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Exercices sur les vecteurs

Exercice 1

ABCD est un parallélogramme et ses diagonales se coupent en O. (1) Compléter par un vecteur égal : a) ...AB= b) ...BC= c) ...DO= d) ...OA= e) ...CD= (2) Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifier : a) OB OC= b) [][]ABDC= c) OA OC= d) OAOC= e) AB DC= f) milOA= C g) milmilBDAC= h) AA BB=

Exercice 2

En utilisant le quadrillage, dire pour

chaque égalité si elle est vraie ou fausse : (1) ABEF= (2) CDAB= (3) DADB= (4) EDBD (5) AEBF= (6) EFDC=

Exercice 3

Soit ABC un triangle quelconque.

(1) Construire : le point

N tel que ; ANBC=

le point P tel que PA ; BC= le point M tel que . BMAC= (2) Montrer que []milANP=[]milBPM=N=, et CM. []mil (3) Quel est le rapport des aires des triangles ABC et MNP ? Justifier !

Exercice 4

Sur la figure ci-contre, formée de

parallélogrammes juxtaposés, déterminer : (1) un représentant de DB (2) trois représentants de AE (3) un représentant de FG d'origine B (4) un représentant de CF d'extrémité E (5) un représentant de 0 (6) un représentant de AF

Exercice 5

(1) Reproduire le parallélogramme ABCD ci-dessus dans votre cahier puis construire les points E, F, G, H et I définis par : CEAC= ; BF ; DG ; AC= AC= AHBC= ; IA. AC= (2) Quelle est la nature des quadrilatères BCEF et DGEC. (3) Que représente le point A pour le segment [] ? IC

Exercice 6

Calculer les sommes vectorielles indiquées en

utilisant la figure ci-contre : (1) AEAO+ (2) AEDF+ (3) BDBAAO (4) OCFC (5) DOBCAE++ (6) ABAD+

Exercice résolu 7

Déterminer la somme des vecteurs sur chacune des figures suivantes et expliquer votre démarche. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15)

Exercice 8

(1) Sur les figures (1) à (8) de l'exercice 7, construire uv (2) Sur les figures (9) et (10) de l'exercice 7, construire uvw (3) Sur les figures (11) et (12) de l'exercice 7, construire ua, et wa. Quelle est la relation entre v et w ? b= vbc= c= ,u

Exercice résolu 9

Sur la figure ci-dessus, formée de parallélogrammes juxtaposés, déterminer un représentant de (1) ADCF+ (2) GCAC+ (3) HEBC+ (4) DEDH (5) GJBF+ (6) DIJI+ (7) FGAI (8) IFFJ (9) AIAEFJ++ (10) AFHDBD++ (11) JEFGID+ (12) GJDABI+ (13) FDIACGFH++ (14) EDAHCFFH++

Déterminer le point O sur la figure tel que :

1 2

AOCFFGIA=+

Déterminer le point P sur la figure tel que :

1 2

EPADGCAB=++

Exercice 10

Démontrer les propriétés vectorielles suivantes à l'aide d'une figure. (1) ()aa= (2) ()vuuv= (3) ()uvwuv+=w (4) ()aeraer=+ (5) 2()22abab= (6) 2uvuuv++=+ (7) ()326uu= (8) () 51
33
2zz= 0

Exercice résolu 11

Sur la figure ci-dessus, construire le point

(1) I tel que 2EIAB= (2) J tel que GJ AB= (3) K tel que 5 2 CKAB= (4) L tel que 1 2 LCCD= (5) M tel que 3 2 MAEF= (6) N tel que 2 3 NHDC= (7) P tel que EP 2EFCD=+ (8) Q tel que

2ABCD=

Exercice 12

Soit ABCD un parallélogramme. Construire les points M, N, P, Q définis par : 12 23

AMABAD=+

31
23

BNBDAC=

31
42

CPADABBC=+

1 2

23ABQDCDBC+=

Exercice 13

A et B étant deux points distincts donnés, construire si possible les points inconnus Q, R, S, T, U, V, W, X, Y et Z en résolvant les équations vectorielles correspondantes : (1) AQABQB=+ (2) ARRB= (3) 5ASBS= (4) 32BTATAB= (5) 0AUBU+= (6) 0AVVB+= (7) 2AWWB= (8) 2XAXBAB+= (9) 1 2

23AYBYAB=

(10) 22AZBZBA+= 0

Exercice 14

A et B étant deux points distincts donnés, construire les points M et P tels que : 23 et AMAB=

50PABP=

Exercice 15

A, B et C étant trois points non alignés donnés, construire si possible les points inconnus U, V, W, X, Y et Z en résolvant les équations vectorielles correspondantes : (1) UAUBUCBC++= (2) 0AVVBVC= (3) 2AWBWCWAB= (4) 30XAXBXC++= (5) 232AYBYCYAB+= (6)

32AZZBCZAZBC=+

Exercice résolu 16

En observant la figure ci-dessus, compléter les relations de colinéarité suivantes : (1) et ...AEAB= ...ABAE= (2) et ...GDJP= ...JPGD= (3) et ...CLQN= ...NQCL= (4) et ...DHAF= ...FAHD= (5) et ...GRIQ= ...IQGR= (6) et ...OHOE= ...OEOH= (7) et ...BPLG= ...PBLG= (8) et ...QIIE= ...IQEI= (9) et ...JEJQ= ...JQJE= (10) et ...MKKG= ...GKMK= (11) et ...DNHR= ...HRND= (12) et ...LARB= ...RBAL= (13) et ...FLNE= ...NELF= (14) et ...KJBP= ...PBJK= (15) et ...AAAM= ...BBIJ= (16) et ...IOAR= ...RAOI= (17) et ...BKCL= ...BKLC= (18) et ...GGAD= ...ADGG=

Exercice 17

Dans chacun des cas suivants, déterminer une relation de colinéarité entre et , puis faire une figure : AB AC (1) 2ABBC= (2) CBAB= (3) ACBC= (4) 23BACBAC= (5) 3 4 ACBC= (6) 15 36

ABCBAC=+

Exercice résolu 18

Soit A et B deux points distants de 1,5 cm.

(1) Construire le point C tel que 5 2 BCAB= (2) Construire le point D tel que 4 3 ADAB= (3) Compléter et démontrer la relation de colinéarité : . ...CDAB= (4) En déduire la longueur du vecteur CD en cm.

Exercice 19

Soit ABC un triangle quelconque et D le point défini par :

3ADABAC=

(1) Construire le point D. (2) Exprimer AB en fonction de AD et . AC (3) Exprimer AC en fonction de et . AB AD (4) Exprimer AD en fonction de AC et . BC

Exercice 20

Soit ABCD quadrilatère quelconque, M le milieu de [AB], N le milieu de [BC],

P le milieu de [CD] et Q le milieu de [AD].

(1) Montrer que 1 2 MNAC= et 1 2 QPAC= (2) En déduire la nature du quadrilatère MNPQ.

Exercice 21

Soit G le centre de gravité d'un triangle ABC et , , C. Montrer que . []'milAB=C =[]'milAB=0[]'milBCA'''AABBCC++=

Exercice 22

Soit G le centre de gravité d'un triangle ABC. Montrer que 1 3

AGABAC=+

1 3

BGBABC=+

et 1 3

CGCACB=+

Exercice 23

Soit G le centre de gravité d'un triangle ABC et , , CA. []'milAB=C =[]'milB= ...'GB= C =[]'milB= []'milBCA (1) Compléter les relations de colinéarité suivantes : ...'GAGA= ; GB ; . ...'GCGC= (2) En déduire que G est le centre de gravité du triangle . '''ABC

Exercice 24

Soit G le centre de gravité d'un triangle ABC et , , CA. []'milAB= []'milBCA (1) Construire les points P,Q et R tels que : a) GP, b) GQGBGC=+

GCGA=+

et c) GR. GAGB=+ (2) Montrer que : GP, GQGA= GB= et GR. GC= (3) Quelle est l'isométrie qui transforme le triangle ABC en le triangle PQR ?

Exercice 25

Soit G et 'G les centres de gravité de deux triangles ABC et DEF respectivement. (1) Montrer que : . 3'ADBECFGG++= (2) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que deux triangles aient le même centre de gravité.

Exercice 26

Soit G le centre de gravité d'un triangle ABC.

(1) Montrer qu'il existe un point unique D tel que . 3DADBDCAB++= (2) Quelle est la nature du quadrilatère ABGD ?

Exercice 27

Soit ABC un triangle.

(1) Construire les points I, J et K tels que :

AIABAC=+

2BJBAAC=+

CKCACB=+

(2) Démontrer que les droites AI, BJ et CK sont concourantes en G, centre de gravité du triangle ABC. 12

Exercice 28

Soit G le centre de gravité d'un quadrilatère quelconque ABCD, c.-à-d. G est l'unique point vérifiant l'égalité :

0GAGBGCGD+++=

(1) Construire le point G après avoir démontré que :quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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