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2. Transformation de Legendre 5

3. Equations canoniques de Hamilton 7

4. Transformation canonique 9

5. Equation d'Hamilton-Jacobi 10

°=f(t;q) :q=q(t);t1·t·t2g;

Φ(°) =Z

t2 t

1L(q(t);q(t);t)dt;???

oùq(t) =dq dt ????q(t)?? ??????C2???? q(t1) =a; q(t2) =b;(a;b2R) t7¡!q(t) +"x(t); Z t2 t

1L(q(t) +"x(t);q(t) +"x(t);t)dt¡Z

t2 t

1L(q(t);q(t);t)dt=o("):

¯¯¯®=0;

1 +c2? ?????

Φ(°) =Z

t2 t 1p

1 + q2;

±Φ =±Z

t2 t

1L(q(t);q(t);t)dt= 0;

F(h)??? ?????? ???

F(h) =Z

t2 t 1µ @L @q ¡d dt @L hdt+µ@L

¯¯¯¯t

2 t 1:

Φ(°+h)¡Φ(h) =Z

t2 t

1(L(q+h;q+h;t)¡L(q;q;t)dt;

Z t2 t 1µ @L @q h+@L dt+o(h2):

F(h) =Z

t2 t 1µ @L @q h+@L dt;

R=o(h2);

Φ(°+h)¡Φ(°) =F+R:

Z t2 t 1@L @qhdt=@L @qh¯¯¯¯t 2 t

1¡Z

t2 t 1hd dt @L @qdt;

F(h) =@L

@qh¯¯¯¯t 2 t 1+Z t2 t

1hµ@L

@q ¡d dt @L dt;

Φ(°+h)¡Φ(°) =F+R;

d dt @L

¡@L

@q = 0:???

F(h) =Z

t2 t

1hµ@L

@q ¡d dt @L dt; t

1f(t)g(t)dt= 0?????

f(t) =@L @q ¡d dt @L ??g(t) =h(t)? ?? ? @L @q ¡d dt @L = 0: q=q(t)??? ????? ?? ?????A(t1;a)?? ?????B(t2;b)??? Z t2 t 1p

1 + q2dt:

1 + q2???????

q p A??B??? ??????? ??? ?? ??????? ?? ??????AB? ???? ?? ??? ????? ???????S? ds

2=Edu2+ 2Fdudv+Gdv2:

t Z t2 t 1p

E+ 2Fv+Gv2du;

d du F+Gv p

E+ 2Fv+Gv2=@E

@v + 2@F @v v+@G @v v2 2 p

E+ 2Fv+Gv2:

F(s;x)´sx¡f(x);

@F @x =s¡f0(x) = 0;

G(s) =F(s;x(s)) = maxx(sx¡f(x)):

????f(x) =x2? ?? ?F(s;x) =sx¡x2??@F @x =s¡2x= 0? ???? x(s) =s 2 ?? ??? ????G(s) =F(s;x(s)) =s2 4 @2f @x

2dx;dx´

G(s) =F(s;x(s)) = maxxF(s;x) = maxx((s;x)¡f(x)); s=@f @x s 1=@f @x

1;:::;s

n=@f @x n: @2f @x i@xj´

G(s1;:::;sn;¸1;:::;¸m) =nX

i=1s ixi¡f(x1;:::;xn;¸1;:::;¸m): ???si? ?? ? @G @s k=nX i=1@x i @s ks i+xk¡nX i=1@f @x i@x i @s k; nX i=1@x i @s k(si¡@f @x i) +xk; =xk; carsi=@f @x i?1·i·n? ?? ????? ?? ? @G k=nX i=1@x i ks i¡nX i=1@f @x i@x i k¡@f k; nX i=1@x i k(si¡@f @x i)¡@f k; =¡@f k:

G(x1;:::;xn;¸1;:::;¸n) =nX

i=1s ixi¡f(x1;:::;xn;¸1;:::;¸n); s i=@f @x i; x i=@G @s i;@G k=¡@f k: @q ???? ?? ??????C1?? ??L??? ?? p=@L @q(q;q;t):

H(p;q;t) =nX

i=1p iqi¡L(q1;:::;qn;q1;:::;qn;t); ????H?@H @q ??@H @p dH=nX i=1µ qidpi+pidqi¡@L @q idq i¡@L

¡@L

@t dt; nX i=1µ qidpi¡@L @q idq

¡@L

@t dt:; ???pi=@L @L @q i=dpi dt = pi; dH=nX i=1(qidpi¡pidqi)¡@L @t dt: dH=nX i=1@H @q idq i+nX i=1@H @p idp i+@H @t dt; qi=@H @p i;pi=¡@H @p i;@H @t =¡@L @t :qi=@H @p i; pi=¡@H @q i;??? ????i= 1;:::;n? dH dt =nX i=1µ @H @q iqi+@H @p +@H @t = 0; @H @t = 0? ??? ????H=constante? q q R I C pdq=I gCpdq;??? !=nX i=1dp i^dqi;??? S !=Z gS oùS??? ?? ??????? ??????? ??? ?? ???????C? ?? ??? ? ????? ??? ???? ?? ??? Considérons les équations canoniques d'Hamilton 8>< :qi=@H @p i; pi=¡@H @q i;

H´H(p;q;t) =nX

i=1p iqi¡L;??? Q

H ´ H(p;q;t) =nX

i=1P iQi¡ L;??? (P1;:::;Pn)?Q= (Q1;:::;Qn)?? 8>< Qi=@H @P i;

Pi=¡@H

@Q i:??? p;q7¡!P(p;q;t);Q(p;q;t) !=nX i=1(pidqi¡PidQi)¡(H¡ H)dt; Z t2 t

1Ldt= 0;

Z t2 t

1Ldt= 0;

±Z t2 t

1(L¡ L)dt= 0:

L¡ L=dS

dt Z t2 t

1dS=±(S(t2)¡S(t1)) = 0;

nX i=1p iqi¡H! nX i=1P iQi¡ H! dS dt

ÃnX

i=1p idqi¡PidQi!

¡(H¡ H)dt=dS;????

Q i=Qi(p;q;t)? Z t2 t

1Ldt= 0;

on tire la relation nX i=1p idqi¡Hdt=dF;???? n X i=1P idQi¡ Hdt=dF¡dS´d¸;???? ou dà nX i=1P iQi!

¡nX

i=1Q idPi¡ Hdt=d¸; nX i=1Q idPi+Hdt=dà nX i=1P iQi!

¡d¸´d¹:????

Les formes diérentielles (13) et (14) sont exactes si et seulement si @P i @t =¡@H @Q i; @Q i @t =@H @P i;

Pi=¡@H

@Q i; Qi=@H @P i; (Q1;:::;Qn)??t? ?? ? dS=nX i=1µ @S @q idq i+@S @Q idQ +@S @t dt;

8>>>>><

>>>>:p i=@S @q i; P i=¡@S @Q i; H=@S @t +H:????

De même, siS=S(q;P;t)?? ???????

8>>>>><

>>>>:p i=@S @q i; Q i=¡@S @P i; H=@Squotesdbs_dbs15.pdfusesText_21