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ENFA - Bulletin du GRES n°3 -juin 1996 page 0

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EDITORIAL

Constitution du G.R.E.S. au 15 Juin 1996

ANGELIQUE Françoise LEGTA de NANCY

FAGES Jean ENFA TOULOUSE

FAURE Jean-Claude LEGTA de CARCASSONNE

GAUMET Jean-Pascal LEGTA LE ROBILLARD

MALEGANT Jean-Yves ENITIAA de NANTES

MARTIN Henri LEGTA de DIJON-QUETIGNY

MELLAN André LEGTA de LA ROCHE SUR FORON

MERCIER Alain ENFA TOULOUSE

PARNAUDEAU Jean-Marie LEGTA de VENOURS

PAVY Jacques LEGTA LE ROBILLARD

PRADIN Jean LEGTA de MOULINS

RIOU Alexis LEGTA de QUIMPER

URDAMPILLETTA Vincent LEGTA de SURGERES

VARLOT Chantal LEGTA de CHALONS SUR MARNE

ENFA - Bulletin du GRES n°3 -juin 1996 page 1

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Jean-Marie PARNAUDEAU

" C'est l'étude des jeux de hasard étendue bientôt jusqu'à former une branche distincte des

mathématiques, le " calcul des probabilités », qui vient donner à la Science statistique sa

justification théorique et ses méthodes propres. » André VESSEREAU fait ainsi le partage entre statistique et probabilité. Le calcul des probabilités, ce sont des mathématiques " propres » au sens où il y a des

définitions, des théorèmes, des propriétés... Pour nous enseignants de mathématiques souvent

peu formés aux probabilités et encore moins aux statistiques, nous nous retrouvons en terrain connu.

L'enseignement de la statistique est plus délicat. Il s'agit d'une discipline nouvelle, la plupart

des résultats datent du début de ce siècle, et le raisonnement est de type inductif. Pour paraphraser SNEDECOR, il s'agit d'une " méthode de mesure de l'incertitude des conclusions inductives. » C'est pourquoi nous avons tous des difficultés lorsqu'il s'agit d'aborder cette partie des programmes. Le ratio nombre de reçus sur nombre de candidats fait que le CAPESA interne est un concours accessible. Le GRES a publié dans le bulletin n°2 une partie du sujet de l'épreuve

n°2. Dans ce numéro, vous trouverez une proposition de corrigé de l'exercice 2. Pour l'avenir,

une partie du bulletin sera consacrée à ceux d'entre nous qui préparent ce concours, en particulier le corrigé des sujets. Comme il s'agira principalement des points du programme du CAPESA ayant un rapport direct avec notre enseignement en BTSA, ces rubriques pourront donc intéresser chacun d'entre nous.

Ce numéro est particulièrement centré sur les tests statistiques. Il s'agit essentiellement, dans

ce bulletin, de donner une méthodologie et quelques exemples. Rappelons que la pratique de certains tests n'est enseignée actuellement que dans les modules D4x.

Suite à vos demandes, les représentations " tiges et feuilles » apparues dans le programme du

futur Bac Pro, font l'objet d'un article. Dans le bulletin n°4, nous aborderons les " box plot »

qui figurent dans les recommandations pédagogiques du programme du module D11. A ce propos, dès que vous recevrez les propositions de nouveaux programmes de ce module, n'hésitez pas à faire part de vos remarques à la DGER. Le bulletin du GRES se veut un outil de communication entre enseignants du Ministère de l'Agriculture. C'est la seule revue (au Monde !) qui n'est protégée par aucun droit d'auteurs, c'est pourquoi tous les articles sont libres de photocopies et de modifications, n'ayez aucune gêne à en profiter.

Bonnes vacances à tous.

ENFA - Bulletin du GRES n°3 -juin 1996 page 2

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F comme FISHER

Trois britanniques ont fortement influencé la statistique au début de ce siècle ; K. PEARSON, W.S. GOSSET (STUDENT) et R.A. FISHER. Mais, par ses nombreuses contributions tant au niveau théorique qu'expérimental, on peut considérer R.A. FISHER comme le fondateur de la statistique moderne. Sa collaboration avec STUDENT a déjà été

évoquée dans le numéro 2.

Ronald Aylmer FISHER est né en 1890, il a fait des études de mathématiques mais il s'est intéressé également aux travaux de MENDEL et de GALTON.

C'est donc avec une formation de mathématicien et de biométricien qu'il commence à travailler

et à publier. Ce qui est remarquable, lorsque l'on se penche sur ses travaux personnels (prés de

400 publications), ce sont les "va et vient» incessants entre pratique et théorie.

Dès 1912, il jette les bases de la méthode du maximum de vraisemblance ; Gauss avait déjà

utilisé cette méthode dans des cas particuliers, mais c'est FISHER qui propose de l'utiliser pour

construire des estimateurs ; poursuivant ce travail, il en a étudié les propriétés asymptotiques en

1925. Une partie de ses recherches ont porté sur les estimateurs efficaces et asymptotiquement

efficaces. En particulier, FISHER, mais il ne fut pas le seul, a établi clairement la distinction entre

estimation (valeur d'un estimateur sur un échantillon) et paramètre (à estimer) de la population

étudiée.

En 1915, il publie dans Biometrica un article sur la distribution d'échantillonnage du coefficient

de corrélation, en travaillant non pas sur le R mais sur le Z, où ZR R

¹¸1

21

1ln, FISHER

montre que la distribution du Z est asymptotiquement normale et que de plus il y a indépendance entre E(Z) et V(Z). L'idée de cette transformation est géométrique. En 1918, il publie un article dans lequel il présente l'analyse de la variance.

De 1919 à 1933, il travaille à la station de ROTHAMSTED, c'est là qu'il imaginera et mettra en

place les grands principes de l'expérimentation agronomique (randomisation, plans

d'expériences...) ; principes et méthodes qui sont encore appliqués de nos jours au moins en

agronomie.

Dès 1900, K PEARSON a proposé le test du F2 (ajustement d'une distribution observée à une

distribution théorique). En 1922, FISHER établit la méthode du minimum du F2. Profitant des travaux de LAPLACE (1812) et de WILSON (1927), il développe une méthode générale de détermination des intervalles de confiance pour un paramètre en 1930. C'est NEYMAN qui developpera la théorie générale des intervalles de confiance et le lien avec la théorie des tests. Pour la petite histoire, si les relations entre R.A.FISHER et W.S. GOSSET furent toujours cordiales et fructueuses sur le plan scientifique, il n'en fut pas de même entre FISHER d'une part et J. NEYMAN et K. PEARSON d'autre part. Lorsqu'il prend sa retraite, en 1957, FISHER quitte la Grande-Bretagne et s'installe en

Australie. Il y meurt en 1962.

Si les ouvrages de statistiques ont souvent des tirages "confidentiels», parmi les "best-sellers»

de la statistique figurent deux livres de R.A. FISHER : ENFA - Bulletin du GRES n°3 -juin 1996 page 3

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- "Statistical tables for biological, agricultural and medical research» Paru en 1938, en collaboration avec son collègue de ROTHAMSTED, F. YATES. Ces

tables, de nombreuses fois rééditées, constituent sûrement l'ouvrage de statistiques le plus

pillé (on dirait actuellement "photocopillé») de toute l'histoire de la statistique. - "Les méthodes statistiques adaptées à la recherche scientifique»

De nombreuses fois réédité, depuis sa parution en 1925, ce livre est le résultat du travail

de R.A.FISHER, de l'équipe de ROTHAMSTED, mais aussi de W.S.GOSSET. Dans la préface de la dixième édition (1946), on peut lire :

"un contact journalier avec les problèmes statistiques, tels qu'ils se présentent à l'homme de

laboratoire, stimula les recherches purement mathématiques qui servirent de base à de nouvelles

méthodes (...) Nous avons pensé, en nous attachant aux problèmes des petites séries et à leur

intérêt, qu'il devait être possible d'appliquer des tests précis aux données pratiques.».

Enfin, à titre de méditation, ces deux phrases de 1946 mais toujours d'actualité : "Certains

cours universitaires de Statistique élémentaire, par le maintien stéréotypé d'approximations

inutiles et de conventions inadéquates, empêchent encore de nombreux étudiants de se servir de

méthodes exactes. En lisant ce livre, ils devront se rappeler qu'on ne s'est pas écarté de la

tradition par caprice, mais seulement quand on y trouvait un avantage certain.». ENFA - Bulletin du GRES n°3 -juin 1996 page 4

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PRINCIPE GENERAL DES TESTS D'HYPOTHESES

1. Hypothèses à tester

La première étape d'un test consiste à définir l'hypothèse à tester. Cette hypothèse, notée

H

0 et appelée hypothèse nulle ou hypothèse principale, doit être "précise" : il s'agit en général

d'une égalité. Nous verrons plus loin pourquoi. On définit ensuite l'hypothèse alternative H 1 Si H

0 est "

P 12 ", H

1 peut être "

12 " ou " 12 " ou " 12 Dans le premier cas il s'agit d'un test bilatéral, dans les deux autres cas de tests unilatéraux.

Dans la pratique c'est souvent

H

1 qui s'exprime dans la question qu'on se pose : "

le second traitement donne-t-il, en ce qui concerne la moyenne des rendements, de meilleurs résultats que le premier ? " donne "H 1 : 12 ", dans ce cas, on a pour H 0 : " les deux traitements donnent, en ce qui concerne la moyenne des rendements, des résultats semblables qui peut s'écrire : H 0 : 12 ". H

0 concerne une ou des population(s), le but du test est de décider, à partir

d'échantillon(s), si H

0 doit être rejetée ou non.

L'observation d'un (d')échantillon(s) fait en général apparaître une contradiction avec l'hypothèse H

0. Le problème est de savoir si cette contradiction observée est révélatrice ou

non d'une contradiction au niveau de la (des) population(s). On se pose le problème de la façon suivante : si H

0 est vraie, quelle est la distribution

des différences possibles ? (pour les variances il s'agira de quotients et non de différences).

Exemple : test de "conformité" d'une moyenne :

H 0 :

0 (ne parlons pas de

H

1 pour l'instant)

µ est la moyenne (inconnue) de la population.

0 est une valeur fixée (par exemple 250).

On prélève dans la population un échantillon aléatoire simple de taille n. On appelle X la

variable aléatoire moyenne d'échantillonnage (elle prend pour valeurs les moyennes des échantillons aléatoires simples de taille n).

2.Choix du modèle

Dans le cas le plus simple où la population est distribuée normalement avec une variance

2 connue,

XestdeloinormaleNn,

, c'est-à-dire, si H

0 est vraie, de loi

Nn 0 ENFA - Bulletin du GRES n°3 -juin 1996 page 5

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On utilise la forme centrée réduite :

SiH est vraie UX

nestdeloiN 000 01

Ceci sera ce qu'on appelle la

variable de décision ou modèle du test considéré (l'indice

0, facultatif, pour la variable U rappelle qu'on travaille sous

H 0).

On comprend ici pourquoi

H

0 doit être "précise" : en effet si, par exemple

H

0 était une

inégalité on aurait affaire à un modèle "flottant" inutilisable. La question qui se pose alors est la suivante : à partir de quelle valeur-seuil va-t-on considérer que u 0 (valeur observée de U 0 sur l'échantillon, u 0 est une expression de la différence observée) est trop éloignée de 0 pour qu'on puisse accepter H 0 ?

3. Risques associés

Il existe deux risques

- le risque de rejeter H

0 alors qu'elle est vraie, il est appelé risque de première

espèce et noté - le risque d'accepter H

0 alors qu'elle est fausse, il est appelé risque de

deuxième espèce et noté

On a le tableau suivant :

Réalité

Décision

H

0vraie

H

0fausse

acceptation de H 0 1 rejet de H 0 1

Le risque

étant fixé au départ, la règle de décision est construite à partir de l'hypothèse

H

1 et de la colonne "

H

0 vraie" de ce tableau.

A l'aide du modèle défini sous

H

0, on détermine une zone d'acceptation de

H

0et une

zone de rejet de H

0 de probabilité

-Dans le cas d'un test bilatéral la zone de rejet est constituée de deux intervalles disjoints de probabilité 2 chacun, l'un à droite et l'autre à gauche. En revenant à l'exemple du paragraphe 2, nous avons le schéma de décision suivant : H 1: 0 ENFA - Bulletin du GRES n°3 -juin 1996 page 6

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On accepte H

0 si - a < u

0 < a, on rejette H

0 sinon.

-Dans le cas d'un test unilatéral , la zone de rejet est entièrement à droite ou entièrement à gauche ("du côté de H 1") : Pour le même exemple que précédemment avec " H 1 :

0" on a le schéma suivant :

On accepte

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