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Marcel Délèze

Edition 2017

2 Dérivées partielles

Définition de la dérivée partielle

La dérivée partielle de la fonctio par rapport à x en (x, y) est la dérivée de la fonction d'une seule variable réelle x f x, y où y estconstant

Elle est notée

f x, y xouf x(x, y) ou xf (x, y) ou x f x, y

En d'autres termes

f x, y x= lim x 0 f x x, y f x, y x Dans le cas où la limite n'existe pas, on dit que la fonctio n'est pas partiellement dérivable par rapport à x en (x, y) Dans le contexte des fonctions de plusieurs variables, l'adjectif p artiel signifie par rapport à une seule variable, les autres arguments étant constants.

D'une manière analogue,

la dérivée partielle de la fonctio par rapport à y en (x, y) est la dérivée de la fonction d'une seule variable réelle y f x, y où x estconstant

Elle est notée

f x, y youf y(x, y) ou yf (x, y) ou y f x, y

En d'autres termes

f x, y y= lim y 0 f x, y y f x, y y Dans le cas où la limite n'existe pas, on dit que la fonctio n'est pas partiellement dérivable par rapport à y en (x, y) La définition s'étend naturellement aux fonctions de trois variables ou plus. Ainsi, l a dérivée partielle de la fonctio par rapport à z en (x, y, z) est la dérivée de la fonction d'une seule variable réelle z f x, y, z où x et y sont constants

Elle est notée

f x, y, z zouf z(x, y, z) ou zf (x, y, z) ou z f x, y, z

En d'autres termes

f x, y, z z= lim z 0 f x, y, z z f x, y, z z

Printed by Wolfram Mathematica Student Edition

Exemples (calculs à la main)

Soit f x y x 2 y . Alors, xx 2 y 1 y xx 2 1 y(2 x) =2 x y yx 2 y x 2 y1 y x 2 yy 1 x 2 1 y 2 x 2 y 2 Soit V r h r 2 h . Alors, V r, h r= r r 2 h h rr 2 h 2 r 2 r h V r, h h= h r 2 h r 2 h(h) = r 2 1 r 2 V

0.4; 0.6

r= r r 2 h

0.4,0.6

2 r h

0.4, 0.6

2

0.4×0.6 = 0.48

V

0.4; 0.6

h= h r 2 h

0.4, 0.6

r 2

0.4, 0.6

0.4 2 0.16

Dérivée et ordre des opérations

Par exemple, pour calculer la dérivée de la fonction f x x 2 en x

3, il faut

d'abord calculer la fonction dérivée f x 2 x puis ensuite remplacer par la valeur f 3 2 3 6 Si on inverse l'ordre des opérations, le résultat est toujours nul: remplacer d'abord par la valeur f 3 3 2

9 [ce qui donne une constante]

puis calculer ensuite la dérivée 9

0 [la dérivée d'une fonction constante est nulle].

C'est pourquoi, en

Mathematica

, le calcul qui suit donne un résultat aberrantquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8