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RDM { Ossatures

Manuel d'exercices

Yves Debard

Institut Universitaire de Technologie du Mans

26 juin 2006 { 29 mars 2011

Table des matiµeres

1 Exemples

1

Exemple 1 : Portique plan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Exemple 3 : Anneau plan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Exemple 4 : Plancher

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Exemple 5 : Ossature spatiale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Exemple 6 : Modes propres d'un anneau plan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Exemple 7 : Ossature plane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Analyse statique

16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

E2 : Ossature plane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

E3 : Ossature plane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

E4 : Ossature plane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

E5 : Ossature plane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

E6 : Poutre droite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

E7 : Poutre courbe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

E8 : Ossature plane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 E9 : Poutre µa section droite variable soumise µa son poids propre . . . . . . . . . . . . . . . . 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 . . . . . . . . . . . . . 29 . . . . . . . . . . . . . . 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

S2 : Torsion d'une poutre rectangulaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 . . . . . . . . . . . . . . . 45 S11 : Contraintes dans une section droite : °exion-torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

S12 : Cisaillement du µa l'e®ort tranchant

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 S13 : Contrainte normale dans une poutre µa section droite variable . . . . . . . . . . . . . . 49 . . . . . . . . . . . . . . . 50

S15 : Section droite µa parois minces

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 S16 : Contraintes tangentielles dans un caisson multicellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 . . . . . . . . . . . . 55

S18 : Flexion - torsion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 S19 : Contraintes normales dans une poutre µa section droite variable . . . . . . . . . . . . . 59 60

F1 : Ossature plane

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

F2 : Poutre droite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

F3 : Poutre droite µa section variable

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

F4 : Poutre console { °exion-torsion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 F7 : Flambement d'un m^at vertical sous son poids propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

F8 : Flambement d'une poutre droite

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

F9 : Flambement d'un cadre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5 Modes propres

75
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

D2 : Poutre droite µa section variable

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

D4 : Portique plan

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

D5 : Ossature spatiale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

D6 : Ossature plancher

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 D7 : Vibrations transversales d'une poutre droite libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 D8 : Premier mode propre d'une poutre console avec masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 83

Chapitre 1

Exemples

Exemple 1 : Portique plan

SoientAl'aire des sections droites etIZleur moment quadratique par rapport µa l'axeZ. L'ossature Le n¾ud 2 porte une force de composantes(P;0;0).

On donne :

L= 2m

A= 16cm2,IZ= 135cm4

E= 200000MPa

P= 10000N

2RDM { Ossatures

Fichier

Ossature plane

Poutres

Sections droites

Section droite quelconque

A= 16cm2,IZ= 135cm4

Liaisons

Cas de charges

Le n¾ud 2 porte une charge de composantes (10000, 0, 0) N.

Module de Young = 200000 MPa

Calculer

Paramµetres

Modµele de Bernoulli

Calculer

Analyse statique

u

2= 2:2144mm; v2=¡0:0017mm; µ2z=¡0:0388º

u

3= 0:0245mm; v3=¡0:0033mm; µ3z= 0:1510º

4z=¡0:0754º

Actions de liaison:

R

1x=¡6077:4N; R1y= 533:4N; M1z= 3221:6N.m

R

4x=¡3922:6N; R4y=¡533:4N

Manuel d'exercices3

Problµeme:

Les poutres1¡2et1¡4sont en acier :

module de Young = 200000 MPa coe±cient de dilatation = 11 10

¡6K¡1

La poutre1¡3est en laiton :

module de Young = 100000 MPa coe±cient de dilatation = 18 10

¡6K¡1

Le n¾ud 1 porte une charge

~Pde composantes(0;¡10000;0)N.

4RDM { Ossatures

Poutres

Relaxations

Sections droites

Modi¯er la couleur courante

module de Young = 100000 MPa , coe±cient de dilatation = 18E¡6K¡1 module de Young = 200000 MPa , coe±cient de dilatation = 11E¡6K¡1

Liaisons

Cas de charges

Le n¾ud 1 porte une force de composantes(0;¡10000;0)N

Calculer

Analyse statique

u

1= 0; v1=¡0:96mm

Allongement des poutres:

1¡2= ¢1¡4= 0:768mm;¢1¡3= 0:960mm

E®orts normaux:

N

1¡2=N1¡4= 4370N; N1¡3= 3008N

Manuel d'exercices5

Exemple 3 : Anneau plan

On donne :

E= 200000MPa ,º= 0:3

c= 10mm ,L=R= 50mm p=¡10N/mm quart de l'anneau.

Fichier

Bibliothµeque

Ossature plane

6RDM { Ossatures

E= 200000MPa ,º= 0:3

Sections droites

Cas de charges

Calculer

Paramµetres

Modµele de Timoshenko

Calculer

Analyse statique

v

1=(6¼2+ 17¼¡6)pR4

24(2 +¼)EIz+¼ pR2

4EA+(2 +¼)pR2

4GAky =¡0:324026¡0:000982¡0:005013 =¡0:330021mm u

3=(¼¡14)pR4

6(2 +¼)EIz+pR2

2EA¡pR2

2GAky = 0:131992¡0:000625 + 0:001950 = 0:133317mm

Actions de liaisons:

F

1x= 0; M1z=(14 + 3¼)pR2

6(2 +¼)=¡18983N.mm

F

3y=¡pR= 500N; M3z=(2 + 3¼)pR2

3(2 +¼)=¡18567N.mm

Mf z2=¡4pR2

3(2 +¼)= 6483N.mm

Contraintes normales:

a b¾ =¨(14 + 3¼)pR2 (2 +¼)c3=§113:90MPa c d¾ =pR c

2¨2(2 + 3¼)pR2

(2 +¼)c3=½106:10

¡116:10MPa

Manuel d'exercices7

v

1=¡0:329765mm; u3= 0:133290mm

Actions de liaison:

F

1x= 0N; M1z=¡18977N.mm; F3y= 500N; M3z=¡18523N.mm

Contraintes normales:

a= 113:86MPa; ¾b=¡113:86MPa; ¾c= 106:14MPa; ¾d=¡116:14MPa

Remarque:

Avec le module RDM {

obtient : v

1=¡0:328065mmu3= 0:133370mm

a= 113:96MPa; ¾b=¡113:96MPa; ¾c= 99:66MPa; ¾d=¡124:20MPa 3 ] donne : c= 99:10MPa; ¾d=¡124:00MPa

8RDM { Ossatures

Exemple 4 : Plancher

1990, pages 342-345.

Problµeme:

Le n¾ud 2 porte une force de composantes(0;0;50)kN et un couple de comosantes(0;100;0)kN.m. La poutre1¡2porte en son milieu une force ponctuelle de composantes(0;0;¡150)kN. (0;0;¡75)kN/m.

On donne :

L= 2m module de Young = 200000 MPa , coe±cient de Poisson = 0.25 aire = 10

2cm2, constante de torsion de Saint VenantJ= 2105cm4,IZ= 105cm4

P= 5000daN

Manuel d'exercices9

Poutres

Sections droites

Section quelconque

Aire = 100 cm

2

Constante de torsion de Saint Venant :J= 2E5 cm4

Moment quadratique :IZ= 1E5 cm4

Liaisons

Cas de charges

Le n¾ud 2 porte une forceFz= 50kN

Le n¾ud 2 porte un coupleMy= 100kN.m

Module de Young = 200000 MPa , coe±cient de Poisson = 0.25

Calculer

Analyse statique

w

2=¡1:2182mm; µ2x=¡0:35599 10¡3rad; µ2y=¡0:14976 10¡3rad

w

4=¡2:0993mm; µ4x= 0:28856 10¡3rad; µ4y= 0:18376 10¡3rad

Actions de liaison:

F

1z= 93:528kN; M1x= 9:493kN.m; M1y=¡163:092kN.m

F

3z= 34:452kN; M3x= 14:240kN.m; M3y= 76:393kN.m

F

5z= 214:940kN; M5x=¡11:543kN.m; M5y=¡239:068kN.m

F

6z= 57:080kN; M6x=¡128:588kN.m; M6y=¡7:351kN.m

10RDM { Ossatures

Exemple 5 : Ossature spatiale

Problµeme:

des rectangles pleins. n¾ud x(m) y(m) z(m) 1 0 0 0 2 0 0 4 3 0 8 4 4 0 11 4 5 3 8 4 6 3 8 0

Le n¾ud 4 porte une force

~Fde composantes(0;0;¡1000)daN .

Manuel d'exercices11

Poutres

Module de Young = 100000 MPa , coe±cient de Poisson = 0.2987

Sections droites

Changer les poutres3¡5et5¡6de groupe

Rectangle plein :600£300mm

Rectangle plein :500£300mm

Rectangle plein :800£300mm

Repµere local

Modi¯er le repµere local de la poutre1¡2(angle = 90º)

Liaisons

Cas de charges

Le n¾ud 4 porte une charge de composantes(0;0;¡1000)daN

Calculer

Paramµetres du calcul

Modµele de Timoshenko

Calculer

Analyse statique

M to Mf Y o Mf Zo M te Mf Y e Mf Ze

1¡2

-6 271.2
-389.6 -6 322
-104.7

RDM { Ossatures

-5.6 271.5
-389.7 -5.64 322.8
-101.2

2¡3

322.2
-6 -104.7 -322.2 96.6
-2513

RDM { Ossatures

-322.8 -5.6 -101.2 -323.1 97.04
-2511

3¡4

0 0 -3000 0 0 0

RDM { Ossatures

0 0 -3000 0 0 0

3¡5

487.2
322.2
-96.6 487.2
-3581 117.1

RDM { Ossatures

488.6
322.8
-97.04 488.6
-3581 119.4

5¡6

117.1
-3581 -487.2 117.1
-3632 -202

RDM { Ossatures

119.4
-3581 -488.6 119.5
-3632 -200.1

12RDM { Ossatures

Exemple 6 : Modes propres d'un anneau plan

Problµeme:

L'anneau et la patte ont des sections droites rectangulaires pleines. On recherche lessix premiers modes propresde cet anneau.

On donne :

R= 0:1m ,L= 0:0275m

E= 72000MPa ,½= 2700kg/m3

Section droite de l'anneau :Ha= 5mm ,Ba= 10mm

Section droite de la patte :Hp= 3mm ,Bp= 10mm

Manuel d'exercices13

Ajouter une poutre verticale

Origine : n¾ud 1 , longueur = 0.0275 m

Module de Young = 72000 MPa

Masse volumique = 2700 kg/m

3

Sections droites

Changer la patte de groupe de section

Rectangle plein : 5 x 10 mm

Rectangle plein : 3 x 10 mm

Liaisons

Poutres

Calculer

Modes propres

6 premiers modes propres

Mode

RDM { Ossatures

1 28.8
28.81
2 189.3

189.30

3 268.8

268.60

4 641.0

640.52

5 682.0

681.65

6

1063.0

1062.70

14RDM { Ossatures

Exemple 7 : Ossature plane

1990, page 283.

entre elles.

Module de Young :E

Longueur :L

Aire de la section droiteA

Le n¾ud 3 porte une force(P;¡2P).

La poutre1¡2porte en son milieu une force de composantes(0;2P). La poutre2¡4porte en son milieu une force de composantes(0;¡2P). pour composantes(0;¡6P=L).

On donne :

L= 1:5m

module de Young = 200000 MPa

P= 1000daN

Manuel d'exercices15

Fichier

N¾uds

Poutres

Relaxations

Toutes les poutres sont du typerotule-rotule

Sections droites

Bibliothµeque

Liaisons

L'ossature repose sur un appui simple (u= 0) en 4

Charges

Le n¾ud 3 porte une force de composantes(1000;¡2000)daN La poutre1¡2porte en son milieu une force de composantes(0;2000)daN La poutre2¡4porte en son milieu une force de composantes(0;¡2000)daN

Module de Young = 200000 MPa

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