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1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers 

[PDF] Fiche technique sur les limites - Lycée dAdultes

Théorème 2 Une fonction rationnelle a même limite en +∞ et −∞ que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur Si f(x) =

[PDF] Limites infinies, limites à linfini - fadagogocom

Définition : Soit f une fonction définie au voisinage de l'infini On dit que f(x) tend vers On a des propriétés équivalentes pour les limites à moins l'infini Comme  

[PDF] LIMITES ET CONTINUITE I) Limites de fonctions usuelles Limite

Limite infinie d'une fonction à l'infini Limites de fonctions usuelles en un réel Dans les tableaux qui suivent, les limites des fonctions f et g sont prises soit en 

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Limites et asymptotes I Limites en l'infini 1) Limite infinie à l'infini Définition 1 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type [a;+∞[ : On dit que 

[PDF] Limites dune fonction - La taverne de lIrlandais

Dans le présent document, on appelle (C) la courbe représentant la fonction f Limite infinie à l'infini Dire que la fonction f tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞  

[PDF] 1) Limites à linfini ] [

Exposé 63 : Limite à l'infini d'une fonction à valeurs réelles Branches infinies ( en gros qu'il existe au moins une coordonnée de la courbe qui tend vers ±∞ )

[PDF] NOTIONS DE LIMITES Nous allons dans ce chapitre reprendre ce

n'utiliserons la définition de la limite "avec des ε" que dans des exercices théoriques sans compétition est de regarder le comportement à l'infini deF(ou de /) une intensité au moins é g ale à un nombre qui varie avec la durée ¨ de passa 

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1) Limite infinie en l'infini a) Exemples Exemple 1 On considère la fonction f définie sur [0,+∞[ par : pour tout réel positif x, f(x) = √x On s'intéresse aux valeurs 

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Vestiges d"une terminale S - Limites d"une fonction : définitions et théorèmes de comparaison Page 1 sur 2

Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l"Irlandais(www.tanopah.com) Pour une fonction, il existe quatre familles de limites. Ces notions assez intuitives peuvent être définies de manière stricte et rigoureuse. Pour chaque grande catégorie de limites, nous ne définirons qu"un cas particulier et nous laisserons au lecteur le soin d"en déduire les autres caractérisations. Dans le présent document, on appelle (C) la courbe représentant la fonction f.

Limite infinie à l"infini

Dire que la fonction f tend vers

lorsque x tend vers signifie pratiquement que lorsque x s"en va vers +∞ , f(x) devient de plus en plus grand sans que rien ne puisse l"arrêter. Autrement dit, quelque soit le niveau M que l"on se fixe, il existe un moment 0x

à partir duquel la

courbe (C) sera toujours au-dessus de ce niveau M. A partir de cela, on établit la définition suivante : Définition d"une limite infinie à l"infini Dire que la fonction f tend vers lorsque x tend vers signifie que quelque soit le réel M que l"on se fixe, il existe un moment 0x

à partir duquel

f(x) M

Au lieu de s"envoler vers

f x peut plonger vers . La définition est alors : 0x lim f x Pour tout réel M, il existe un inst ant x à partir duquel f x M Limite finie à l"infini Dire que la fonction f tend vers le réel l lorsque x tend vers signifie pratiquement que lorsque x s"en va vers +∞ , f(x) se rapproche de plus en plus de l sans que rien ne puisse s"opposer à cela. Autrement dit, quelque soit la tolérance ε que l"on se fixe, il existe un moment 0x

à partir

duquel la distance entre f(x) et l est inférieure à ε. Définition d"une limite finie à l"infini Dire que la fonction f tend vers l lorsque x tend vers signifie que quelque soit le réel positif ε que l"on se fixe, il existe un moment 0x

à partir duquel on a : [

Trois caractérisations équivalentesf(x) ou encore f(x) ; ou encore f x l l l ll

Limite infinie en un point

Dire que la fonction f tend vers

lorsque x tend vers a par la gauche signifie que plus x se rapproche de a, plus f(x) devient grand et que rien ne peut s"y opposer.

Autrement dit, quelque soit le niveau M que l"on

se fixe, il existe un moment 0x

à partir duquel et

jusqu"à a, la courbe (C) est toujours au-dessus du niveau M. Définition d"une limite finie en un point a Dire que la fonction f tend vers lorsque x tend vers a par la gauche signifie que quelque soit le réel M que l"on se fixe, il existe un moment 0x tel que sur l"intervalle

0x ;? ?? ?

a , on ait f(x) M

Une limite

à droite de a se définit de la manière suivante : 0 0x lim f x Pour tout réel M, il existe un x te l que sur ;x on a f x M a a

Limite finie en un point

Dire que la fonction f tend vers l lorsque x

tend vers a par la gauche signifie que plus x se rapproche de a, plus f(x) devient proche de l et que rien ne s"oppose à ceci.

Autrement dit, quelque soit la tolérance ε

que l"on se fixe, il existe un moment 0x partir duquel et jusqu"à a, la distance entre f(x) et l est inférieure à ε.

Définition d"une limite finie en un point a Dire que la fonction f tend vers l lorsque x tend vers a par la gauche signifie que

quelque soit le réel positif ε que l"on se fixe, il existe un moment 0x tel que sur l"intervalle

0x ;a? ?? ?

, on ait :

Trois caractérisations équivalentes

f(x) ou encore f(x) ; ou encore f x l l l ll

Note :

ces moments 0x à partir desquels on a telle ou telle inégalité dépendent des niveaux M ou des tolérances

ε que l"on se fixe.

M (C) 0x l (C) 0x +εl -εl a 0x +εl -εl l (C) a M (C) 0x

Vestiges d"une terminale S - Limites d"une fonction : définitions et théorèmes de comparaison Page 2 sur 2

Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l"Irlandais(www.tanopah.com)

Les théorèmes de comparaison

Limite à l"infini d"une fonction minorée par une consoeur tendant vers l"infini Si x 0

La fonction f est minorée par glim g xA partir d"un certain moment x , f x g x→+∞?= +∞?

alors xlim f x→+∞

La preuve de ce théorème Pour établir ce théorème à peu près évident, nous allons nous appuyer sur la définition

d"une limite infinie lorsque x tend vers + ∞ : nous allons montrer que quelque soit le niveau M que l"on se fixe, à partir d"un certain moment, la fonction f est toujours au- dessus de ce niveau M.

Soit M un réel quelconque.

Comme la fonction g tend vers

lorsque x s"en va vers alors à partir d"un certain moment

1x, on a :

g x M

On appelle

2x le plus grand des deux réels 0x et 1x.

A partir de cet instant

2x , nous avons : ()0

Car on est au-delà de xf x g x

et 1

Car on est au-delà de xg x M

. Donc f x M

Conclusion :

quelque soit le réel M que l"on se fixe, à partir de l"instant 2x f x est toujours supérieur au niveau M. Donc la fonction f s"envole vers

De même, on établit qu"à l"infini, toute fonction majorée par une autre qui plonge vers -∞

a aussi pour limite Théorème des gendarmes : limite d"une fonction encadrée à l"infini Si x x 0

f est encadrée par les fonctions g et h lim g x = lim h x = A partir d"un certain moment x , g x f x h x→+∞ →+∞?

alors xlim f x = →+∞

La preuve de ce théorème Pour ce faire, nous allons utiliser la définition de la limite finie en un point Soit ε un réel positif quelconque. C"est notre fameuse tolérance.

Comme lorsque x tend vers

g x et h x tendent vers le réel ? alors :

Il existe un moment

1x à partir duquel

g x

Il existe un moment

2x

à partir duquel

h x

Appelons

3x le plus grand des trois réels 0x 1x et 2x

A partir de ce moment

3x , nous avons : 1 2

On est au delà de x On est au-delà de x

g x f x h x

Conclusion :

quelque soit la tolérance ε choisie, à partir de l"instant 3x f x est toujours coincé entre et . Donc lorsque x tend vers f x tend vers

Corollaire du théorème des gendarmes Si

x 0

La distance entre f x et est inférieure à g xlim g x 0A partir d"un certain moment x , f x g x→+∞?=?

alors xlim f x→+∞

La preuve de ce corollaire A partir du moment

0x , on a :

Histoire de distance et de valeur absolue...

f x g x g x f x g x

Comme lorsque x tend vers

g x tend vers 0 alors les fonctions g x-? et g x+? tendent vers

Conclusion :

à partir du moment

0x , f est encadrée par deux fonctions qui tendent vers ?. Le théorème des gendarmes peut s"appliquer... l f +εl -εl g h 1 3

Dans le présent cas...

x x=?????? 2x 0x M f 1 2

Dans le cas présent

x x=?????? g 0xquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22