Corrections des exercices sur les pyramides et cônes pyramide 1 n'est pas régulière car sa hauteur ne passe Troisième cas : SM = 8 cm et SH = 6 cm
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Corrections des exercices sur les pyramides et cônes pyramide 1 n'est pas régulière car sa hauteur ne passe Troisième cas : SM = 8 cm et SH = 6 cm
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Exercice 1 2) Calculer le volume de la pyramide SABCD en cm3 TD Géométrie espace (http://www math93 com/gestclasse/classes/troisieme htm) 2 ) Quel est le coefficient de réduction qui permet de passer du grand cône au petit
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Le volume V d'une pyramide est : V = 1 3 × aire de la base × hauteur Sur le cahier d'exercices Exercice 1 p 269 Correction exercice 1 p 269 Exercice 19 p 271
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Pyramide droite Cône circulaire droit (cône de révolution) Sphère Développement, aire et volume Pythagore dans l'espace S'adresse à des classes de 9S
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SAVOIR CALCULER LE VOLUME D'UNE PYRAMIDE OU D'UN CONE : Exercice 1 : La ruche Calculer le volum Exercice La figure ci hauteur SO = 20 c rayon OA = 15 cm 1 Calculer, en cm3, le 3ème PARTIE On souhaite recouvrir
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2) Calculer le volume de ces 2 solides La formule pour un cône ou une pyramide est la même Aire de la base x hauteur du solide : 3 Pour le cône
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O 4 3 6,5 cm Page 2 410 PYRAMIDES ET CONES Exercices © www maths974 Exercice 7 : Pyramide à base carrée ACDHG est une pyramide inscrite
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b) Quelle est la hauteur de la pyramide HACD ? c) Construire un patron de la pyramide HACD Exercice n° 2 : (4 points) On donne les expressions suivantes
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Corrections des exercices sur les pyramides et cônes de révolutionExercice 1 : Bien que sa base soit un polygone régulier ( un carré), la pyramide 1 n'est pas régulière car sa hauteur ne passe pas par le centre de sa base.Par contre la pyramide 2 est régulière, sa base est un polygone régulier et sa hauteur passe par le centre de ce polygone.Exercice 3 : a. Il faut que la circonférence du cercle (C) soit égale à la
longueur de l'arc AA' du cercle (C').Calculons la longueur de l'arc AA' : On sait que la longueur d'un arc de cercle est
proportionnelle à la mesure de l'angle qu'il intercepte. On a donc le tableau de proportionnalité suivant :
Longueur de l'arc2´p´6,5L
angle qu'il intercepte360216On en déduit que L = (216 ´2´ p´6,5) : 360 »24,5. On doit donc trouver le rayon r de la base dont la circonférence est 24,5 cm. Puisque la circonférence d'un cercle est donné par la formule 2´ p´r, il vient que 2´ p´r = 24,5 d'où r = 24,5 : (2p) » 3,9. Le rayon du cercle C est donc de 3,9 cm.b. Pour le patron voir à la dernière page ! c. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle SAO rectangle en O, on a SA² = SO² + OA² or OA = 3,9 et SA = 6,5 d'où SO² = SA² - OA² = 27,04.Il vient que la hauteur du cône est de04,27 cm c'est-à-dire 5,2 cm.Exercice 2 : 1°) Je ne suis pas d'accord. Par définition la hauteur
d'une pyramide est toujours perpendiculaire à la base. Pour que la pyramide soit régulière il faut que la base soit un polygone régulier et que la hauteur passe par le centre de ce polygone.2°) Je suis d'accord. Le volume d'un cône est 31´B´h
et celui d'un cylindre B´h, avec h la hauteur et B l'aire de la base.3°) Je suis d'accord.4°) Je suis d'accord, en effet on obtient un cône de
révolution en faisant tourner un triangle rectangle autourde l'un des côtés de l'angle droit.5°) Je ne suis pas d'accord. Il faut que la circonférence
de la base soit égale à la longueur de l'arc AA'.(voir schéma ci-dessous) Or ici la circonférence de la base estégale à 2
p donc l'angle, la longueur de l'arc AA' doitêtre égale à 2
p or SA =2 cm et on a la propriété : la longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à la mesure de l'angle qu'il intercepte. Calculons alors la mesure de l'angle A'SA :A'SA = 360´2
p : (2´p´2) = 180.L'angle A'SA doit donc mesurer 180° ce qui n'est pas le cas sur le schéma de l'énoncé.6°)Je suis d'accord. Supposons que AB = 6 cm etSH = 4cm. Pour calculer
l'aire latérale de la pyramide, on doit calculer l'aire de chaque face latérale. On a de la chance, car on travaille sur une pyramide régulière donc les quatre faces de la pyramide sont des triangles de même aire. Calculons SM : On applique le théorème de Pythagore dans le triangle SHM rectangle en H, on a SM² = SH² + MH²or MH = 3 cm et SH = 4 cm donc SM² = 16 + 9 = 25 d'où SM = 5 cm. On en déduit l'aire latérale de la pyramide : (aire d'une face)´4=(5´6 :2)´4= 60.L'aire latérale de la pyramide est bien de 60 cm².Exercice 4 : La figure du milieu n'est pas le patron d'une pyramide.
Exercice 9 : Le volume de la pyramide de Khéops est :31´230,3²´137 »2 420 073 m3
Le volume de la pyramide de Mykérinos est :
31´104,6²´106 »386 588 m3
Le volume de la pyramide de Khephren est :
31´215,15²´136,5 »2 106 173 m3
Exercice 5 :
a. Pour calculer AH², on va calculer AC² puis utiliser le fait que H soit le milieu de [AC].ABCD est un carré de 3 cm de côté donc ABC est un triangle rectangle et isocèle en B.On applique lethéorème de Pythagore dans ce triangle, on a AC² = AB² + BC² or AB = BC = 3 donc AC² = 18.De plus AC = 2 AH d'où AC² = 4 AH². Il vient que
4AH²=18 et donc AH² = 4,5.Calculons maintenant SA : Grâce au théorème de Pythagore appliqué dans le
triangle SAH rectangle en H, on a: SA² = AH² + HS² or HS = 6 et AH² = 4,5.d'où SA²= 4,5 + 36 = 40,5 et donc SA =5,40 » 6,36.La longueur de [SA] est donc 6,36 cm environ.b.voir à la dernière page !
c. On peut construire une telle pyramide sans effectuer aucun calcul. Pour cela il suffit de construire la longueur SA : on trace un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesure 3 et 6 cm. La longueur de l'hypoténuse de ce triangle est la longueur de [SA]. (en fait, on a juste tracé le triangle SAH dans le plan de la feuille). Il suffit pour terminer le patron de tracé un carré de côté 3 cm et de construire quatre triangles isocèles (en utilisant la longueur trouvée précédemment ) autour du carré.Exercice 7 : On aVclocher = Vprisme droit + Vpyramide
= 5,5 ´ 2,5´ 2,5 + 13 ´ 2,5² ´ (8-5,5)
¿39,58.
Le volume du clocher est environ égal à 39,58 m3.Exercice 6 : a. Les triangles SAB, SAM et SMH sont isocèles.b.
Premier cas :
SH = 5 cm et AB = 4 cm.Calculons SM : On applique le théorème de Pythagore dans le triangle
SHM rectangle en H, on a SM² = SH² + MH² or MH = 2 cm et SH = 5 cm donc SM² = 25 + 4 = 29 d'où
SM =29» 5,39 cm.L'aire du triangle SAB est donc de 5´
29 : 2 c'est-à-dire 13,46 cm². SABCD étant une pyramide régulière,
l'aire latérale de la pyramide est égale à quatre fois l'aire d'une face donc l'aire latérale recherchée est13,46 ´ 4 = 53,84 environ (ou plus exactement 10´
29).Le volume de la pyramide est 803≈¿
¿26,667 cm3
Deuxième cas : SA = 10 cm et AB = 4 cm.Cette fois-ci, on travaille dans le triangle SAM rectangle en M.En appliquant le théorème de Pythagore on trouve SM = 96. L'aire latérale de la pyramide est égale à 4´4´ 96 : 2 ¿ 75,38 cm².On réutilise le théorème de Pythagore dans le triangle SHM rectangle en M, on a SM² = SH² + MH² or HM=2 et SM = 96 d'où SH² = 92 et donc SH = 92. On peut maintenant calculer le volume de la pyramide : V = 13´ 4´4´
92 ¿51,16.Troisième cas : SM = 8 cm et SH = 6 cm.Il faut calculer la longueur du côté de la base de la
pyramide. On va calculer pour cela la longueur HM. On en déduira AB (car AB = 2 HM). On applique le théorème de Pythagore dans le triangleSHM rectangle en H, on a SM² = SH² + MH² or SM = 8 cm et SH = 6 cm donc MH² = 28.On en déduit
que AB = 2´ 28¿10,58.L'aire latérale de la pyramide est donc de 172,33 cm² et son volume est 672 cm3. Exercice 10 : Le volume du cône de révolution est 13´π´ r²´h avec r le rayon de la base et h la hauteur du cône.Ici, h = SO = 6 et r = OA.Calculons AO : On applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle SOA rectangle en O, on a donc SO²+OA²=SA²
d'où OA² = SA² - SO² . Il vient que OA²= 6,5²-6²=6,25 et donc OA = 2,5.On en déduit le volume du cône de révolution : 1
3´π´2,5²´ 6 ¿39,2699.La valeur exacte du volume est 12,5 πet sa valeur arrondie au millième est 39,270 cm3.