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[PDF] Minimiser une fonction de 2 variables

Par défaut, calcule un point minimum selon la méthode de Nelder-Mead ( simplexe) optim(par, fn, gr = NULL, , method = c("Nelder-Mead", "BFGS", "CG"  

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variante qui soit invariante en fonction de la taille de la cible serait « Moyenne Admettons que nous cherchions a minimiser l'erreur quadratique Quel est

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De nombreux problèmes nécessitent de minimiser une fonction : -Minimiser la distance calculer analytiquement les zéros de la fonction F'(X) -Soit par ce que  

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3 2 Minimisation d'une fonctionnelle quadratique sans contrainte blèmes de maximisation puisque maximiser une quantité revient à minimiser son opposé

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La minimisation On a vu en introduction une CS d'existence d'un mi- nimum et d' un maximum : si f est une fonction continue sur S fermé borné alors ∃x1 ∈ S et 

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On définit pour une direction d ∈Rn au point x la fonction φ à une variable : φ(s) = f(x+sd) n-m inconnues «libres» permettant de minimiser le critère │ ⎩ │

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Dans tout ce chapıtre, I désigne un intervalle de IR 4 1 Fonctions convexes d' une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie sur I, est dite convexe ( 

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On désigne par J(v) une fonctionnelle non linéaire (application de V dans R) continue Nous sommes ainsi ramenés à la minimisation d'une fonction K de Inf

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1 Une fonction J : IRn ↦→ IR (fonction coût) 2 Un ensemble U ⊂ IRn ( ensemble des contraintes) On cherche à minimiser J sur U, c'est à dire, on cherche x∗ 

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vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneRésolution de problèmes par minimisation d'une fonctionnelle et applicationsMaster Info Image

Plis fò

s ba pengwen là ! vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneObjet de ce cours ?

Lorsque vous interpr

étez une image, votre cerveau réalise é

normément d'opérations. Par exemple, si vous regardez l'image suivante et que vous essayez de localiser les yeux du

personnage :

Vous faites des mesures (couleurs)

Vous reliez ces mesures a des choses connues

(corps humains)

Votre connaissance du corps humain vous dit qu'il

y a des yeux... et vous donne un modele pour ces yeux (blanc autour, plus ou moins rond...)

Vous refaites des mesures dans l'image pour

trouver les yeux. vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneObjet de ce cours ? 2 Pour faire de l'analyse automatique d'image, on est oblig é de simplifier : On va supposer que l'on sait que l'on cherche des yeux dans une image comportant des corps humains (c'est le contexte applicatif)

On devra d

éfinir un modèle de correspondance entre un objet r éel (des yeux) et les mesures que l'on peut faire dans l'image (niveaux de gris). Si le programme cherche un oeil, et que l'on cherche une zone plus ou moins ronde, avec du blanc autour... on parle de traitement bas niveau.

S'il cherche a interpr

éter l'image en termes de visages, et utiliser ces informations pour trouver les yeux, on parle de traitement haut niveau.

Pour nous : Bas niveau !

vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneObjet de ce cours ? 3M ême avec cette simplification, cela reste éventuellement difficile...

Comment mod

éliser le problème pour en tirer un programme ?Une solution consiste

à : d

éfinir un critère (une valeur pour la " rond clair »itude en chaque point) rechercher l'optimum du crit

ère sur les solutions possibles (ici les différentes positions)Ex : Trouver ou se trouve le rond clair (de 15 pixels de diametre) pr

ésent dans l'image :

vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneObjet de ce cours ? 4Cette d émarche est souvent bien utile...Et c'est ce que l'on fera pour diff érents problèmes classiques d'image.Dans le cas de l'exemple pr

écédent, Le crit

ère peut être : pour un pixel de l'image, calculer la somme des intensité sur le rond de largeur 15 centr

é sur le pixel considéré La m

éthode pour trouver le maximum : exhaustif, on regarde toutes les positions possibles.Reste a d

éfinirUn " bon crit

ère » pour le problème Une m

éthode pour trouver l'optimum.

vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneExemples d'application

L'objectif

étant de vous donner une certaine culture en traitement d'image... et la bonne habitude de mod

éliser correctement vos probl

èmes !Probl

èmes concernés : Localisation/Détection, Recalage, Segmentation.Dans ce cours, nous allons toujours proc

éder de la façon pr

écédente... sur un grand nombre de problèmes.Ceci nous permettra de voir : des crit

ères utiles / classiques. des m

éthodes d'optimisations classiques aussi.

vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneLocalisation

En appliquant la technique pr

écédente, voici les résultats :(Bien jou

é...)En TP, vous essayerez cela ... En fait, on peut montrer que cette technique est la meilleure... sous certaines conditions... (lesquelles ?) vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneLocalisation (taille inconnue) Cette fois, il s'agit de localiser le rond clair, de diam ètre variable (disons entre 5 et 35 pixels de diam ètre) dans des images comme celles qui suivent :

Conservons le crit

ère précédent... pour un pixel (x,y) de l'image, calculer la somme des intensit

é sur le rond de largeur d centr

é sur le pixel considéré L'espace de recherche est l'ensemble des (x,y,d) possibles. vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneLocalisation (taille inconnue) R ésultats :Ce qui ne va pas : les gros ronds ne " sortent » pas car la somme des intensit és est toujours plus grande sur un gros rond que sur un petit ... notre crit

ère n'est pas bon...

vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneLocalisation (taille inconnue)

Deux m

éthodes (vues en détail plus loin) :On trouve un crit ère qui soit indépendant de la taille de la cible r éelle. On parle alors de critère invariant pour le param ètre qui nous intéresse.On modifie le crit

ère actuel pour qu'il pénalise les grandes tailles de cibles. Ainsi, une grosse cible aura moins de chance

d' être selectionnée à moins d'etre " vraiment » présente. La seconde m éthode relève évidemment du " bricolage ». Elle est néanmoins tr ès usitée lorsque trouver un critère invariant est difficile. vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneCritère invariant par changement de tailleConcentrons nous sur la premi

ère méthode.Notre premier crit

ère etait : Somme des intensités sur la cible. Une variante qui soit invariante en fonction de la taille de la cible serait

" Moyenne des intensit

és sur la cible » ... Le probl

ème est le suivant : a priori, toutes les cibles testées de taille inf

érieure à la taille vraie de la cible auront la même moyenne (avec des variations dues au bruit).

Notre critere simplement n'est pas bon : il ne prend pas en compte l'exterieur de la cible test ée (celui ci doit etre plus sombre que l'intérieur si la cible test

ée a la taille correcte).Pourriez vous d

éfinir un critère qui fonctionne ?

vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneTerme de Pénalité

Voyons donc la seconde solution : p

énaliser les petites cibles...Notre crit

ère sera composé de deux termes : Un terme d'attache aux donn ées (la moyenne des intensités)Un terme d'attache au mod èle (pénalisant les petites taille)Un poid diff érent pour chaque composante. En prenant un des deux a 1, on en supprime un...

Soit : pour Cr(x0,y0) un cercle de rayon r, centr

é en x0,y0 :

[sx,y]∗r vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneTerme de Pénalité R

ésultats : =0.0145Probl

ème : choisir (m'a pris 20mn et non généralisable...)

vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneLocalisation v3.0Si l'on reprend l'exemple pr

écédent, il fallait prendre en compte la présence de l'ext

érieur de la cible.Un crit

ère qui fonctionne serait : m_I m_O

avec m_I : moyenne des pixels a l'interieur de la cible testee, m_O : moyenne des pixels a l'exterieur de la cible testee...

Ici, pas de p

énalisation, simplement un critère qui pénalise tout seul les configuration erron

ées.

vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneAméliorations ?

Peut on faire mieux ? Dis autrement :

Pourquoi ne pas prendre m_I^2 m_O^2 ???

Ou pourquoi ne pas essayer de detecter les bords du disque (cf Desachy) pour trouver le cercle (ou encore appliquer la transformee de Hough) ???

En soi, cette question n'a aucune r

éponse valable : On ne peut améliorer un algorithme que lorsque l'on sait (au moins a peu pr

ès) à quels types d'images il va se frotter pour pouvoir le tester (et éventuellement concevoir l'algorithme le plus adapt

é a ces cas...)Les crit

ères précédents etaient empiriques... on ne peut les différencier que sur des exemples pr

écis... et on serait bien en peine de définir un algorithme qui marche le mieux possible pour tous les cas !

vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneAjout de bruitPar exemple, il est rare que

L'intensite sur la cible soit constante..

L'intensit

é sur le fond soit constante...Testons notre dernier algorithme en " saupoudrant » l'image d'un l

éger bruit : Image observ

éeImage parfaiterésultatRat

vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneNotion de ModèleIci, nous quittons le domaine du bricolage pour d

éfinir un algorithme adapté a nos images : On se donne le mod

èle d'image suivant :L'image est constitu

é de deux parties :une cible dans laquelle chaque pixel est une r

éalisation d'un bruit blanc gaussien, de moyenne mc, et d'ecart type s. La cible est toujours un rond.

Le fond dans lequel chaque pixel est une r

éalisation d'un bruit blanc gaussien, de moyenne mf, et d'ecart type s (le meme que pour la cible)

Nous allons maintenant nous interesser

à la localisation optimale de la cible pour ce mod

èle...La probabilit

é d'observer l'image que l'on a sous les yeux si une cible de rayon r se trouve a une position i,j est :

1 2se x-mc2 2s2 1 2se x-mf2 2s2

vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneNotion de ModèleNe reste plus qu'a chercher les x,y,r qui rendent cette probabilit

é la plus grande possible.

Pour cela :

Pour simplifier les calculs, on prend le logarithme de cette quantit

é.On arrange un peu tout ca.... (Vu en cours)

On remplace les moyennes par leurs estim

éesCe qui nous donne le crit

ère suivant :Ce crit

ère a l'avantage d'être justifié théoriquement et nous assure la meilleure probabilit

é de localisation correcte tant qu'on reste dans le modèle(ce qui ne veut pas dire que notre algorithme ne se trompera jamais...)

Jx,y,r=NI.mI

2NO.mO

2 vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneAutres problèmes de localisation

Dans ce qui pr

écédait, on cherchait une cible uniforme, sur un fond uniforme, en pr ésence d'un bruit blanc gaussien...Problème pour lequel nous avons vu diff

érents critères avant d'en dégager un qui corresponde au modèle.Voici quelques autres probl

èmes classiques de localisation. Pourriez vous trouver un couple crit

ère - optimisation pour traiter ces problèmes ? Les niveaux de gris de la cible sont connus, le fond est nul. L'image est

bruit ée avec du bruit blanc gaussien. Les niveaux de bruit de la cible sont connus. L'illumination g

énérale de l'image peut changer.

Les niveaux de bruit de la cible sont connus, l'orientation de la cible est inconnue. L'illumination g

énérale de l'image peut changer.

vpage@univag.fr Vincent PagéUniversité Antilles GuyaneLocalisation et détection Dans la pratique, il s'agit souvent non pas de localiser une cible, mais de d étecter sa présence (et de la localiser par la même occasion).Les deux probl èmes sont donc relativement liés.Si l'on peut parfois trouver une approche optimale du probl

ème en utilisant un mod

èle (et des tests statistiques), le plus souvent ce problème est réglé de la fa

çon suivante :On calcule la valeur du crit

ère en chaque point.Si cette valeur est sup

érieur à un seuil, on décide de la présence d'une cible. Que se passetil le plus souvent pour les pixels voisins de la cible ?quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34