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Université Paris-Sud - Université Paris-Saclay

M1 Mathématiques Appliquées

Collection d"exercices

Calcul des variations, discrétisation,algorithmes de gradient et projections

Vous trouvez ici 25 exercices tirés des examens d"Optimisation numérique de 2011/2015. Ils sont

présentés en vrac, sans ordre thématique ni de difficulté. Seuls les exercices relatifs aux sujets

abordés à Orsay en novembre-décembre 2015 ont été retenus. Exercice 1.Considérer les problèmes de calcul des variations suivants (P1) min ?1 0? 12 |u?(t)|2+etu(t)? dt:u?C1([0,1]), u(0) = 0,u(1) = 1? (P2) min ?1 0? 12 |u?(t)|2+etu(t)? dt:u?C1([0,1]), u(0) = 0? (P3) min ?1 0? 12 |u?(t)|2+etu(t)? dt:u?C1([0,1])? (P4) min ?1 0? 12 |u?(t)|2+et|u(t)|2? dt:u?C1([0,1]), u(0) = 0,u(1) = 1? (P5) min ?1 0? 12 |u?(t)|2+et|u(t)|2? dt:u?C1([0,1]), u(0) = 0? 1. T rouverla solu tionde (P1), sans oublier de justifier qu"il s"agit bien d"un minimiseur. 2. T rouverla solu tionde (P2), sans oublier de justifier qu"il s"agit bien d"un minimiseur. 3.

Prouv erque (P3) n"admet pas de solution.

4.

Écrire l"Équation d"Euler-Lagrange de (P4). Sac hantqu"elle n"est pas éviden teà résoudre expli-

citement, proposer une discrétisation du problème et un algorithme pour approcher la solution. 5.

T rouverla solu tionde (P5).

Exercice 2.Considérer les ensembles

1.

Dessiner A,BetA∩B.AetBsont-ils convexes?

2. Démon trerque l"in tersectionde de uxensem blescon vexesest toujours con vexe. 3. Écrire une form ulep ourla pro jectionsur A∩B, du typePA∩B(x,y) =..., en distinguant éventuellement des cas (il suffit de la justifier avec un dessin). 4. Lesquelles des relations suiv antesson t-ellesvraies ? P A∩B=PA◦PB, PA◦PB=PB◦PA, PA∩B=PA∩B◦PB.

Exercice 3.Résoudre le problème

min{J(f) :=? 1 0? 12 f?(t)2+tf(t) +12 f(t)2? dt;f? A},oùA:={f?C1([0,1]) :f(0) = 0}. Indiquer la valeur minimale deJsurAainsi que la ou les fonctionsfla réalisant, en prouvant qu"il

s"agit bien d"un minimiseur (si besoin, considérery(t) =x(t) +tpour résoudre l"équation d"Euler-

Lagrange).

Exercice 4.Considérer le problème

min{J(f) :=? 1 0? 12 f?(t)2+tf(t) +12 tf(t)2? dt;f? A},oùA:={f?C1([0,1]) :f(0) = 0},

qui est en fait un peu plus difficile à résoudre explicitement que le précédent. Suggérer une discrétisation

et une méthode numérique pour le résoudre de manière approchée. Écrire précisément la fonction qu"on

veut minimiser dans la discrétisation (avec les matrices et/ou les vecteurs qui apparaissent dans cette

fonction) et expliquer la méthode que vous choisissez d"utiliser. Exercice 5.SoitK?R2le polyhèdre convexe donné par

Trouver les sommets deKet écrire une formule (en distinguant éventuellement plusieurs cas) pour la

projectionPKsurK. Exercice 6.Considérer le problème de minimisation min ?1 0? u?(t)2+ 2etu(t)? dt+ 4u(1)2:u?C1([0,1]), u(0) = 1?

Écrire l"équation d"Euler-Lagrange, trouver ses conditions au bord, et la résoudre. Ne pas oublier de

justifier pourquoi la solution de l"équation est bien un minimiseur. Exercice 7.Pourn?N?eth= 1/n, considérer le problème de minimisation min n-1? i=0(xi+1-xi)22h+ih2xi+1:x= (x1,x2,...,xn)?Rn? où l"on considèrex0= 0. 1. Prouv erque la solution de ce problème d"op timisationexiste et est unique. 2.

Suggérer un ou plusieurs algorithmes qu ila trouv entou l"appro che,en justifian tla con vergence.

3.

Écrire le problème de calcul des v ariationscon tinu(où l"on c hercheune courb ex(t),t?[0,1])

qui correspond à ce problème pourn→ ∞eth→0et écrire l"équation d"Euler Lagrange qui

caractérise la solution, avec ses conditions au bord.

Exercice 8.Trouver l"expression (en distinguant éventuellement plusieurs cas) pour la projectionPK

Exercice 9.Résoudre

min? ?1 -1e-t?u?(t)22 +u(t)? dt:u?C1([-1,1]), u(1) = 1?

Dès qu"un candidat à la minimisationu?sera trouvé, il ne faudra pas oublier de justifier pourquoi il

est bien un minimiseur. Exercice 10.Cet exercice se compose de deux parties 1. Soit Aune matrice symétriquen×netb?Rnun vecteur donné. Proposer un algorithme pour résoudre le problème de minimisation min ?12

AX·x-b·x:x?K?

Donner explicitement les formules pour calculer les cordonnéesxk+1idu(k+ 1)-ème point connaissant lek-ème. 2.

Considérer le problème sde minimisation

min ?1 -1e-t?u?(t)22 +u(t)?

Suggérer une discrétisation et une méthode numérique pour approcher la résolution de ces

problèmes. Donner les détails des étapes de l"algorithme choisi étape par étape, en utilisant

éventuellement les notations et les procédés introduits pour répondre à la première question.

Exercice 11.Considérer l"ensembleA=B(a,2)∩B(b,2)∩B(c,2)?R2, oùa= (0,0),b= (1,⎷3)

etc= (-1,⎷3). 1.

Prouv erque Aest compact et convexe.

2. Donner une expression p ourla pro jectionsur le con vexeA, et dessiner comment cette projection agit sur les différents points du plan. Exercice 12.Considérer la fonctionf:Rn→Rdonnée par f(x1,x2,...,xn) := cos? ?ni=1xin +n? i=1x2i. 1. Prouv erque fest elliptique et que?fest Lipschitzien. 2.

T rouverun p ointx?Rnoù?f(x) = 0.

3.

En dédu irela v aleurde min{f(x) :x?Rn}.

4. Suggérer un algorithme p ourrésoudre min{f(x) :x?K}oùK={x?Rn:xi≥π}. 5. Donner les détails de l"algorithme c hoisiet de ses itérations.

Exercice 13.Résoudre

min ?1 0? 12 u?(t)2+u(t)⎷t dt:u?C1([0,1]), u(0) = 0?

Dès qu"un candidatu?à la minimisation sera trouvé, il ne faudra pas oublier de justifier pourquoi il

est bien un minimiseur. Calculer également la valeur du minimum. Exercice 14.Considérer les fonctionsg,h:R3→Rdéfinies par g(x,y,z) = (x-1)2+ey+z2+ez, h(x,y,z) =ex+y+ sin(x+y) ainsi que la fonctionf=g+h. 1. Dire si gest une fonction convexe, écrire sa matrice hessienne, dire si elle est elliptique surR3 et si elle l"est surA= [-1,3]3.

2.Dire si hest une fonction convexe et/ou elliptique surR3et/ou surA.

3. La fonction fest-elle elliptique surA? Son gradient est-il lipschitizien surA? Donner une

estimation, même grossière, de la constanteαd"ellipticité defet de la constanteMde Lipschitz

de?f. 4. Démon trerque fadmet un minimum surB= [0,2]3et que le minimiseur est unique. 5. Suggérer une métho den umériquep ourappro cherle min imiseurd efsurBet justifier sa convergence. 6.

Donner une expression récursiv eprécise de la suite de p ointsparcourus par la métho desuggérée

à la question précédente (sous la formexk+1=...,yk+1=...,zk+1=...).

Exercice 15.Suggérer une discrétisation et une méthode numérique pour approcher la résolution de

min ?1

0et?u?(t)22

+u(t)2+h(t)u(t)? dt:u?C1([0,1]), u(0) = 1?

quelle que soit la fonctionh?C0([0,1]). Justifier la convergence de la méthode choisie et discuter sa

vitesse de convergence. Exercice 16.Étant donné un vecteura?Rnavec||a||= 1et un nombreα?R, considérer les ensembles A

0(a,α) ={x?Rn:x·a=α}etA+(a,α) ={x?Rn:x·a≥α}.

1. Les ensem blesA0(a,α)etA+(a,α)sont-ils convexes? fermés? 2. Donner des form ulesp ourla pro jectionPA0(a,α)surA0et pour la projectionPA+(a,α)surA+. 3. Si aetbsont deux vecteurs unités aveca?=beta?=-bdémontrer que, pour toutα,β?R, on aA0(a,α)∩A0(b,β)?=∅.

4.(plus difficile)en partant d"un pointx0?Rndonné, définir deux suites

y k=PA0(a,α)(xk)etxk+1=PA0(b,β)(yk). Sous l"hypothèsen= 2eta?=±b, démontrer que les deux suites convergent vers le seul point appartenant àA0(a,α)∩A0(b,β).

Exercice 17.Résoudre le problème

min{J(f) :=? 1

0(1 +t)f?(t)2dt;f? A},oùA:={f?C1([0,1]) :f(0) = 1, f(1) = 2}.

Indiquer la valeur minimale deJsurAainsi que la ou les fonctionsfla réalisant, en prouvant qu"il s"agit bien de minimiseurs.

Exercice 18.SoitE?Rnl"ellipsoïdeE=?

x= (x1,...,xn)?Rn:?ni=1?xia i? , où les nombres a i>0sont fixés. Soitx /?E. Démontrer qu"il existe une unique valeur deμ >0telle que n i=1a

2ix2i(a2i+μ)2= 1.

Cette valeur sera notée¯μ.

Soit maintenant¯x=PE(x)la projection surEdex. Justifier que cette projection existe et est unique,

et prouver qu"elle est donnée par

¯xi=aixia

2i+ ¯μ.

Exercice 19.Considérer le problème

min

J(f) :=12

1 0? f?(t)2+f(t)2? dt;f?C1([0,1]) :f(0) =f(1) = 0, f?12 ≥1? 1. Expliquer p ourquoil asolution de ce problème ne satis faitpas l"équation f??=f. 2. Donner une idée de la forme de la solution en dessinan tqualitativ ementson graphe (mon trer si elle est convexe ou concave, si elle estC1, quelles sont ses valeurs en0,12 et1...). 3.

Suggérer un ediscrétisation e tune métho den umériquep ourle résoud rede man ièreappro chée.

Écrire précisément la fonction qu"on veut minimiser dans la discrétisation (avec les matrices

et/ou les vecteurs qui apparaissent dans cette fonction) et expliquer la méthode choisie.

Exercice 20.Résoudre le problème

min{J(f) :=? 0? 12 f?(t)2-sin(t)f(t)? dt;f? A}, où

A:={f?C1([0,π]) :f(0) =f(π) = 0}.

Indiquer la valeur minimale deJsurAainsi que la ou les fonctionsfla réalisant, en prouvant qu"il s"agit bien d"un minimiseur. Exercice 21.SoientB+etB-les boules fermées dansR2de rayon1centrées en(1,0)et(-1,0), respectivement, etQle carré[-1,1]×[-1,1]. SoitK=B+?B-?Q. Dessiner cet ensembleK, qui

est un convexe; écrire une formule pour la projection surK, qu"on appelleraPK. La formule doit être

de la formePK(x,y) =...avec des calculs explicites et, éventuellement, des cas à distinguer. Exercice 22.Considérer la fonctionnelleFsuivante

F(u) :=?

1 0? 12 u?(t)2+ 8|u(t)|3/2? dt et le problème de minimisation min

F(u) :u?C1([0,1]), u(1) = 1?

1.

Écrire l"équation d"Euler-Lagrange corresp ondanteà ce problème de minimisation, a vecles

conditions au bord opportunes.

2.T rouverune solution ¯ude cette équation, en la cherchant de la forme¯u(t) =Atα.

3.

Justifier que ¯uest solution du problème de minimisation, qu"elle est la seule solution du pro-

blème de minimisation et aussi la seule solution de l"équation avec ses conditions au bord. Exercice 23.Considérer la fonctionf:Rn→Rdonnée par f(x) =?1 +|x|2+12 |x-¯x|2, où¯x?Rnest un point donné. 1.

Dire si fest convexe et elliptique.

2.

V érifierles h ypothèsesp ourgaran tirla con vergencede l"algorithme du gradien tà pas constan t

appliqué à la fonctionf. 3. Indiquer les v aleursdu pas τqui garantissent la convergence et quelle est la valeur optimale pour accélérer cette convergence. 4. Écrire explicitemen tla relation qu ip ermetde passer du p ointxkau pointxk+1dans l"algorithme du gradient à pas constant appliqué à la fonctionf.

Exercice 24.Suggérer et décrire une méthode numérique itérative efficace pour résoudre le problème

de projection min||x-a||:x?E oùa= (a1,a2,...,an)?Rnest fixé et

Pour que la réponse soit satisfaisante, il faut expliquer à chaque étape les calculs qu"on doit faire et

comment les faire. Il pourrait éventuellement être utile de reformuler le problème de manière équiva-

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