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3) 8176312459102535214621 est-il divisible par 3 ? Par 9 ? Crit`ere de divisibilité par 11 On consid`ere un entier naturel a défini par son écriture décimale a = 

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12) Etablir le critère de divisibilité des entiers par 11 Déterminer x pour que le nombre à écriture décimalex x2 31 soit divisible par 11 13) Trouver trois nombres 

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Terminale S

SpécialitéExercices de révision sur la divisibilité et la division euclidienne(Avec les corrigés)Année scolaire

2014/2015

EnoncésCorrigés

1) Déterminer les entiers relatifs n

tels que :

Il y a donc une infinité de solutions :

2) Déterminer les entiers relatifs n

tels que :

4n + 5 | 7Les diviseurs entiers de 7 sont {1;-1;7;-7}. On raisonne par

disjonction des cas : a) 4n+5 = - 1 b) 4n+5=1 c) 4n + 5 = 7 d) 4n + 5 = - 7 n = - 3

Vérification :

4×(-1)+5=1 et 1|7 4×(-3) + 5 = -7 et -7|7

Par conséquent, il n'y a que deux solutions S = {-1;-3}

3) Déterminer les entiers relatifs n

tels que :

2n + 5 | 8n - 3 2n+5|2n+5 et 2n+5|8n-3 d'où :

2n+5|8n-3 - 4×(2n+5) = - 23

Or, les diviseurs entiers de -23 sont {1;-1;23;-23}

On raisonne par disjonction des cas :

a)2n+5=1 b)2n+5= -1 c)2n+5=23 d)2n+5= -23

Vérification :

*2×(-2)+5 = 1 et 8×(-2)-3 = -19 et 1|-19 *2×(-3)+5 = -1 et 8×(-3)-3 = -27 et -1|-27 *2×9+5 = 23 et 8×9-3 = 69 et 23|69 *2×(-14)+5 = - 23 et 8×(-14)-3 = -115 et -23|-115

Il y a donc 4 solutions : S = {-2;-3;9;-14}

d | 9n - 1 et d | 11n + 2.

Quelles sont toutes les valeurs

possibles pour d ?d | 9n - 1 et d | 11n + 2 d'où d |11×(9n-1) - 9×(11n + 2) = - 29. Or, -29 est un nombre premier ses diviseurs entiers sont {1;-1;29;-29}

Donc d ∈ {1;-1;29;-29}

5) Déterminer suivant les valeurs

de l'entier naturel n le reste dans la division euclidienne de 7n + 5 par

3n + 1On peut écrire 7n + 5 = (3n + 1)×2 + n + 3

Pour que ce soit l'égalité de la division euclidienne de 7n+5 par 3n+1, il faut que :

0n+3<3n+1 (condition sur le reste)

C'est-à-dire :

17n+5 = 5 et 3n + 1 = 1 5 = 5×1 + 0 Reste = 0 *Pour n = 1 :

7n+5 = 12 et 3n+1 = 4 12 = 4×3 + 0 Reste = 0

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