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1 - Exercices : 12 - Conduction - Convection - RayonnementSciences Physiques MP* 2022-2023

Exercices : 12 - Conduction - Convection - Rayonnement

A. R´egime stationnaire

1.Temp´erature d"interface et r´egime stationnaire

On met en contact, suivant leur surface commune, d"aireS, deux conducteurs thermiques limit´es par des plans

parall`eles. En r´egime stationnaire, l"ensemble des deux conducteurs, de mˆeme ´epaisseure, se comporte comme

un syst`eme dont l"´etat ne d´epend que de la seule coordonn´ee spatialezle long de l"axe perpendiculaire `a leur

plan. En outre, les temp´eratures des faces des deux conducteurs qui ne sont pas en contact sont maintenues

aux valeursT1= 293K etT2= 373K respectivement. On d´esigne parλ1etλ2les conductivit´es thermiques des

deux corps.

1. Quelle est l"expression de la r´esistance thermique de chaque conducteur en fonction dee,Set de sa

conductivit´e thermique? En d´eduire la r´esistance thermiqueRthde l"ensemble des deux conducteurs

plac´es en s´erie.

2. En s"appuyant sur l"analogie avec la loi d"Ohm, montrer que la temp´eratureTi`a l"interface est telle que :

i-T1=α(T2-T1) o`uαest une quantit´e que l"on exprimera en fonction des r´esistances thermiques

R th1etRth2des deux conducteurs. En d´eduireTien fonction deT1,T2,λ1etλ2.

3. Application : CalculerTipour un conducteur organique comme le corps humain, (λ1= 0,5W·m-1·K-1)

en contact avec du bois (λ2= 0,2W·m-1·K-1) puis en contact avec du cuivre (λ2= 390W·m-1·K-1).

2.R´esistance thermique cylindrique, sph´erique

On consid`ere un manchon cylindrique de conductivit´eλ, de hauteurH, de rayon int´erieurr1et de rayon ext´erieur

2. La paroi int´erieure est port´ee `a la temp´eratureT1et la paroi ext´erieure `aT2> T1. Le r´egime permanent

ind´ependant du temps est ´etabli.

1. Repr´esenter les lignes de densit´e de courant de transfert thermique. R´efl´echir aux invariances et aux

sym´etries.

2. En d´eduire la forme de d´ependance en fonction derdu vecteur densit´e de courant de transfert thermique

et de la temp´eratureT(r).

3. Calculer la r´esistance thermique ´equivalente de ce manchon.

4. Reprendre la mˆeme ´etude pour une coquille sph´erique.

3.Ailettes de refroidissement

Pour ´eviter l"´echauffement d"un appareil dˆu `a l"effet Joule, on munit son boˆıtier d"ailettes de refroidissement

m´etalliques. Chaque ailette est parall´el´epip´edique, de dimensionsa= 2,0mm (´epaisseur),b= 10cm (largeur)

etc= 20cm (longueur). On pourra admettre queaest n´egligeable devantb. En fonctionnement, le boˆıtier

de l"appareilMsera maintenu `a la temp´eratureTM= 60◦C. L"air ext´erieur, qui circule, est de temp´erature

constante et uniformeTA= 20◦C, sauf au voisinage imm´ediat de l"ailette, entour´ee d"une couche limite d"air

thermiquement peu conductrice dont la temp´erature reste localement voisine de celle de la surface de l"ailette.

Dans l"ailette, on admettra que le transfert thermique, de type conductif, est monodimensionnel dans la direction

de l"axeOx. Il ob´eit `a la loi de Fourier, la conductivit´e thermique ´etantλ= 16W·m-1·K-1. On noteT(x)

la temp´erature de l"ailette `a l"abscissex. Il existe aussi un transfert thermique de l"ailette vers l"air ambiant, `a

travers la couche limite. Le flux thermique au niveau d"une surfacedSde l"´el´ement de l"ailette de longueurdx

est de la forme : dP=h(T(x)-TA)dS o`uh= 150SIest un coefficient uniforme et constant.

1. Expliquer la loi deFourieret donner l"unit´e du coefficienthdans le syst`eme international.

´Ecrire le bilan des transferts d"´energie pour la tranche d"ailette comprise entre les abscissesxetx+dx,

en r´egime permanent. On posera :L=? λa

2het on donnera la valeur num´erique deLainsi que son unit´e.

En d´eduire l"´equation diff´erentielle dontT(x) est la solution.

3. R´esoudre cette ´equation diff´erentielle pour d´eterminer l"expression deT(x). On v´erifiera queL?cet

on pourra consid´ererccomme infini pour simplifier.

4. Donner l"expression de la puissance thermiquedPsortant de la surface lat´eraledSde la tranche d"ailette

comprise entre les abscissesxetx+dx. En d´eduire l"expression de la puissance thermique totaleP ´evacu´ee par l"ailette, faire l"application num´erique.

5. Exprimer et calculer la puissance thermique transmise du boˆıtier de l"appareilM`a l"ailette enx= 0.

Conclure.

JR SeigneClemenceauNantes

Sciences Physiques MP* 2022-2023Exercices : 12 - Conduction - Convection - Rayonnement - 2

6. Combien faudrait-il fixer d"ailettes sur le boˆıtier pour ´evacuer un flux thermique total de 0,9kW? La taille

de chaque ailette peut-elle ˆetre r´eduite sans changer notablement l"ensemble des r´esultats pr´ec´edents? Si

oui, expliquer comment et pourquoi.

4.G´eothermie

La croˆute continentale terrestre a une ´epaisseurld"environ 35km; elle est ´equivalente `a une couche homog`ene

de conductivit´eλ= 23W·m-1·K-1. Au niveau du sol, la temp´erature estT2= 273K, et `a la profondeurl,

elle vautT1= 873K.

1. Calculer la puissance g´eothermique par unit´e de surfaceJthissue de la croˆute continentale.

2. Les ´el´ements radioactifs de la croˆute dissipent une puissance volumiqueσu= 3×10-3W·m-3. D´eterminer

l"´equation diff´erentielle satisfaite par la temp´erature de la croˆute.

3. En d´eduire la puissance g´eothermique par unit´e de surface,J?th, au niveau du sol, quand on tient compte

des ´el´ements radioactifs. Conclure.

5.Conduction thermique, cr´eation d"entropie

Une barre en fer, cylindrique, de section circulaireAuniforme (diam`etreD= 1,5cm), de longueurL= 1,3m,

a une extr´emit´e `a l"int´erieur d"un four, `a la temp´eratureTf= 494K maintenue constante. L"autre extr´emit´e

est en contact avec le milieu ambiant qui se comporte comme un thermostat `a la temp´eratureTa= 300K.

La surface lat´erale est calorifug´ee de telle sorte que l"on peut n´egliger les d´eperditions lat´erales. On ´etudie la

diffusion thermique le long de la barre. On d´esigne parλla conductivit´e thermique du fer :λ= 16W·m-1·K-1.

La diffusion thermique est stationnaire.

1. Calculer, en s"aidant de l"expression de la r´esistance ´electrique d"un conducteur ohmique de mˆeme g´eo-

m´etrie, la r´esistance thermiqueRude la barre; pr´eciser son unit´eSI. 2.

´Ecrire le bilan entropique pour un ´el´ement de barre, de longueur ´el´ementairedx, pendant la dur´ee

´el´ementairedt.

3. Trouver l"expression de l"entropie re¸cue (alg´ebriquement) parcet ´el´ement. en fonction dedt,A,dx,λ,

T(x) (temp´erature au point d"abscissex) et de sa d´eriv´eedT/dx. L"axeOxest orient´e de l"extr´emit´eO

dans le four vers l"extr´emit´e en contact avec le milieu ambiant.

4. En d´eduire l"expression du taux de production d"entropieσSdans la barre, par unit´e de temps et par

unit´e de volume. Quelle serait la production d"entropie pour un tel syst`eme `a l"´equilibre? Sachant que le

gradient de temp´erature le long de la barre est uniforme, calculer laproduction d"entropie aux extr´emit´es.

Application num´erique.

6.Hom´eothermie

Une sph`ere de rayonaest maintenue en permanence `a la temp´eratureT1, dans un milieu fluide qui, `a grande

distance de la sph`ere, est `a la temp´eratureT0< T1. La conductivit´e thermique du fluide est not´eeλ.

On n´eglige toute discontinuit´e de temp´erature (transfert pari´etal parfait) `a la surface de la sph`ere.

Le probl`eme est ´etudi´e en r´egime permanent.

1. Expliciter la puissancePthermique produite par la sph`ere.

2. On donneT1= 310K,T0= 280K eta= 25cm (mod´elisation d"un animal hom´eotherme avec un

rapport surface/volume comparable `a celui d"un ˆetre humain). CalculerPsi le fluide est de l"air (λ=

2,6×10-2W·m-1·K-1).

3. L"hom´eothermie est-elle plus ais´ee pour un petit animal ou pour un gros?

7.Transferts entropiques

Dans un milieu conducteur thermique de conductivit´eλ, on pose?jS=-λ--→gradlnT

T0o`uT0est une constante

positive quelconque. On note aussisl"entropie massique etρla masse volumique du milieu ´etudi´e.

Enfin, l"irr´eversibilit´e des transferts thermiques impose la cr´eation d"une entropie par unit´e de temps et de

volume de mat´eriau sc.

1. Relier

?jS,ρ,set sc.

2. On consid`ere une transformation isobare et on notecpla capacit´e thermique massique correspondante.ρ

etcpsont suppos´es constants. On ´etudie une situation unidimensionnelle en r´egime permanent. Exprimer

sc, examiner son signe et conclure.

JR SeigneClemenceauNantes

3 - Exercices : 12 - Conduction - Convection - RayonnementSciences Physiques MP* 2022-2023

8.Effet Joule et effet Thomson

SirWilliam Thomson (Lord Kelvin)d´ecouvre en????l"effet maintenant appel´eJoule-Kelvinou effet

Thomson. Il r´esulte du passage d"un courant´electrique dans un conducteur o`u r`egne un gradient de temp´erature.

La puissanceThomsonabsorb´ee - comme dans un puits o`u de l"´energie se perdrait - lorsdu passage d"un courant

d"intensit´eIdans un tron¸con de fil dont les extr´emit´es sont port´ees `a des temp´eratures diff´erant de dTs"´ecrit

dPT=hIdT. Le coefficienths"exprime en V·K-1. Il est appel´e coefficient deThomsondu conducteur. Cet

effet d´epend du sens du passage du courant. On convient de compterh >0 si le passage d"un courant dans le

sens des temp´eratures croissantes s"accompagne d"une absorption d"´energie. C"est le cas du cuivre.

1. On n´eglige dans un premier temps l"effetThomsonpour se consacrer `a l"´etude de l"effetJoule. Une

barre conductrice en cuivre calorifug´ee de longueurL, de sectionS, de conductivit´e ´electriqueγet de

conductivit´e thermiqueλ, est parcourue par un courant d"intensit´eIuniform´ement r´eparti. Les temp´e-

ratures impos´ees aux extr´emit´es sontT1enx= 0 etT2enx=L. La masse volumique du cuivre estμ, sa

capacit´e thermique massique estc. La temp´eratureT(x,t) est identique en tout point d"abscissex. Quelle

est la puissanceJoulefournie `a la barre entre les sectionsxetx+ dx? R´ealiser un bilan ´energ´etique

pour une section comprise entrexetx+ dx. Trouver l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee parT(x,t).

2. On consid`ere le r´egime permanentT(x). Montrer que l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee parT(x) est :

d 2T dx2=-KI2. CalculerKpour la barre de cuivre avecλ= 400W·m-1·K-1,γ= 6×107S·m-1et S= 2mm2. D´eterminerT(x).`A quelle condition la fonctionT(x) passe-t-elle par un maximum entre x= 0 etx=L? On suppose queT2-T1= 100K. D´eterminer la valeur minimaleI1que doit poss´eder

l"intensit´eIpour qu"un maximum de temp´erature existe entre les extr´emit´esdu fil. La longueur est

L= 1m.

3. On prend en compte maintenant l"effetThomsonet on se place en r´egime permanent dans la situation

o`u le courantIet les temp´eraturesT1etT2satisfont les conditionsI < I1etT2> T1. Le courant

Icircule dans le sens des temp´eratures croissantes. Trouver l"´equation diff´erentielle `a laquelle ob´eit

la distribution de temp´eratureT(x). Pour quelle valeurI2de l"intensit´eIobtient-on un gradient de

temp´erature uniforme dT dx=T2-T1L= Cte? Pour le cuivreh= 2,2×10-6V·K-1. CalculerI2en utilisant les donn´ees pr´ec´edentes.

9.Am´elioration de la conductivit´e thermique d"un liquide

On rappelle l"expression, pour une grandeur scalaireF(r,θ,?) exprim´ee en coordonn´ees sph´eriques, du laplacien :

ΔF=1

r2∂∂r? r

2∂F∂r?

+1r2sinθ∂∂θ? sinθ∂F∂θ? +1r2sin2θ∂

2F∂?2

1. Un milieu conducteur thermique de conductivit´eλest ´etudi´e en r´egime permanent. On ´etudie un cylindre

de centreO, d"axeOz, de hauteurL, de surface de base circulaire de rayonL/2, enti`erement empli

de ce mat´eriau (cf. fig. 1 `a gauche); les surfaces de base du cylindre sont port´ees aux temp´eratures

T(z=-L/2) =T1etT(z= +L/2) =T2.

??z L L 2 ?z Figure1 - Am´elioration de la conductance thermique

D´eterminer dans ce milieu la temp´eratureT(z). Calculer en particulier le flux thermique Φ `a travers le

cylindre ´etudi´e. On n´egligera tout effet de bord.

2. Dans le milieu pr´ec´edent, on dispose dans le planz= 0 une sph`ere, de rayona?L, form´ee d"un mat´eriau

de conductivit´e thermiqueλ??λ, de sorte que sa temp´erature soit consid´er´ee comme uniforme´egale `aT

1+T2

2(cf. fig. 1 `a droite). On cherche alors la temp´erature dans le milieuenvironnant, en coordonn´ees

sph´eriques d"axeOz, sous la formeT(r,θ) =T1+T2

2+T2-T1Lcosθf(r).

(a) ´Etablir l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee parf(r).

JR SeigneClemenceauNantes

Sciences Physiques MP* 2022-2023Exercices : 12 - Conduction - Convection - Rayonnement - 4

(b) R´esoudre cette ´equation; on pourra chercher des solutions de la formef(r) =Aru. Montrer que la

solution correspond `a une combinaison lin´eaire des deux formes trouv´ees. On prendra garde `a v´erifier

les conditions aux limites pourr=a?θet pourr=L

2enθ= 0 par exemple sans oublier quea?L.

(c) Exprimer le flux thermique conductif ?jcen tout point ext´erieur `a la sph`ere. (d) Calculer le flux thermique Φ ?`a travers le disque de rayonL/2, situ´e dans le planz= 0. Exprimer Φ? en fonction de Φ,aetL.

3. Un liquide homog`ene de conductivit´e thermiqueλcontient, `a raison denpar unit´e de volume, des

sph`eres de tr`es forte conductivit´e thermique et de rayona. En admettant que ces sph`eres soient bien

dispers´ees dans le milieu liquide, montrer que la conductivit´e thermique du milieu semble am´elior´ee par

l"introduction de ces sph`eres; calculer la conductivit´e thermique ´equivalenteλeen fonction deλ,neta.

10.An´emom`etre `a fil chaud

L"an´emom´etrie `a fil chaud est une technique exp´erimentale permettant de mesurer la vitesse d"un fluide. Son

principe est le suivant : on fait parcourir un courant ´electrique dans un fil ´electrique pour le maintenir chaud. Le

fluide qui s"´ecoule autour du fil a tendance `a le refroidir et donc `a faire chuter sa r´esistance´electrique. Une mesure

de cette derni`ere, apr`es calibration, permet de calculer la vitesse du fluide. Ici, on consid`ere un fil m´etallique

conducteur cylindrique de rayonR0= 10μm. Il est parcouru par une intensit´eI= 1A. La r´esistivit´e ´electrique

du m´etal estρe= 1,8×10-8Ω·m. Sa conductivit´e thermique estλ= 370W·m-1·K-1. Sa temp´erature en

p´eriph´erie estT0= 300K.

1. D´eterminer le profil de temp´erature `a l"int´erieur du fil.

2. O`u se trouve la temp´erature maximale dans le fil? D´eterminer num´eriquementTmax-T0. Conclure.

11.Exoplan`ete

Une exoplan`ete, de rayonR= 1000km, situ´ee loin de son ´etoile poss`ede une temp´erature desurfaceTs= 300K

bien sup´erieure `a ce qu"elle devrait ˆetre si elle ne faisait que recevoir le rayonnement de l"´etoile autour de

laquelle elle gravite. On propose d"expliquer sa temp´erature de surface en consid´erant que son coeur est une

boule radioactive de rayona= 10km d´egageant une puissance volumiquep0= 3×10-4W·m-3`a cause

de la d´esint´egration radioactive des noyaux qui la composent. Onconsid`ere que la plan`ete est un milieu de

conductivit´e thermique uniformeλ= 1W·m-1·K-1. On suppose que l"exoplan`ete est `a sym´etrie sph´erique et

que l"on est r´egime ind´ependant du temps. v´erifi´ee par la temp´eratureT(r).

2. En d´eduire la forme de la loiT(r).

3. On ´etudie maintenant la partie non radioactive de l"exoplan`ete. Quelle est l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee

parT(r)? En d´eduire l"expression deT(r).

4. D´eterminer la valeur num´erique de la temp´erature au centre de l"exoplan`ete.

B. R´egime d´ependant du temps

12.Mise en ´equilibre thermique, analogie

On consid`ere la conduction thermique entre deux sph`eres de rayons respectifsR1etR2avecR1< R2. Entre

ces sph`eres l"espace est occup´e par un mat´eriau homog`ene etisotrope de conductivit´e thermiqueλsuppos´ee

constante. Les sph`eres sont port´ees respectivement aux temp´eraturesT1etT2< T1. Le r´egime est suppos´e

stationnaire.

1. Calculer en fonction deR1,R2etλla r´esistance thermiqueRthentre les deux sph`eres.

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A. R´egime stationnaire

1.Temp´erature d"interface et r´egime stationnaire

1. Quelle est l"expression de la r´esistance thermique de chaque conducteur en fonction dee,Set de sa

2. En s"appuyant sur l"analogie avec la loi d"Ohm, montrer que la temp´eratureTi`a l"interface est telle que :

3. Application : CalculerTipour un conducteur organique comme le corps humain, (λ1= 0,5W·m-1·K-1)

2.R´esistance thermique cylindrique, sph´erique

2. La paroi int´erieure est port´ee `a la temp´eratureT1et la paroi ext´erieure `aT2> T1. Le r´egime permanent

1. Repr´esenter les lignes de densit´e de courant de transfert thermique. R´efl´echir aux invariances et aux

2. En d´eduire la forme de d´ependance en fonction derdu vecteur densit´e de courant de transfert thermique

3. Calculer la r´esistance thermique ´equivalente de ce manchon.

4. Reprendre la mˆeme ´etude pour une coquille sph´erique.

3.Ailettes de refroidissement

1. Expliquer la loi deFourieret donner l"unit´e du coefficienthdans le syst`eme international.

2het on donnera la valeur num´erique deLainsi que son unit´e.

3. R´esoudre cette ´equation diff´erentielle pour d´eterminer l"expression deT(x). On v´erifiera queL?cet

4. Donner l"expression de la puissance thermiquedPsortant de la surface lat´eraledSde la tranche d"ailette

5. Exprimer et calculer la puissance thermique transmise du boˆıtier de l"appareilM`a l"ailette enx= 0.

Conclure.

JR SeigneClemenceauNantes

6. Combien faudrait-il fixer d"ailettes sur le boˆıtier pour ´evacuer un flux thermique total de 0,9kW? La taille

4.G´eothermie

1. Calculer la puissance g´eothermique par unit´e de surfaceJthissue de la croˆute continentale.

2. Les ´el´ements radioactifs de la croˆute dissipent une puissance volumiqueσu= 3×10-3W·m-3. D´eterminer

3. En d´eduire la puissance g´eothermique par unit´e de surface,J?th, au niveau du sol, quand on tient compte

5.Conduction thermique, cr´eation d"entropie

La diffusion thermique est stationnaire.

1. Calculer, en s"aidant de l"expression de la r´esistance ´electrique d"un conducteur ohmique de mˆeme g´eo-

´el´ementairedt.

3. Trouver l"expression de l"entropie re¸cue (alg´ebriquement) parcet ´el´ement. en fonction dedt,A,dx,λ,

4. En d´eduire l"expression du taux de production d"entropieσSdans la barre, par unit´e de temps et par

Application num´erique.

6.Hom´eothermie

1. Expliciter la puissancePthermique produite par la sph`ere.

2. On donneT1= 310K,T0= 280K eta= 25cm (mod´elisation d"un animal hom´eotherme avec un

2,6×10-2W·m-1·K-1).

3. L"hom´eothermie est-elle plus ais´ee pour un petit animal ou pour un gros?

7.Transferts entropiques

T0o`uT0est une constante

1. Relier

2. On consid`ere une transformation isobare et on notecpla capacit´e thermique massique correspondante.ρ

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8.Effet Joule et effet Thomson

1. On n´eglige dans un premier temps l"effetThomsonpour se consacrer `a l"´etude de l"effetJoule. Une

2. On consid`ere le r´egime permanentT(x). Montrer que l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee parT(x) est :

L= 1m.

3. On prend en compte maintenant l"effetThomsonet on se place en r´egime permanent dans la situation

9.Am´elioration de la conductivit´e thermique d"un liquide

ΔF=1

2∂F∂r?

2F∂?2

1. Un milieu conducteur thermique de conductivit´eλest ´etudi´e en r´egime permanent. On ´etudie un cylindre

T(z=-L/2) =T1etT(z= +L/2) =T2.

2. Dans le milieu pr´ec´edent, on dispose dans le planz= 0 une sph`ere, de rayona?L, form´ee d"un mat´eriau

2(cf. fig. 1 `a droite). On cherche alors la temp´erature dans le milieuenvironnant, en coordonn´ees

2+T2-T1Lcosθf(r).

JR SeigneClemenceauNantes

2enθ= 0 par exemple sans oublier quea?L.

3. Un liquide homog`ene de conductivit´e thermiqueλcontient, `a raison denpar unit´e de volume, des

10.An´emom`etre `a fil chaud

1. D´eterminer le profil de temp´erature `a l"int´erieur du fil.

2. O`u se trouve la temp´erature maximale dans le fil? D´eterminer num´eriquementTmax-T0. Conclure.

11.Exoplan`ete

2. En d´eduire la forme de la loiT(r).

3. On ´etudie maintenant la partie non radioactive de l"exoplan`ete. Quelle est l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee

4. D´eterminer la valeur num´erique de la temp´erature au centre de l"exoplan`ete.

B. R´egime d´ependant du temps

12.Mise en ´equilibre thermique, analogie

1. Calculer en fonction deR1,R2etλla r´esistance thermiqueRthentre les deux sph`eres.