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Limites remarquable Fonctions trigonométrique lim x→0 sin(x) x = 1 lim x→0 1 − cos(x) x2 = 1 2 lim x→0 arcsin(x) x = 1 lim x→0 tan(x) x = 1 Fonctions 

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Limites remarquables Le but de l'activité est d'établir deux limites remarquables : lim x→0 sinx x = 1 lim x→0 cos x − 1 x = 0 Méthode par comparaison 1

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Soit x un réel de l'intervalle ]0 ; 2 [, et M un point du cercle trigonométrique tel que la mesure en radians de l'angle OI ; OM soit égale à x Les 

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Limites par opération ? indique On cherche à déterminer les limites de f (x) aux bornes de son domaine de définition L'astuce Limites remarquables 1 1 1

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Trigonométriques f(x)=cos(x) g(x)=sin(x) p'(x)=24x23+4 √3x3-1/3 limite en +∞ de p(x)= limite en +∞ de x24 Sinus et cosinus : valeurs remarquables Non

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5 sept 2012 · fonctions trigonométriques), les autres ne font intervenir aucune théorie supplémentaire, si ce n'est la notion perboliques, et de leurs réciproques (y compris limites et asymptotes) Valeurs remarquables à connaitre : x 0

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Valeurs des fonctions trigonométriques pour quelques angles remarquables sous forme exponentielle a ib= cos i sin = ei Limites lim

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Les fonctions usuellesLes fonctions usuelles

Objectif :Objectif :

ConnaConna

îître les reprtre les repr

éésentations sentations

graphiques de ces fonctions et graphiques de ces fonctions et leurs proprileurs propri

ééttéés principaless principales

Les fonctions usuellesLes fonctions usuelles

vues en terminalevues en terminale

Logarithme et exponentielleLogarithme et exponentiellef(x)=ln(x) g(x)=log(x) h(x)=exp(x)=ef(x)=ln(x) g(x)=log(x) h(x)=exp(x)=e

xx Puissances et polynômesPuissances et polynômes f(x)=xf(x)=x g(x)=xg(x)=x h(x)=xh(x)=x ⎷⎷22 k(x)=xk(x)=x --22 l(x)=l(x)= --xx33+2x+2x --33

TrigonomTrigonom

éétriquestriques

f(x)=cos(x) g(x)=sin(x) h(x)=tan(x)f(x)=cos(x) g(x)=sin(x) h(x)=tan(x) DD""autres fonctions usuellesautres fonctions usuelles a)a) RRééciproques des fonctions ciproques des fonctions trigonomtrigonom

éétriquestriques

f(x)=arcsin(x)f(x)=arcsin(x) g(x)=arccos(x)g(x)=arccos(x) h(x)=arctan(x)h(x)=arctan(x) a)a)

Fonctions hyperboliquesFonctions hyperboliques

f(x)=sinh(x)f(x)=sinh(x) g(x)=cosh(x)g(x)=cosh(x) h(x)=tanh(x)h(x)=tanh(x) Logarithmes et exponentielleLogarithmes et exponentielle▪▪Logarithme nLogarithme n

ééppéérienrien

▪▪Autres logarithmesAutres logarithmes▪▪exponentielleexponentielle

Logarithme nLogarithme n

ééppéérienrien

DDééfinition : la fonction logarithme nfinition : la fonction logarithme n

ééppéérien notrien not

éée e lnln

ddééfinie sur finie sur ]0;+]0;+ est la fonction telle que est la fonction telle que sa dsa d

éérivriv

ééeeest est

1/x1/x

ln(1)=0ln(1)=0Propriétés :ln(ab)=ln(a)+ln(b) ln(a/b)=ln(a)-ln(b) ln(a

α)=αln(a)

Autres LogarithmesAutres Logarithmes

▪▪Logarithme dLogarithme d

éécimalcimal

log(x)=ln(x)/ln(10)log(x)=ln(x)/ln(10) log(10)=1log(10)=1▪▪Logarithme de base a>0 et aLogarithme de base a>0 et a ≠≠11 loglog aa(x)=ln(x)/ln(a)(x)=ln(x)/ln(a) loglog aa(a)=1(a)=1

ExponentielleExponentielle

DDééfinition : La fonction rfinition : La fonction r ééciproque de ln est la ciproque de ln est la fonction exponentiellefonction exponentielle ;0)ln( yyx xey x

Propriétés :exp"(x)=exp(x)

e0=1 e1=2,718... ea+b =e aeb e-a=1/e a era=(e a)r Puissances et polynômesPuissances et polynômes ▪▪Fonctions puissances :Fonctions puissances :CarrCarr

éé, cube,, cube,

GGéénnééralisationralisation

▪▪Fonctions polynômesFonctions polynômes

Les fonctions puissancesLes fonctions puissances

Cas particuliers :

•Si n est un entier positif x n •Si k est un entier relatif x k •Si r est un rationnel x r

Cas général

Si a est un réel,

xxaa

CarrCarr

▪▪DDééfinition : la fonction carrfinition : la fonction carr

ééest dest d

ééfinie pour tout x finie pour tout x

rrééel par el par xx22=x.x=x.x

Propriétés :

Paire

Non bijective sur R

Réciproque sur [0,+

notée

Dérivée: 2x

CubeCube

▪▪DDééfinition : la fonction cube est dfinition : la fonction cube est d

ééfinie pour tout finie pour tout

x rx r

ééel parel par

xx33=x.x.x=x.x.x

Propriétés :

Impaire

Bijective

La réciproque est racine

cubique

Dérivée: 3x

2

Fonction xFonction x

nnavec n entier positifavec n entier positif ▪▪DDééfinition : pour tout x rfinition : pour tout x r

ééel el

xxnn=x=x .x (n fois).x (n fois)

Propriétés :

Si n est pair (impair), la fonction est

paire (impaire)

Réciproque sur [0,+

∞[: fonction racine nième 0 0yyx xxy nn

Dérivée: nx

n-1

Fonction Fonction

xx--nnavec n avec n entierentier positifpositif

Si n Si n

entierentier positifpositif , , xx--nn=1/x=1/x nn

ExempleExemple

: x: x --22=1/x=1/x

22=1/(x.x)=1/(x.x)

pour xpour x ≥≥0, x0, x

1/n1/n==nn⎷⎷xx(racine ni(racine ni

èème)me)

Exemple : xExemple : x

1/21/2==⎷⎷xx

Si r=p/q, alors xSi r=p/q, alors x

rr==qq⎷⎷xxpp

Exemples : pour x>0, xExemples : pour x>0, x

--1/21/2=1/=1/ ⎷⎷xx pour xpour x ≥≥0, x0, x

5/25/2==⎷⎷xx55

pour tout x, xpour tout x, x

2/32/3==33⎷⎷xx2 2

DDéérivriv

ééeede de

xxrr: rx: rx rr--11

GGéénnééralisation : xralisation : x

a a avec a ravec a r

ééelel

▪▪DDééfinition : Soit a un rfinition : Soit a un r

ééel el

pour x>0 pour x>0 xxaa=e=e a ln(x)a ln(x) Propriétés: Soient a et b deux réels, x>0 et y>0 1 a=1 xa+b =x axb xa)b=x ab x-a=1/x a (xy) a=x aya

Dérivée: ax

a-1

PolynômesPolynômes

Exemple : p(x)=xExemple : p(x)=x

2424++⎷⎷3x3x

44--x/3 est un polynôme de degrx/3 est un polynôme de degr

éé24.24.

Les polynômes sont souvent utilisLes polynômes sont souvent utilis

éées parce que ce sont es parce que ce sont

les fonctions les plus simplesles fonctions les plus simplespp""(x)=24x(x)=24x

2323+4 +4

⎷⎷3x3x

33--1/31/3

limite en +limite en + de p(x)= limite en +de p(x)= limite en + de xde x 2424
les polynômes de degrles polynômes de degr

ééinfinf

éérieur ou rieur ou

éégal gal

àànnsont des sont des

fonctions dont la fonctions dont la ddéérivriv

ééee((nn+1)i+1)i

èème est nulle.me est nulle.

pp(25)(25) (x)=0(x)=0 Un aspect important en calcul numUn aspect important en calcul num

éérique est la rique est la

possibilitpossibilit ééd"d"éétudier les fonctions compliqutudier les fonctions compliqu

éées au moyen es au moyen

d"approximations par des polynômes. d"approximations par des polynômes. Quelques limites classiquesQuelques limites classiques

Quand xQuand x

ln(x)/x ln(x)/x 00 eexx/x/x ""La fonction exp lLa fonction exp l ""emporte sur puissance emporte sur puissance qui lqui l ""emporteemporte sur sur logarithmelogarithme en en

Quand xQuand x

00 x ln(x)x ln(x) 0 0 ln(x+1)/xln(x+1)/x 11

Fonctions trigonomFonctions trigonom

éétriquestriques

Cosinus, sinus et tangente dans le Cosinus, sinus et tangente dans le triangle rectangletriangle rectangle ▪▪cos(cos( ÂÂ) = longueur de côt) = longueur de côt

ééadjacent / longueur adjacent / longueur

de l"hypotde l"hypot

éénuse = nuse =

aa//hh.. ▪▪sin(sin( ÂÂ) = longueur du côt) = longueur du côt

ééopposoppos

éé/ longueur / longueur

de l"hypotde l"hypot

éénuse = nuse =

oo//hh. . ▪▪tan(tan( ÂÂ) = longueur du côt) = longueur du côt

ééopposoppos

éé/ longueur / longueur

du côtdu côt

ééadjacent = adjacent =

oo//aa. . oh a Sinus et cosinus : valeurs Sinus et cosinus : valeurs remarquablesremarquables Non defini⎷311/⎷30tan0

1/2⎷2/2⎷3/21cos1

Sinus et cosinus : formules Sinus et cosinus : formules fondamentalesfondamentales

Formules de trigonomFormules de trigonom

éétrietrie

sinsin

²²(x)+cos(x)+cos

²²(x)=1(x)=1

sin(asin(a

±±b)=sin(a)cos(b) b)=sin(a)cos(b)

±±sin(b)cos(a)sin(b)cos(a)

coscos --/+sin(a)sin(b)/+sin(a)sin(b)

Formules dFormules d

""Euler et de MoivreEuler et de Moivre cos(a)=(ecos(a)=(e iaia+e+e --iaia)/2)/2 sin(a)=(esin(a)=(e iaia--ee--iaia)/(2i))/(2i) (e(e ixix))bb=cos(bx)+i sin(bx)=cos(bx)+i sin(bx)

SinusSinus

PropriPropri

ééttéés : Rs : R

--1;1] 1;1]

PPéériode 2riode 2

impaireimpairesin(0)=0sin(0)=0sinsin ""(x)=cos(x)(x)=cos(x)

Limite x Limite x

00 sin(x)/x sin(x)/x 11

Pas de limite en Pas de limite en

CosinusCosinus

PropriPropri

ééttéés : Rs : R

-->[>[--1;1]1;1]

PPéériode 2riode 2

PairePairecos(0)=1cos(0)=1coscos

""(x)=(x)= --sin(x)sin(x)

Limite x Limite x

00 (cos(x)(cos(x) --1)/x 1)/x 00

Pas de limite en lPas de limite en l

""infiniinfini

TangenteTangente

PropriPropri

ééttéés :s :

PPéériode riode

impaireimpairetantan ""(x)=1+tan(x)=1+tan

²²(x)=1/(x)=1/

coscosquotesdbs_dbs9.pdfusesText_15