1. · Si n1 < n2 alors sini2 < sini1 ; pour i1 = p/2, sin i2lim = 21nn : i
2lim représente alors l"angle
de réfraction limite, le domaine de variation de i 2 étant alors [0, i2lim = arcsin
21nn]. Il n"y a
pas de possibilité d"avoir une réflexion totale. · Si n1 > n2 : sini2 > sini1 et sini1 =
12nn sini
2. Pour i1 > arcsin
12nn = i
1l, angle d"incidence
12nn, donc cosa >
12nn. Or sinq
= n 1 sina. Il vient donc : q < qmax ,
avec sin qmax = n1 sin(arccos 12nn) = n
1 2 12 22
1nnn -= n1 D2. D"où O.N. = n
1 D2= 0,21
g) Si on courbe la fibre, l"angle d"incidence est modifié, et par suite i1 qui peut devenir inférieur à arcsin 12nn. Il y aura alors réfraction, et donc perte énergétique.
d) Le trajet le plus rapide est celui correspondant à l"incidence nulle : tmin = n1L/c. Le trajet le plus long est celui correspondant à l"angle d"incidence qi. Ce rayon fera q n1 n2 a i1 O A 3 1irtanL
a trajets de type OA (cf figure ci-dessus) qui prennent chacun le temps i1quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8