S13 : Contrainte normale dans une poutre `a section droite variable Avec le module RDM – Éléments finis (hypoth`ese contraintes planes, 600 triangles `a 6
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RDM { Ossatures
Manuel d'exercices
Yves Debard
Institut Universitaire de Technologie du Mans
26 juin 2006 { 29 mars 2011
Table des matiµeres
1 Exemples
1Exemple 1 : Portique plan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Exemple 3 : Anneau plan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Exemple 4 : Plancher
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Exemple 5 : Ossature spatiale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Exemple 6 : Modes propres d'un anneau plan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Exemple 7 : Ossature plane
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Analyse statique
16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16E2 : Ossature plane
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18E3 : Ossature plane
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19E4 : Ossature plane
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20E5 : Ossature plane
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21E6 : Poutre droite
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23E7 : Poutre courbe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24E8 : Ossature plane
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 E9 : Poutre µa section droite variable soumise µa son poids propre . . . . . . . . . . . . . . . . 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 . . . . . . . . . . . . . 29 . . . . . . . . . . . . . . 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 32. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
S2 : Torsion d'une poutre rectangulaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 . . . . . . . . . . . . . . . 45 S11 : Contraintes dans une section droite : °exion-torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46S12 : Cisaillement du µa l'e®ort tranchant
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 S13 : Contrainte normale dans une poutre µa section droite variable . . . . . . . . . . . . . . 49 . . . . . . . . . . . . . . . 50S15 : Section droite µa parois minces
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 S16 : Contraintes tangentielles dans un caisson multicellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 . . . . . . . . . . . . 55S18 : Flexion - torsion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 S19 : Contraintes normales dans une poutre µa section droite variable . . . . . . . . . . . . . 59 60F1 : Ossature plane
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60F2 : Poutre droite
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62F3 : Poutre droite µa section variable
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63F4 : Poutre console { °exion-torsion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 F7 : Flambement d'un m^at vertical sous son poids propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71F8 : Flambement d'une poutre droite
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72F9 : Flambement d'un cadre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735 Modes propres
75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
D2 : Poutre droite µa section variable
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . 77D4 : Portique plan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78D5 : Ossature spatiale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79D6 : Ossature plancher
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 D7 : Vibrations transversales d'une poutre droite libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 D8 : Premier mode propre d'une poutre console avec masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 83Chapitre 1
Exemples
Exemple 1 : Portique plan
SoientAl'aire des sections droites etIZleur moment quadratique par rapport µa l'axeZ. L'ossature Le n¾ud 2 porte une force de composantes(P;0;0).On donne :
L= 2mA= 16cm2,IZ= 135cm4
E= 200000MPa
P= 10000N
2RDM { Ossatures
Fichier
Ossature plane
Poutres
Sections droites
Section droite quelconque
A= 16cm2,IZ= 135cm4
Liaisons
Cas de charges
Le n¾ud 2 porte une charge de composantes (10000, 0, 0) N.Module de Young = 200000 MPa
Calculer
Paramµetres
Modµele de Bernoulli
Calculer
Analyse statique
u2= 2:2144mm; v2=¡0:0017mm; µ2z=¡0:0388º
u3= 0:0245mm; v3=¡0:0033mm; µ3z= 0:1510º
4z=¡0:0754º
Actions de liaison:
R1x=¡6077:4N; R1y= 533:4N; M1z= 3221:6N.m
R4x=¡3922:6N; R4y=¡533:4N
Manuel d'exercices3
Problµeme:
Les poutres1¡2et1¡4sont en acier :
module de Young = 200000 MPa coe±cient de dilatation = 11 10¡6K¡1
La poutre1¡3est en laiton :
module de Young = 100000 MPa coe±cient de dilatation = 18 10¡6K¡1
Le n¾ud 1 porte une charge
~Pde composantes(0;¡10000;0)N.4RDM { Ossatures
Poutres
Relaxations
Sections droites
Modi¯er la couleur courante
module de Young = 100000 MPa , coe±cient de dilatation = 18E¡6K¡1 module de Young = 200000 MPa , coe±cient de dilatation = 11E¡6K¡1Liaisons
Cas de charges
Le n¾ud 1 porte une force de composantes(0;¡10000;0)NCalculer
Analyse statique
u1= 0; v1=¡0:96mm
Allongement des poutres:
1¡2= ¢1¡4= 0:768mm;¢1¡3= 0:960mm
E®orts normaux:
N1¡2=N1¡4= 4370N; N1¡3= 3008N
Manuel d'exercices5
Exemple 3 : Anneau plan
On donne :
E= 200000MPa ,º= 0:3
c= 10mm ,L=R= 50mm p=¡10N/mm quart de l'anneau.Fichier
Bibliothµeque
Ossature plane
6RDM { Ossatures
E= 200000MPa ,º= 0:3
Sections droites
Cas de charges
Calculer
Paramµetres
Modµele de Timoshenko
Calculer
Analyse statique
v1=(6¼2+ 17¼¡6)pR4
24(2 +¼)EIz+¼ pR2
4EA+(2 +¼)pR2
4GAky =¡0:324026¡0:000982¡0:005013 =¡0:330021mm u3=(¼¡14)pR4
6(2 +¼)EIz+pR2
2EA¡pR2
2GAky = 0:131992¡0:000625 + 0:001950 = 0:133317mmActions de liaisons:
F1x= 0; M1z=(14 + 3¼)pR2
6(2 +¼)=¡18983N.mm
F3y=¡pR= 500N; M3z=(2 + 3¼)pR2
3(2 +¼)=¡18567N.mm
Mf z2=¡4pR23(2 +¼)= 6483N.mm
Contraintes normales:
a b¾ =¨(14 + 3¼)pR2 (2 +¼)c3=§113:90MPa c d¾ =pR c2¨2(2 + 3¼)pR2
(2 +¼)c3=½106:10¡116:10MPa
Manuel d'exercices7
v1=¡0:329765mm; u3= 0:133290mm
Actions de liaison:
F1x= 0N; M1z=¡18977N.mm; F3y= 500N; M3z=¡18523N.mm
Contraintes normales:
a= 113:86MPa; ¾b=¡113:86MPa; ¾c= 106:14MPa; ¾d=¡116:14MPaRemarque:
Avec le module RDM {
obtient : v1=¡0:328065mmu3= 0:133370mm
a= 113:96MPa; ¾b=¡113:96MPa; ¾c= 99:66MPa; ¾d=¡124:20MPa 3 ] donne : c= 99:10MPa; ¾d=¡124:00MPa8RDM { Ossatures
Exemple 4 : Plancher
1990, pages 342-345.
Problµeme:
Le n¾ud 2 porte une force de composantes(0;0;50)kN et un couple de comosantes(0;100;0)kN.m. La poutre1¡2porte en son milieu une force ponctuelle de composantes(0;0;¡150)kN. (0;0;¡75)kN/m.On donne :
L= 2m module de Young = 200000 MPa , coe±cient de Poisson = 0.25 aire = 102cm2, constante de torsion de Saint VenantJ= 2105cm4,IZ= 105cm4
P= 5000daN
Manuel d'exercices9
Poutres
Sections droites
Section quelconque
Aire = 100 cm
2Constante de torsion de Saint Venant :J= 2E5 cm4
Moment quadratique :IZ= 1E5 cm4
Liaisons
Cas de charges
Le n¾ud 2 porte une forceFz= 50kN
Le n¾ud 2 porte un coupleMy= 100kN.m
Module de Young = 200000 MPa , coe±cient de Poisson = 0.25Calculer
Analyse statique
w2=¡1:2182mm; µ2x=¡0:35599 10¡3rad; µ2y=¡0:14976 10¡3rad
w4=¡2:0993mm; µ4x= 0:28856 10¡3rad; µ4y= 0:18376 10¡3rad
Actions de liaison:
F1z= 93:528kN; M1x= 9:493kN.m; M1y=¡163:092kN.m
F3z= 34:452kN; M3x= 14:240kN.m; M3y= 76:393kN.m
F5z= 214:940kN; M5x=¡11:543kN.m; M5y=¡239:068kN.m
F6z= 57:080kN; M6x=¡128:588kN.m; M6y=¡7:351kN.m
10RDM { Ossatures
Exemple 5 : Ossature spatiale
Problµeme:
des rectangles pleins. n¾ud x(m) y(m) z(m) 1 0 0 0 2 0 0 4 3 0 8 4 4 0 11 4 5 3 8 4 6 3 8 0Le n¾ud 4 porte une force
~Fde composantes(0;0;¡1000)daN .Manuel d'exercices11
Poutres
Module de Young = 100000 MPa , coe±cient de Poisson = 0.2987Sections droites
Changer les poutres3¡5et5¡6de groupe
Rectangle plein :600£300mm
Rectangle plein :500£300mm
Rectangle plein :800£300mm
Repµere local
Modi¯er le repµere local de la poutre1¡2(angle = 90º)Liaisons
Cas de charges
Le n¾ud 4 porte une charge de composantes(0;0;¡1000)daNCalculer
Paramµetres du calcul
Modµele de Timoshenko
Calculer
Analyse statique
M to Mf Y o Mf Zo M te Mf Y e Mf Ze1¡2
-6 271.2-389.6 -6 322
-104.7
RDM { Ossatures
-5.6 271.5-389.7 -5.64 322.8
-101.2
2¡3
322.2-6 -104.7 -322.2 96.6
-2513
RDM { Ossatures
-322.8 -5.6 -101.2 -323.1 97.04-2511
3¡4
0 0 -3000 0 0 0RDM { Ossatures
0 0 -3000 0 0 03¡5
487.2322.2
-96.6 487.2
-3581 117.1
RDM { Ossatures
488.6322.8
-97.04 488.6
-3581 119.4
5¡6
117.1-3581 -487.2 117.1
-3632 -202
RDM { Ossatures
119.4-3581 -488.6 119.5
-3632 -200.1
12RDM { Ossatures
Exemple 6 : Modes propres d'un anneau plan
Problµeme:
L'anneau et la patte ont des sections droites rectangulaires pleines. On recherche lessix premiers modes propresde cet anneau.On donne :
R= 0:1m ,L= 0:0275m
E= 72000MPa ,½= 2700kg/m3
Section droite de l'anneau :Ha= 5mm ,Ba= 10mm
Section droite de la patte :Hp= 3mm ,Bp= 10mm
Manuel d'exercices13
Ajouter une poutre verticale
Origine : n¾ud 1 , longueur = 0.0275 m
Module de Young = 72000 MPa
Masse volumique = 2700 kg/m
3Sections droites
Changer la patte de groupe de section
Rectangle plein : 5 x 10 mm
Rectangle plein : 3 x 10 mm
Liaisons
Poutres
Calculer
Modes propres
6 premiers modes propres
ModeRDM { Ossatures
1 28.828.81
2 189.3