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4 jui 2014 · domaines que se soit en mathématiques tels que problèmes d'approximation par les matrices à trace nulle ou en physique, telles que

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(3) On se propose de montrer que toute matrice 2 × 2 de trace nulle est (b) Consultez votre livre d'exo favori (cette propriété est (comme dans ce problème)

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Montrer que A est semblable à une matrice de diagonale nulle 2 Montrer qu'il existe deux matrices X et Y de Mn(K) de trace nulle qui vérifient A = XY − Y X 

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Math 1 problème 1 concours 2002 1 a) Le calcul du produit des deux matrices donnent J2 = (0) donc v2 = 0 Soit une matrice A 2 Mn (R) de trace nulle

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Eij désigne la matrice de la base canonique de Mn(R) avec un coefficient 1 `a l' intersection de la la forme linéaire qui `a une matrice associe sa trace On en déduit que ψD(M) est une matrice de trace nulle, et donc que Im ψD ⊂ D0 

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Cette matrice a pour déterminant 1, donc la famille est libre en dimension 3 C'est donc bien Problème (ENGEES PC 2000 (corrigé) Un endomorphisme de trace nulle en dimension 1 a une matrice nulle, donc à éléments diagonaux nuls

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24 avr 2020 · Cette matrice est de trace nulle donc β = 0 Pour cette base, tous les termes diagonaux de la matrice de f sont donc nuls d La situation est 

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Pour faire les deux problèmes, qui sont indépendants 8" Montrer que si A E Mn(IW) est une matrice de trace nulle, alors il existe deux matrices B et C de 

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Autour de matrice de trace nulle On note Mn(R) une base de Rn) Dans toute la suite du problème , u désignera un endomorphisme non nul de trace nulle 3

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E.N.S.A.E. 429

Mat 11 é 111 a t i qu es 1 / 2

INSTITUT NATIONAL DE LA STATISTIQUE ET DES ETUDES ECONOMlQUES CONCOURS EXTERNE POUR LE RECRUTEMENT D'ELEVES ADMINISTRA~~S et CONCOURS D'ENTREE A L'ECOLE NATIONALE DE LA STAnSTIQuE ET DE L'ADh4lNSTRATION ECONOMIQUE (Option Economie) Mai 1995

EPREUVE DE MATHEMAnQUES

Le candidat devra partout utiliser

Les mêmes notations que celles de i'énoncé.

Lu clarté des copies, leur lisibilité,

Lu rigueur du discours, l'orrhographe usitée

Seront des correcteurs grandement appréciées. Lu durée de l'épreuve à quatre heures estfixée.

Le candidat devra utiliser ce temps

Pour faire les deux problèmes, qui sont indépendants. On note M,(R) l'espace vectoriel des matrices canées d'ordre n à coefficients réels.

Pour un vecteur

x + O de R", on notera Vect (x) le sous-espace vectoriel engendré par x. Soit A = (aq)lsi,,sn, une matrice à coefficients réels. On nomme trace de A le scalaire n

TrA = aif.

i=l

1" a ) Montrer que si A et B

sont deux Cléments de JM,(R), on a Tr (AB) = Tr (BA) . b ) Montrer que deux matrices semblables ont la même trace.

u étant un endomorphisme de R", ceci permet de définir la trace de u, que l'on note Tr u, comme la trace de

la matrice associée à u dans n'importe quelle base de W".

2" Montrer que si pour tout x E R", x et u(x) sont liés alors u est une homothétie (on pourra introduire une

base de Rn).

Dans toute la suite du problème, u désignera un endomorphisme non nul de trace nulle. 3" Justifier l'existence d'un vecteur x E R" tel que x et u(x) soient indépendants, ainsi que celle d'un

supplémentaire

F de Vect (x) contenant le vecteur u(x).

4" Montrer que la restriction à F de p O

u est un endomorphisme de F de trace nulle.

5" Montrer qu'il existe une base de R" dans laquelle la matrice de u a tous ses coefficients diagonaux nuls

(on pourra procéder par récurrence sur n). On désigne par p la projection sur F parallèlement à Vect (x). 430

E.N.S.A.E.

Mathématiques 2/2

6" Soit D une matrice diagonale de Mn(R) :

D= telle que i #j ai#aj . O O an

Montrer que l'application 'p: M - DM - MD est

un endomorphisme de Mn(R) et en déterminer le Soit

G un supplémentaire de Ker 'p dans Mn(R). Montrer que la restriction de cp à G est une bijection

Que vaut dim

Im 'p ?

En déduire que Im cp est l'ensemble des matrices dont les coefficients diagonaux sont nuls. noyau. Calculer dim Ker cp. 7" a ) de G sur Im cp. b ) c )

8" Montrer que si A E Mn(IW) est une matrice de trace nulle, alors il existe deux matrices B et C de Mn(R)

telles queA = BC - CB. 1

PROBLÈME II 1

Toutes les suites et fonctions intervenant dans ce problkme sont à valeurs réelles. A toute fonctionf, continue sur [O, 11, on associe la suite (~(f))~~~ définie par

1" Montrer que pour toute fonctionf la suite akV, tend vers O.

2" Soit a et p deux réels vérifiant O C

(Y< P d 1. Démontrer qu'il existe un polynôme P du second degré satisfaisant aux conditions suivantes (i) V x E] (Y, f3 L (ii) V x E [O, (Y] u [p, 11,

Un tel P étant choisi, calculer

P(x) > 1 ;

O 9 P(x)

9 1. nd+oc lim /.".n(xl&. n--r+ca lim 1 f(x>P"(X)h.

3" a )

et O SacSoit alors P un polynôme satisfaisant aux conditions imposées dans la question précédente. Calculer

Soitf une application continue sur [O, 11. On suppose qu'il existe trois constantes E, a., f3, avec E> O

v x E [CL, PI. f(x) 3 8 * 1 b ) f = O. (On pourra raisonner par l'absurde).

4" Soitf une application continue sur [O, 11.

a ) Calculer ak(~) où ~(x) = -

b ) On suppose qu'il existe un entierp E N tel que put tout k 3 p on ait ak(f) = O. Montrer quef = O.

En déduire que sif est une application continue sur [O, 11 telle que pour tout k E N, akv> = O, alors

1 f(t) dt .quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36