Déterminant de la matrice transposée Les déterminants et les matrices inversibles Sous-matrices Aij - Mineur- Cofacteurs Mineur Cofacteur Le déterminant
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La notion de matrice inversible n'a de sens que pour des matrices carrées • Une matrice inversible admet un unique inverse : On suppose qu'il existe deux
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Critère d'inversibilité : le déterminant Déterminant Il existe un critère tres pratique pour savoir si une matrice est inversible Le fondement de ce critère ne rentre
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Soit A une matrice carrée d'ordre n Définition On dit que A est inversible s'il existe une matrice B telle que AB = BA = I On appelle B matrice inverse de A et on
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Soit A une matrice inversible Alors A−1 est aussi inversible et on a : (A−1)−1 = A Inverse d'un produit Proposition 7 Soient A et B deux matrices inversibles
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Déterminant de la matrice transposée Les déterminants et les matrices inversibles Sous-matrices Aij - Mineur- Cofacteurs Mineur Cofacteur Le déterminant
[PDF] CHAPITRE I : MATRICES 1 Trace 2 Déterminant
Théorème 2 2 Une matrice A est inversible si et seulement si son déter- minant est non nul 3 Matrices équivalentes et matrices semblables Si A, B ∈ Mm,n(K),
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Sens : l'inverse d'une matrice inversible et le produit de deux matrices inversibles sont inversibles 6 Page 7 car on reconnaıt le développement du déterminant
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4) Une matrice non carrée, inversible à droite (ou bien à gauche) n'admet pas une unique matrice inverse à droite (ou bien à gauche) Les matrices inversibles
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17 sept 2013 · Effectuer une opération élémentaire sur une matrice A ∈ Mn,p(R) revient `a multiplier A `a gauche par une matrice inversible pour les opérations
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![[PDF] Déterminant de la matrice transposée - MAT 1200: Introduction à l [PDF] Déterminant de la matrice transposée - MAT 1200: Introduction à l](https://pdfprof.com/Listes/17/23003-17chap5DetAut12Rob.pdf.pdf.jpg)
MAT 1200:
Introduction à l"algèbre linéaire
Robert Guénette et Saïd EL MORCHID
Département de Mathématiques et de StatistiqueChapitre 5: Les Déterminants
Références
Déterminants d"ordre 1 et 2
Définitions
Exemples
Déterminants d"ordre n
Définition
Conséquences
Déterminant d"un produit et matrices inversiblesDéterminant de la matrice transposée
Les déterminants et les matrices inversibles
Sous-matricesAij- Mineur- Cofacteurs
Mineur
Cofacteur
Le déterminant d"une matricenn
Matrice des cofacteurs. Matrice adjointe
La règle de Cramer pour résoudre un systèmeRéférences:
Notes de cours chapitre 5 .
Livre: Chapitre 3 page 175
Déterminants d"ordre 1 et 2
Définitions
1.Cas d"une matrice 11:
SoitA= (a11)une matrice de type 11, le déterminant deAest det(A) =ja11j=a11 2Cas d"une matrice 22:
SoitA=a
11a12 a 21a22. Le déterminant deAest le nombre réel det(A) =a 11a12 a 21a22
=a11a22a12a21Exemple
Calculer le déterminant de la matrice
A=1 5 2 4Déterminants d"ordre n
Définition générale
On définit le déterminant par la formule
detA=a11:::a1n.
........a n1:::ann= X oùPnest l"ensemble des permutations de l"ensemblef1;2;:::;nget sign() = (1)N()est la signature de. Le nombreN()est défini comme lenombre d"inversions parmi l"ensemble de tous les couplesf(i;j)jiConséquences immédiates de la définition
Personne ne songerait à utiliser cette définition pour évaluer un déterminant d"ordre plus élevé car fait intervenir une somme dentermes ce qui est impraticable. Son intérêt est purement théorique et permet de dégager rapidement les propriétés du déterminant. I Linéarité par rapport à une ligne
det 0 B BBBBB@L
1 L i+Ti L n1 C CCCCCA=det0
B BBBBB@L
1 L i L n1 C CCCCCA+det0
B BBBBB@L
1 T i L n1 C CCCCCA
I Multiplication d"une ligne par un nombre réelc
det 0 B BBBBB@L
1 c L i L n1 C CCCCCA=cdet0
B BBBBB@L
1 L i L n1 C CCCCCA
Conséquences immédiates (suite)
I Si la matriceBest obtenue à partir de la matriceAen permutant 2 lignes, alors detB=detA. I SiApossède une ligne nulle, alors detA=0.
I SiAcontient deux lignes identiques, alors detA=0.
I SiAest une matrice triangulaire inférieure ou supérieure d"ordren, alors detA=a11a22a33:::ann=le produit de la diagonale I Si la matriceBest obtenue à partir de la matriceAen appliquant l"opération élémentairec Li+Lj!Lj, alors detB=detA.Exemple Evaluer le déterminant en appliquant des opérations élémentaires sur les lignes, i.e. par élimination de Gauss12 5 02 0 413 1 0 7 0 42 0
Déterminant d"un produit et matrices inversibles Proposition:
SiEest une matrice élémentaire, on a que
detEA=detEdetAPar induction, on obtient le résultat suivant. Corollaire:
det(E1E2:::EkA) =detE1detE2:::detEkdetAThéorème: Une matrice carréeBest inversible si et seulement si detB6=0.Théorème: SoitAetBdeux matrices carrées. On a que
det(AB) =detAdetB Déterminant de la matrice transposée
Théorème:
SoitAune matrice carrée. On a que
detAt=detAConséquence: opérations sur les colonnes SoitAune matrice carrée.
a) Si une matrice Best obtenue en ajoutant à une colonne de la matriceA un multiple d"une autre de ses colonnes, alors detB=detA. b) Si Best la matrice obtenue en permutant deux colonnes deA, alors detB=detA. c) S iBest la matrice obtenue en multipliant une colonne deApark, alors detB=kdetA.Exemple: Calculer le déterminant de la matrice par des opérations élémentaires sur les colonnes. A=0 B B@28 6 8
39 5 10
3 0 12
14 0 61
C CA Les déterminants et les matrices inversibles
Théorème:
Une matrice carrée est inversible si et seulement si detA6=0. SiAest une matrice carrée inversible, alors
detA1=1detA:Exemple: Est ce que la matrice suivante est inversible? Si oui, calculer detA1. A=0 B B@31 25
0 536 6 77 4
58 0 91
C CAThéorème:
Soient~u1;~u2;;~un,nvecteurs deRnetAla matrice dont les colonnes ou les lignes sont les vecteurs ~ui. Alors~u1;~u2;;~unsont indépendants si et seulement si le déterminant deAest non nul. Sous-matricesAijet mineursMijMineur
SoitA= (aij)une matrice carrée de typenn. Alors la matriceAijde type (n1)(n1)désigne la sous-matrice formée des éléments deAqui restent après avoir supprimé laiemeligne et lajemecolonne. Le déterminant de la sous-matriceAijest appeléle mineurdeaijet est noté parMij.Exemple Soit la matrice
A=0 B B@12 5 0
2 0 41
3 1 0 7
0 42 01
C CA Trouver les sous-matricesA32,A43et calculerM32,M43. Cofacteur
Définition
SoitA= (aij)une matrice carrée de typenn. On appellecofacteurde l"élémentaijle nombre C ij= (1)i+jMij= (1)i+jdetAij:Exemple Soit la matrice
A=0 @12 5 2 0 4 3 1 01
A Trouver les cofacteursC21,C22etC23.
Exemple:
Calculer le déterminant de la matrice
A=0 @1 5 0 2 41 02 01 A Le déterminant d"une matricennDéfinition
Le déterminant d"une matriceA= (aij)de typennest detA=a11C11+a12C12++a1nC1n =a11detA11a12detA12+ +(1)1+na1ndetA1nquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34