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Chapitre 4

Polyn^omes : evaluation et interpolation

4.1 Evaluation

4.1.1 Evaluation de Horner

Entree:a0;:::;an, coecients du polyn^omeP;t, reel.

Sortie:val=P(t)

val an; pouriden1a0faireval ai+tval; fpour retournerval;

Algorithme 1:Evaluation de Horner

L'algorithme est de complexite lineaire enn.

Exercice 4.1.1Programmez l'evaluation d'Horner en Python et en xcas, veriez avec la fonction xcas deja programmee.

4.1.2 Evaluation de Newton-Horner

Theoreme 4.1.2Soitc0;:::;cn1des reels (distincts ou non). Alors les polyn^omesP0= 1,Pi= (Xc0):::(Xci1)(1in) forment une base deIRn[X]. L'ecriture d'un polyn^ome dans cette base s'appelleforme de Newton. Entree:c0;:::;cn1, centres de Newton;d0;:::;dn, coecients de Newton du polyn^omeP; t, reel

Sortie:val=P(t)

val dn; pouriden1a0faireval di+ (tci)val; fpour retournerval;

4.2 Le polyn^ome d'interpolation

Theoreme 4.2.1Soit(c0;y0);:::;(cn;yn)une suite de points, avec lescideux a deux distincts. Il existe un unique polyn^ome d'interpolation de degre au plusn: L n(x) =n X i=0y i:Q

0jn;j6=i(xcj)Q

0jn;j6=i(cicj)

1 Soitfla fonction qu'on cherche a interpoler aux centresc0;c1;:::(yi=f(ci)). Lek-ieme coecient de Newton du polyn^ome d'interpolation est notedk=f[c0;:::;ck], et on l'appelle la dierence divisee relative ac0;:::;ck. L n(x) =n+1X k=0d k:Pk(4.1)

Proposition 4.2.2On1af[c0;:::;cn] =X

0inf(ci)Q

0jn;j6=i(cicj)

Corollaire 4.2.3On a :d0=y0,d1=y1y0c

1c0, d k=f[c0;:::;ck] =f[c1;:::;ck]f[c0;:::;ck1]c kc0

Determination des dierences divisees

Entree:n, entier;c0;:::;cn, centres distincts;y0;:::;yn, valeurs. Sortie:d= (d0;:::;dn), vecteur des dierences divisees. pouride0anfaired i yi; fpour pouride1anfairepourjdenaifaired j djdj1c jcji; fpour fpour

Algorithme 2:Calcul des dierences divisees

Majoration de l'erreur

Theoreme 4.2.4Soitfune fonctionCn+1sur[a;b], notonsLnle polyn^ome d'interpolation def enn+ 1points distincts(ci)de[a;b]. Alors, pour toutxde[a;b], il existex2[a;b]tel que : jf(x)Ln(x)j f (n+1)(x)(n+ 1)!:Pn+1(x) ouPn+1(x) =n Y i=0(xci). Exercice 4.2.5(Preuve du th). On pose :En=fLn, et pour unxxe distinct des(ci)dans [a;b], on pose aussiG(t) =En(t)Pn+1(t)P n+1(x):En(x). Montrer queGestCn+1sur[a;b]et y possede n+ 2zeros. Deduire le resultat du theoreme des valeurs intermediaires Exercice 4.2.6(Idees de projets) Etudiez l'interpolation avec des points egaux, ou bien etudiez le cas de la dimension 2, ou de l'interpolation par morceaux. Splines.

Reference : Quarteroni-Sacco-Saleri : "methodes numeriques"1. en identiant le coecient dexndans la formule : 4.1

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