18 fév 2016 · Résolution du problème variationnel pour la corde élastique de Sobolev et aux formulations variationnelles de problèmes aux limites
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Analyse Numérique des Equations aux
Dérivées Partielles
Partie théorique
Franck Boyer
Master MAPI
3Première année
Université Paul Sabatier - Toulouse 3
18 février 2016
Ces notes sont en construction permanente. Ne pas hésiter à signaler des erreurs ou imprécisions à l"adresse
franck.boyer@math.univ-toulouse.fr iiF. BOYER- VERSION DU18FÉVRIER2016
TABLE DES MATIÈRESiii
Table des matières
I Introduction aux espaces de Sobolev et aux formulations variationnelles de problèmes aux limites
1I Le problème de la corde/membrane élastique à l"équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1I.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1I.2 Les questions mathématiques que l"on veut résoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 I.2.a Simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.2.b Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2I.2.c Caractérisation de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 I.3 Comment montrer l"existence d"un minimiseur? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6II Espaces de Sobolev en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8II.1 L"espaceH1(]a;b[). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
II.2 L"espaceH10(I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
II.3 Résolution du problème variationnel pour la corde élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13III Formulations variationelles de problèmes aux limites linéaires 1D. Théorème de Lax-Milgram . . . . . .
14III.1 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14III.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 III.2.a Problème de Poisson avec conditions de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16III.2.b Ajout d"un terme de réaction linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 III.2.c Problème de convection-diffusion avec conditions de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . 18 III.2.d Conditions aux limites de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19IV Preuve du théorème de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23II Eléments de la théorie des distributions
25I Intégration par parties en dimensiond: le cas des fonctions à support compact . . . . . . . . . . . . . . .25
II Espace des fonctions test. Espace des distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26II.1 Définitions, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27II.2 Convergence au sens des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30III Dérivation au sens des distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32III Espaces de Sobolev et problèmes elliptiques sur un domaine deRd35
I Espaces de Sobolev sur un domaine deRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
II Problèmes aux limites elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38II.1 Problème de Poisson avec conditions de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38II.2 Problème de diffusion-advection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39II.3 Conditions aux limites de Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39A La formule de Stokes41
I Hypersurfaces deRd. Intégrale de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
I.1 Courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41I.2 Intégrales sur des hypersurfaces deRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
II Domaines réguliers deRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
III Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45III.1 Le cas du demi-espaceRd+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
III.2 Le cas du demi-espace à frontière non plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46F. BOYER- VERSION DU18FÉVRIER2016
ivTABLE DES MATIÈRESF. BOYER- VERSION DU18FÉVRIER2016 1Chapitre I
Introduction aux espaces de Sobolev et aux
formulations variationnelles de problèmes aux limitesLe but de ce chapitre est de présenter, à partir d"un exemple simple (et relativement concret), quelques notions de
calcul des variations. Cela nous mènera à la notion de formulationvariationnelled"un problème aux limites (c"est-à-dire
une EDP elliptique + des conditions aux limites). Nous verrons également pourquoi il est naturel, en dimension 1 pour
l"instant, d"introduire de nouveaux espaces fonctionnels adaptés à ce type d"approche.Dans les chapitres ultérieurs nous généraliserons ces concepts pour attaquer des problèmes plus complexes, en parti-
culier en dimension quelconque. I Le problème de la corde/membrane élastique à l"équilibreI.1 Présentation
On considère une membrane élastique qui au repos est représentée par une région compacte
du plan horizontalR2, oùest un ouvertconnexedeR2. On applique une force verticale (petite) notéef(x)en chaque point de la membrane
ce qui a pour effet de la déformer.Pour toutx2
, le point de l"espace physique(x;0)2R3est déplacé en un point deR3noté~u(x) = (x;u(x)), où
uest une fonction dedansRà déterminer représentant le déplacement vertical. On se place dans l"hypothèse de petits
déplacements. De plus, on va considérée la situation dans laquelle la membrane est attachée par son bord à un référentiel
fixe (penser à la peau d"un tambour). Ceci implique que l"on cherchera une fonctionuqui est nulle sur le bord@
Faisons le bilan d"énergie potentielle du système :Le système acqui ertune éner giepotentielle virtuelle qui v autl"opposé du tra vaildes forces e xtérieuresfpar rapport
au déplacementu, c"est-à-dire : E1(u) =Z
f(x)u(x)dx:La présence du signeest naturelle : si la force est orientée vers le bas (f0) alors les zones de forte énergie
potentielle sont les zones les plus hautes (donc pour lesu0grand) (comme pour le champ de gravité par
exemple).P arailleurs le système contient de l"éner giepotentielle élastique du à la déformation de la membrane. On admet
que cette énergie est proportionnelle au changement d"aire de la membrane 1 E2(u) =k(Aire déforméeAire au repos) =k(j~u(
)j j j):Par changement de variable, on trouve
E2(u) =kZ
p1 +jruj21 dx:Dans l"hypothèse des petits déplacements,uest petite ainsi que ses dérivées. Par un développement limité usuel,
on approche alorsE2par l"expression : E2(u) =k2
Zjruj2dx:1. Ceci peut se "démontrer", par exemple, en assimilant la membrane à un réseau de petits ressorts
F. BOYER- VERSION DU18FÉVRIER2016
2Chapitre I. Introduction aux espaces de Sobolev et aux formulations variationnelles de problèmes aux limitesL"énergie potentielle totale du système en fonction du déplacementuest donnée par
E(u) =E1(u) +E2(u) =k2
Z jruj2dxZ fudx:Le principe fondamental de la mécanique Lagrangienne nous dit alors que, sous l"effet du champ de forcesf, la
membrane va se déformer selon un déplacementuqui va minimiser l"énergie potentielle totale (qu"on devrait plutôt
appelerl"actionselon le vocabulairead hocde la mécanique). On s"intéresse donc au problème suivant : trouveru2X
tel queE(u) = infv2XE(v) = infv2X
k2 Z jruj2dxZ fudx ;(I.1) où,a prioriXest l"espace fonctionnel suivant : X=fv:7!R;dérivable; v= 0;sur@
g; constitué de l"ensemble des positionsadmissiblesde la membrane.Remarque I.1Noter que le modèle a été établi sous une condition de petitesse des déplacements qui ne se retrouve pas dans la
formulation présentée ici; dans les applications il peut donc être pertinent de se poser a posteriori la question
de la validité de la solution obtenue après résolution du problème.Nous verrons par la suite que l"espaceXci-dessus n"est pas nécessairement le bon choix pour faire fonctionner les
méthodes mathématiques que nous allons présenter. I.2 Les questions mathématiques que l"on veut résoudre Dans la suite, on va essayer de répondre aux questions suivantes : 1.Le problème (
I.1 ) admet-il une solution? En particulier, est-ce que l"infimum deEsurXest fini? 2.Si une telle solution e xiste,est-elle unique ?
3.Si une telle solution e xiste,est-ce qu"on peut la caractériser au mo yend"une équation "simple" que l"on pourra
éventuellement résoudre?
I.2.a Simplification
A partir de maintenant, et dans toute la suite du chapitre, on va se placer dans le cas plus simple de la dimension1. Le
modèle correspond alors à une corde élastique (et non plus une membrane). Pour simplifier encore, on considère
=]0;1[de sorte que le problème s"écrit de la façon suivante : trouveru: [0;1]7!Rdérivable, nulle enx= 0etx= 1et telle
queE(u) = infv2XE(v);(I.2)
oùX=fv: [0;1]7!R;dérivable et tqv(0) =v(1) = 0get l"énergie s"écrit maintenantE(v) =k2
Z 1 0 jv0(x)j2dxZ 1 0 f(x)v(x)dx: On supposera également quefest, au minimum, une fonction intégrable.I.2.b Unicité
On va commencer par traiter le problème de l"unicité, qui est finalement le problème le plus simple. Cette propriété
découle naturellement de lastricte convexitéde la fonctionnelleE(et de la convexité de l"ensembleX).
Supposons données deux fonctionsu1;u22Xsolutions du problème (I.2). On suppose donc, en particulier, que
l"infimum deEest fini. On notera sa valeur IE= infv2XE(v);
et on a donc, par hypothèseE(u1) =E(u2) =IE.F. BOYER- VERSION DU18FÉVRIER2016
I. Le problème de la corde/membrane élastique à l"équilibre3On pose alorsu=u1+u22 et on calcule l"énergie deu, en utilisant l"identité du parallèlogramme2E(u) =k2
Z 1 0 u01(x) +u02(x)2 2 dxZ 1 0 f(x)u1(x) +u2(x)2 dx k4 Z 1 0 ju01(x)j2dx+k4 Z 1 0 ju02(x)j2dxk2 Z 1 0 u01(x)u02(x)2 2 dx 12 Z 1 0 f(x)u1(x)dx12 Z 1 0 f(x)u2(x)dx 12E(u1) +12
E(u2)k2
Z 1 0 u01(x)u02(x)2 2 dx: Or, par hypothèse,u1etu2sont solutions du problème (I.2) et donc, on a finalementE(u) =IEk2
Z 1 0 u01(x)u02(x)2 2 dx: Comme par ailleurs, par définition de l"infimum (et commeu=u1+u222X), on aE(u)IE, on déduit que l"on a
nécessairement k2 Z 1 0 u01(x)u02(x)2 2 dx= 0: La fonction sous l"intégrale étant positive, on obtient immédiatement que8x2[0;1];u01(x) =u02(x):
Ceci implique queu1u2est une fonction constante, mais commeu1(0) =u2(0) = 0(par définition des conditions au
bord dansX), on a finalement montré8x2[0;1]; u1(x) =u2(x);
ce qui montre bien l"unicité d"uneéventuellesolution de (I.2).I.2.c Caractérisation de la solution
On continue à supposer dans ce paragraphe que la solutionu2Xdu problème (I.2) existe. On va montrer que, sous
de bonnes hypothèses, on peut la caractériser par une équation aux dérivées partielles (ici en 1D donc avec une seule
variable).La méthode ci-dessous est standard en optimisation et calcul des variations. Il s"agit d"établir les équationsd"Euler-
Lagrangeassociées au problème de minimisation (I.2).La preuve de ce résultat n"est finalement rien d"autre que la traduction en dimension infinie (dimX=1) du résultat
élémentaire suivant :
Lemme I.2Soit':R7!Rune fonction dérivable. On suppose qu"il existet2Rtel que '(t) = inft2R'(t);(I.3) alors on a0(t) = 0:Il ne semble pas inutile de rappeler la démonstration de ce lemme pour comprendre comment intervient l"hypothèse.
Preuve :
D"après (
I.3 ), pour touth >0(le signe dehjoue ici un rôle crucial!), on a '(t+h)'(t):Commeh >0, on en déduit'(t+h)'(t)h
0:On passe maintenant à la limite quandh!0+dans cette inégalité, ce qui donne par définition du nombre dérivé
0(t)0:2. Rappel : dans un Hilbert H, pour tousa;b2Hon aka+b2
k2+kab2 k2=kak22 +kbk22F. BOYER- VERSION DU18FÉVRIER2016
4Chapitre I. Introduction aux espaces de Sobolev et aux formulations variationnelles de problèmes aux limitesSi maintenant on reprend ce calcul avech <0, on a
'(t+h)'(t); et ainsi (commeh <0!) il vient '(t+h)'(t)h 0:En passant à la limite quandh!0, on trouve
0(t)0;
ce qui donne le résultat.Revenons à notre problème de corde élastique. Supposons donc qu"une solutionude (I.2) existe. On se donne unv
quelconquedansX, de sorte que, pour toutt2R, on au+tv2X(carXest un espace vectoriel!). Ainsi, par définition
de l"infimum, on a8t2R;E(u+tv)E(u);
ce qui montre que la fonction'v:R7!Rdéfinie par'v(t) =E(u+tv)admet un minimum ent= 0. Par ailleurs,
cette fonction est dérivable (on va même voir ci-dessous que c"est un polynôme de degré2dans la variablet). D"après le
lemme précédent, on en déduit que nécessairement'0v(0) = 0. Il reste à calculer'0v(0). Pour cela, on écrit'vsous la forme suivante v(t) =E(u) +t kZ 1 0 u0(x)v0(x)dxZ 1 0 f(x)v(x)dx +t22 kZ 1 0 jv0(x)j2dx;(I.4) et donc, la relation'0v(0) = 0devient k Z 1 0 u0(x)v0(x)dx=Z 1 0 f(x)v(x)dx:Comme ceci est vrai pour toute fonctionv2X, on a donc démontré que la solution, si elle existe, du problème (I.2)
vérifie les équations d"Euler-Lagrange suivantes :8v2X; kZ
1 0 u0(x)v0(x)dx=Z 1 0 f(x)v(x)dx:(I.5)Ce résultat est très général.
En revenant à (
I.4), on observe quedans cet exemple particulierla réciproque est vraie : siu2Xvérifie (I.5), alors
uest solution du problème (I.2). ATTENTION : ceci est faux en général car on sait bien que la réciproque du lemmeI.2
n"est pas vraie : si'0(t) = 0,tn"est pas nécessairement un extremum local de'. Au bilan, on a donc montré le résultat suivantProposition I.3Une fonctionu2Xvérifie(I.5)si et seulementuest solution du problème(I.2).Jusqu"à présent nous n"avons eu besoin d"aucune hypothèse particulière sur la solutionude notre problème. Si on
admet que celle-ci est un peu plus régulière que simplement dérivable, alors on peut aller plus loin dans l"analyse.
Théorème I.4On suppose que le problème(I.2)admet une solutionu2X.Si on suppose, de plus, que cette solution vérifieu2 C2([0;1])et quef2 C0([0;1]), alorsuvérifie le problème
de Poisson avec condition de Dirichlet suivant : (k@2xu=f;dans]0;1[; u(0) =u(1) = 0:(I.6)La réciproque est également vraie.On retrouve donc bien le problème de Poisson (en dimension1bien sûr). Démontrons ce théorème.
Preuve :
Pour montrer la réciproque, il suffit de multiplier l"équation dans ( I.6 ) par la fonction testvet d"intégrer par parties. Les termes de bord sont bien nuls carvest nulle au bord.F. BOYER- VERSION DU18FÉVRIER2016
I. Le problème de la corde/membrane élastique à l"équilibre5Pour le sens direct, il s"agit, dans un premier temps, également d"une simple intégration par parties. Pour toutv2X,
commeuest de classeC2, on peut en effet intégrer par parties l"équation (I.5) et obtenir Z 1 0 (k@2xu(x) +f(x))v(x)dx[k(@xu)v]10= 0:On ne sait rien de la valeur de@xuenx= 0etx= 1, par contre on av(0) =v(1) = 0, ce qui montre que le dernier
terme de cette formule est nul.Si on poseG(x) =k@2xu(x) +f(x), on a donc obtenu
8v2X;Z
1 0G(x)v(x)dx= 0:
On voudrait déduire de cela que la fonctionGest identiquement nulle, ce qui montrera bien (I.6). Il faut tout d"abord
remarquer que l"on ne peut pas simplement prendrev=Gdans la formule car la fonctionGn"est pas dans l"espaceX
(on ne sait pas, a priori, queG(0) =G(1) = 0). Il faut donc raisonner autrement en utilisant le lemme qui suit.Ce lemme étant crucial dans tout le cours, nous le démontrons en dimension quelconque.
Lemme I.5Soit
Rdun ouvert non vide etf2L1(
)telle que Z f'dx= 0;8'2 C1c( );(I.7) alorsf= 0.Preuve (du LemmeI.5 ): On va se contenter de le prouver dans le cas oùf2L2( )car la preuve est un peu plus simple.On utilise la propriété suivante (voir le cours d"intégration, ou d"analyse fonctionnelle) :
L"ensemble des fonctionsC1à support compact dans est dense dansL2( Commef2L2, cela signifie qu"il existe une suite('n)nd"éléments deC1ctelle quek'nfkL2!0.On a alors
Z jf(x)j2dx=Z f(x)(f(x)'n(x))dx+Z f(x)'n(x)dx:Comme'n2 C1c, le second terme est nul d"après l"hypothèse (I.7), et on peut majorer le premier terme comme suit
Z jf(x)j2dx kfkL2kf'nkL2!n!10:Ainsi,jfj2est une fonction positive et d"intégrale nulle, elle est donc bien nulle presque partout.
Sifest continue, on peut faire une preuve plus directe. On raisonne par l"absurde en supposant quefest non identi-
quement nulle. Commefest continue, et quitte à changerfenf, il existe une constanteC >0et une boule non triviale
B(;r) telle que8x2B(x;r);f(x)C:
B(;r)v(x)dx >
0. La construction d"une telle fonction est classique mais on n"a pas besoin de connaître la formule exacte pour faire la
démonstration.D"après (
I.7 ) et les propriétés defetv, on a 0 = Z f(x)v(x)dx=ZB(;r)f(x)v(x)dxCZ
B(;r)v(x)dx >0;
ce qui constitue une contradiction manifeste.Vocabulaire (I.6) est un problème aux limites (une EDP + des conditions aux limites). (I.5) est une formulation variationnelle de ce problème aux limites dontuest la solution.La fonctionvest appelée fonction-test. Elle habite, en général, dans le même espace que la
solutionurecherchée.F. BOYER- VERSION DU18FÉVRIER20166Chapitre I. Introduction aux espaces de Sobolev et aux formulations variationnelles de problèmes aux limitesRemarque I.6
Tous les calculs précédents peuvent être effectués en dimensiondquelconque. L"équation aux dérivées partielles
que l"on obtient alors à la place de(I.6)est (ku=f;dans u= 0;sur@ On rappelle que le Laplacien est l"opérateur différentiel défini par dX i=1@ 2@2xi:Remarque I.7
Si on reprend toute l"analyse précédente en supposante que la tensionkde la corde/membrane dépend du point
xoù l"on se place, alors on aboutit aux équations suivantes div(k(x)ru) =f;dans en dimension2et @x(k(x)@xu) =f(x);dans]0;1[;en dimension1, toujours assortie des conditions aux limites.Pour l"instant nous avons démontré que si le problème de minimisation deEsurXadmet une solution, alors elle est
unique et que de plus si celle-ci est régulière, alors elle est solution de l"équation de Poisson.
I.3 Comment montrer l"existence d"un minimiseur?
Le principe général de la preuve de l"existence d"un minimiseur pour une fonctionnelleEsur un espaceXest le
suivant : 1.On démontre que infXE >1. Si ceci est faux, le problème de chercher un minimiseur n"a évidemment pas de
sens, c"est donc une étape indispensable. 2.On considère une suite minimisante, c"est-à-dire une suite(un)nXqui vérifielimn!1E(un) = infXE. Une
telle suite existetoujours, c"est juste la définition de l"infimum qui nous la fournit. 3.On essaie de démontrer que cette suite (ou l"une de ses sous-suites) con verge(en un sens à préciser : idéalement
pour la norme deX). On noteula limite obtenue. 4. On essaie de vérifier que uréalise bien le minimum recherché.Il est bon de remarquer que les deux premiers points ne dépendent que de l"ensembleX(et deEbien sûr) alors
que les deux derniers points requièrent une topologie surX, puisqu"il y est question de suites convergentes, de fonctions
continues, etc ...Ainsi, pour faire fonctionner ce programme de travail, le choix du bon espaceXet de la bonne topologie sur cet
espace sont cruciales. En effet, l"espaceXétant, en général, de dimension infinie, le choix d"une topologie surX(même
une topologie d"e.v.n.) n"est pas du tout trivial.De façon générale, pour réaliser la troisième étape du programme ci-dessus, on va essayer de montrer que la suite
minimisante est de Cauchy, donc convergente,à condition que l"espaceXsoit complet. C"est pourquoi la complétude
de l"espace est une notion centrale. Une première idée serait donc de modifier un tout petit peu l"espaceXconsidéré plus
haut en choisissant cette foisX=fv: [0;1]!R;de classeC1et tqv(0) =v(1) = 0g;
muni de la normekvkX=kvkL1+kv0kL1. On sait en effet que cet espace est un Banach, il est donc susceptible de convenir.F. BOYER- VERSION DU18FÉVRIER2016
I. Le problème de la corde/membrane élastique à l"équilibre7Finitude de l"infimumCommençons par vérifier que l"infimum est fini. Pour cela, on utilise le résultat suivant