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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20231 Feuille d"exercices sur "Matrices et applications linéaires»

1 Pour démarrer

Exercice 1 (De l"AL vers la matrice)Déterminer les matrices des applications linéaires suivantes par rapport aux bases canoniques.

1.f:R2→R4(x,y)?→(x,y,y,2x) 2.f:R2→R3(x,y)?→(0,y,x)

3.f:R3→R2(x,y,z)?→(x+y,z-x) 4.D:R3[X]→R3[X]P?→P?

5. Δ :R3[X]→R3[X]P?→P(X+ 1)-P(X) 6. eva:Rn[X]→R, P?→P(a).

7.f:M2,3(K)→ M3,2(K), M?→tM

Exercice 2 (De la matrice vers l"AL)On considère les matrices

A=(((1 0

-1 3

2 4)))

etB=(((1 1 1 -1 2-2

0 3-1)))

1. Déterminer l"application linéaireucanoniquement associée àAet àB.

2. Déterminer dans les deux cas une base de Keruet Imu.

Exercice 3On considère l"endomorphismeudeK4canoniquement associé à la matrice

A=(((((0 2 0 0

-1 0 0 2

1 0 0-2

0 0 0 0)))))

En utilisant uniquement les colonnes deA, donner le rang deA, en déduire sansaucun calculune base de Imuet de Keru. Exercice 4Soitf? L(R2,R3) tel quef(1,1) = (-1,-2,5) etf(2,-3) = (0,5,4). Déterminer la matrice defdans les bases canoniques deR2etR3. Exercice 5 (Une triangularisation)Soitfl"endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique est

A=(((3-1 1

2 0 1

1-1 2)))

On noteu1= (0,1,1),u2= (1,1,0),u3= (1,1,1). On peut montrer que la familleβ= (u1,u2,u3) est une baseR3.

1. Écrire la matriceTdefdansB.

2. Donner une relation matricielle reliantAetT. En déduire les puissances deA.

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20232

Exercice 6On considère la matrice

A=((((((((1 1 1 1 10 1 2 3 40 0 1 3 60 0 0 1 40 0 0 0 1))))))))

1. Déterminer l"endomorphisme deR4[X] dontAest la matrice dans la canonique deR4[X].

2. En déduire sans calcul matriciel, l"inverse et les puissances de la matriceA.

Exercice 7 (Un endomorphisme matriciel)On poseJ=?1 11 1? etfl"endomorphisme deM2(R) défini par f(M) =MJ.

1. Écrire la matriceAdefdans la base canonique deM2(R).

2. Déterminer le noyau et l"image def.

3.Aest-elle inversible? CalculerAp.

2 Des réductions de matrice

Exercice 8 (Une diagonalisation modèle)SoitA=(((2-2 1 2-3 2 -1 2 0))) On notefl"endomorphisme deK3dontAest la matrice dans la base canonique deK3.

1. Déterminer une base de Ker(f-id) et de Ker(f+ 3id).

2. Démontrer queK3= Ker(f-id)?Ker(f+ 3id).

3. Écrire la matriceDdefdans une base adaptée à cette somme directe.

4. Donner une relation matricielle reliantAetD. En déduire une méthode de calcul deAn

pourn?N. Exercice 9 (Diagonalisation de la matrice "Attila»)On noteJla matrice carrée1d"ordre

4 dont tous les coefficients valent 1. On noteul"endomorphisme deK4canoniquement associé

etB= (e1,e2,e3,e4) la base canonique.

1. Déterminer une base de Imuet de Keru.

2. On posea=e1+e2+e3+e4. Calculeru(a). Démontrer que Keruet Vect{a}sont

supplémentaires dansK4.

1. Cette matrice est parfois appelé matrice "Attila» car elle est habitée par les "uns» et Attila était le roi

des "huns». ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20233

3. Écrire la matriceDdeudans une base adpatée à la somme directeK4= Keru?Vect{a}

et donner le lien matriciel entreAetD. Exercice 10 (Matrices nilpotentes d"indice maximal). SoitEunK-espace vectoriel de dimension finienetuun endomorphisme nilpotent d"indice maximal,i.e.un= 0 etun-1?=

0. Soitx?Etel queun-1(x)?= 0. On a vu au chapitre précédent que la familleB=

(x,u(x),...,un-1(x)) est une famille libre deE.

1. Justifier queBest une base deE, écrire la matriceAdeudans cette base.

2. En déduire sans calcul matriciel l"expression pour toutk?NdeAk.

Exercice 11 (Interprétation matricielle d"un espace stable)SoitFetGdeux sous-espaces vectoriels supplémentaires dansEde dimension finie. Soituun endomorphisme deE. On sup- pose queFetGsont stables paru. On prendBune base adaptée à la somme directeE=F?G.

1. De quel type est la matrice deudans cette base?

2. On suppose quePetQsont des polynômes annulateurs respectifs de matricesAetB.

Déterminer un polynôme annulateur de la matrice bloc diag(A,B). Exercice 12 (Matrice d"une projection)On se place dansR3. On notepla projection sur le planFd"équationx+y+ 2z= 0 parallèlement à la droite dirigée par (1,2,1).

1. Déterminer une base du planF, en déduire une base dans laquelle la matrice depest

diagonale.

2. Écrire la matrice de passage de la base canonique vers cette nouvelle base. En déduire à

l"aide de la calculatrice la matrice depdans la base canonique.

3. Donner la matrice dans la base canonique de la composée de l"homothétie de rapport 5

par la projectionp. Exercice 13 (Cas général)Soitpun projecteur deL(E) avecEunK-espace vectoriel de dimension finie.

1. Déterminer une baseBdeEtelle que la matrice depdansBest une matrice diagonale

Dde la forme diag(0,...,0,1...,1).

2. En déduire que rgp= Tr(D). Pourquoi peut-on parler de trace d"un endomorphisme?

Exercice 14 (Etude d"une symétrie)On poseA=1

3?-1-2

-4 1?

1. Montrer quefl"endomorphisme deR2canoniquement associé àAest une symétrie par

rapport àE1et parallèlement àE2oùE1etE2sont à déterminer.

2. Trouver une base deR2dans laquelle la matrice defest diagonale.

3. On munitR2de sa norme euclidienne. La symétriefest-elle une isométrie?

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3 Applications de la réduction

Exercice 15 (Racines carrées)SoitAetBdeux matrices semblables deMn(K) avecA= PBP -1.

1. Démontrer queSest un racine carrée deBsi et seulement si la matricePSP-1est une

racine carrée deA.

2. Application : on suppose queB= diag(0,4,3). Déterminer les racines carrées deA.

Exercice 16 (Calcul de commutant)SiMest une matrice, on noteC(M) l"ensemble des matrices qui commutent avecM(on dit aussi commutant deM). On prendAetBdeux matrices semblables deMn(K). Il existe donc une matriceP?GLn(K) telle queA=PBP-1.

1. Démontrer queM? C(A)??P-1MP? C(B). En déduire que les espacesC(A) et

C(B) sont isomorphes.

2. Application : soitAune matrice semblable à la matriceD= diag(1,-3,-3). Déterminer

la dimension du commutant deA. Exercice 17 (Réduction en base orthonormée d"une conique)On munit le planR2de

sa base canonique orthonormée (-→i ,-→j). On noteB= (-→I ,-→J) la base orthonormée obtenue par

rotation d"angle

4de la base canonique. SiMest un point de coordonnées (x,y) dans la base

canonique, on note (X,Y) ses coordonnées dansB.

1. Écrire la matrice de passage de la base canonique vers la nouvelle base, en déduire une

expression dexetyen fonction deXetY.

2. Application : on considère la coniqueCdont l"équation cartésienne dans la base canonique

est : x

2+ 3xy+y2-x+y= 1.

Démontrer que dansB, la courbeCa pour équation

5X2-(Y-⎷

2)2= 0.

En déduire la nature et l"allure deC.

4 Classification de matrices

Exercice 18 (Invariants de similitude)

1. Démontrer que deux matrices semblables ont même trace. Deux matrices de même trace

sont-elles semblables?

2. Classer à similitude près les quatre matrices élémentaires deM2(K). Et à équivalence

près?

3. On démontrera aussi prochainement que deux matrices semblables ont même déterminant.

Déterminer deux matrices deM2(K) qui ont même trace et même déterminant mais qui ne sont pas semblables. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20235 Exercice 19Démontrer que les deux matrices suivantes sont semblables, on pourra considérer la base canoniqueB= (i,j,k) deR3:

A=(((1 3 72 4 84 5 1)))

B=(((4 8 25 1 43 7 1)))

Exercice 20 (Matrices nilpotentes en taille 3)SoitNune matrice nilpotente deM3(K). On noterson indice de nilpotence, c"est-à-direNr= 0 etNr-1?= 0. On noteul"endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique deR3estN.

1. On supposer= 3. On sait d"après l"exercice 10 qu"il existe un vecteurx?K3tel que

B= (x,u(x),u2(x)) est une base deK3. A quelle matrice simple est semblableN?

2. On supposer= 2.

(a) Comparer Keruet Imu, en déduire la dimension de Keru. (b) Soitx?R3tel queu(x)?= 0. Justifier qu"il existez?Kerutel que la famille (u(x),z) soit une base de Keru. (c) Démontrer que la familleB?= (x,u(x),z) est une base deR3et écrire la matriceB deudans cette base.

3. Conclusion : combien de classes de similitude y-a-t-il dans l"ensemble des matrices nilpo-

tentes deM3(K).

4. Donner deux matrices deM4(K) d"indice 2 non semblables.

Exercice 21Démontrer que les deux matrices suivantes sont semblables :

A=(((-2-3-1

2 3 1

2 3 1)))

D= diag(2,0,0)

Exercice 22On noteul"endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique deR3 estA.

A=(((1 1-1

-3-3 3 -2-2 2)))

B=(((0 1 00 0 00 0 0)))

1. Déterminer une base de Keruet un vecteur en dehors de Keru.

2. Démontrer que les matricesAetBsont semblables.

Exercice 23Démontrer qu"une matrice deMn(K) non inversible est équivalente à une matrice

nilpotente. Le résultat reste-t-il vraie en remplaçant le mot"équivalente» par semblable?

Exercice 24 (Lemme de Schur)Soitfun endomorphisme deK2.

1. On suppose quefest une homothétie. Démontrer queflaisse stable toute droite deK2,

2. On suppose queflaisse stable toute droite deK2, démontrer quefest une homothétie

(on pourra considérerf(i+j) avec (i,j) la base canonique deK2). Exercice 25 (Classes de similitude en taille 2)SoitM? M2(K). On suppose queM n"est pas une matrice scalaire, c"est-à-dire de la formeλI2avecλ?K. On notefl"endomor- phisme deK2canoniquement associé àM.

1. Démontrer à l"aide du lemme de Schur qu"il existe vecteuradeK2tel que la famille

(a,f(a)) soit une base deK2, en déduire que la matriceMest semblable à une matrice

Tde la forme?0α

1β?

2. Exprimerβetαen fonction de Tr(M) et detM.

3. En déduire que deux matrices non scalaires deM2(K) sont semblables, si et seulement si

elles ont même trace et même déterminant.

4. Le résultat est-il vrai sans l"hypothèse "matrices non scalaires»?

5. Classer à similitude près les seize matrices deM2(K) dont les coefficients valent 0 ou 1

(il y a huit classes de similitude).

5 Calculs de rang

Exercice 26 (Un petit vrai-faux)

1. SiAetBsont dansMn(K), on a rg(A+B) = rg(A) + rg(B).

2. SiAetBsont dansMn(K), on a rg(AB) = rg(BA).

3. SiAetBsont dansMn(K), on rg?A0

0B? = max(rg(A),rg(B)). Exercice 27 (Calculs de rang)Déterminer le rang des matrices suivantes :

1.A1=(((1 0 00 1 00 0 1)))

,A2=(((1 0 00 0 00 0 0))) ,A3=(((1 0 00 0 00 1 0))) ,A4=(((1 2 34 5 69 12 15))) ,A5=(((1 2 30 2 40 0 3))) ,A6= (1 1 1 10 0 1 10 0 2 30 0 0 0))))) A7=((((((((1 2 0 32 3 0 53 4 0 74 5 0 95 6 0 12)))))))) A

8=((((((((2 1 1 50 3 1 40 0 0 20 0 0 35 6 0 12))))))))

2.A=(((1 1 00 1 10-1 1)))

,B=(((1 0 01 2 21 2 0))) ,C=(((((1 0 1 30 2-2 1

0 0 0 1

1 1 0 1)))))

3. Discuter le rang des matrices :A=(((1 1 1-m

2-m3

3 1-m)))

,B=?m1 1 1m1? ,C=(((((1 1 1m 1 1m1 1m1 1 m1 1 1))))) Exercice 28SoitAetBdeux matrices deMn(K). Le but de l"exercice est de montrer que rg(I-AB) = rg(I-BA).

1. Traiter d"abord le cas oùAest inversible.

2. On noteJrla matrice canonique de rangrdeMn(K),i.e.Jr=?I

r0 0 0? . Démontrer en utilisant "des produits par bloc» que pour toute matriceUdeMn(K), on a rg(In-UJr) = rg(In-JrU).

3. On suppose queAn"est pas inversible. Démontrer en utilisant les questions précédentes

que rg(I-AB) = rg(I-BA).

Exercice 29SoitNune matrice nilpotente deMn(R).

1. Démontrer queNest semblable à une matrice blocs du type?0L

0N?? oùN?? Mn-1(R).

2. Démontrer queN?est nilpotente.

3. En déduire que Tr(N) = 0.

Exercice 30 (Recettes "élémentaires» pour confectionner des matrices semblables)

Prouver les recettes suivantes :

1. Recette n°1 : pour obtenir deux matrices semblablesAetBdeMn(K), faire :

• choisir une "belle» matriceAdansMn(K) • permuter les lignesietjde votre choix, puis permuter les colonnesietj(de la nouvelle matrice). • répéter l"étape précédente autant de fois que vous le désirez. • appelerBla matrice ainsi obtenue.

2. Recette n°2 : pour obtenir deux matrices semblablesAetBdeMn(K), faire :

• choisir une "belle» matriceAdansMn(K) • multiplier la ligneide votre choix par un réelanon nul. • diviser par le réelala colonnei(de la nouvelle matrice). • Répéter les deux étapes précédentes autant de fois que vousle désirez. • appelerBla matrice ainsi obtenue.

3. Recette n°3 : appliquer la recetten°1 puis la recetten°2.

On pourra traduire matriciellement l"effet des opérations élémentaires que l"on fait subir à la

matriceA.quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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