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variables d"état

Gonzalo Cabodevila

gonzalo.cabodevila@femto-st.fr

2ème année

Semestre vert

Automatique avancée

filière EAOI

École Nationale Supérieure de

Mécanique et des Microtechniques

26, chemin de l'Épitaphe

25030 Besançon cedex - FRANCE

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Table des matieres

1 Exemple introductif : l rouge 7

1.1 Dierentes representations d'un systeme physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1 Equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3 Reponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.4 Representation d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2 Proprietes de la representation d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1 Non unicite de la representation d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3 Inter^et de cette representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4 Resolution des equations d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.1 Cas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.2 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.3 Generalisation aux systemes variants dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.4 Simulation sur calculateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2 Obtention des equations d'etat 17

2.1 Methode directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2 A partir de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2.1 Forme 1 : forme canonique de commandabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2.2 Forme 2 : forme canonique d'observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2.3 Representation modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.4 Forme canonique de Jordan (forme diagonale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3 Commandabilite et observabilite des systemes 25

3.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.2 Que faire si un systeme n'est pas observable et/ou commandable . . . . . . . . . . . .

27

3.2.1 Retour sur conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2.2 Reduction de modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

4 Transformation en l'une des formes canoniques 29

4.1 Diagonalisation de la matriceA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

4.2 Consequences pour la commandabilite et l'observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4.3 Cas des valeurs propres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

4.3.1 Diagonalisation classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

4.3.2 Transformation modiee :Tm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

4.4 Transformation en la forme canonique d'asservissement . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4.5 Transformation en la forme canonique d'observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
3

4TABLE DES MATIERES

5 Stabilite des systemes dynamiques lineaires 35

5.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

5.2 Etude de la stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

5.3 Stabilite au sens de Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

5.3.1 Theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

5.3.2 Interpretation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

5.3.3 Applications aux systemes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

5.3.4 Fil rouge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

6 Commande des systemes 39

6.1 Placement de p^oles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

6.1.1 Calcul du regulateurL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

6.1.2 Calcul de la matrice de preltreS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

6.2 Cas d'une representation quelconque du systeme a asservir . . . . . . . . . . . . . . . .

41

6.2.1 Transformation en la forme canonique de commandabilite . . . . . . . . . . . .

41

6.2.2 Theoreme de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

6.3 Commande Modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

6.3.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

6.3.2 Methode de synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

6.4 Choix des p^oles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

6.4.1 P^oles complexes conjugues dominants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

6.4.2 Maximalement plat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

6.4.3 P^oles a partie reelle identique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

6.4.4 Polyn^omes de Naslin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

6.5 Commande optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

6.5.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

6.5.2 Stabilite de la commande optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

6.5.3 Choix des matriceRetQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

6.5.4 Exemple : l rouge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

7 Synthese d'observateurs d'etat 51

7.1 Introduction au probleme de la reconstruction d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

7.1.1 Par calcul direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

7.1.2 Par simulation du processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

7.1.3 Par simulation du processus et asservissement sur les parties connues du vecteur

d'etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.2 Observateurs de Luenberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

7.3 Observateurs d'ordre reduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

7.3.1 Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

7.4 Observateur generalise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

7.5 Equation d'etat d'un systeme asservi avec observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

7.5.1 Theoreme de separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

7.6 Filtrage de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

8 Representation d'etat des systemes lineaires echantillonnes 59

8.1 Systeme discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

8.2 Resolution des equations dans le domaine du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

8.3 Application de la transformee enz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

8.4 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

8.5 Obtention d'un modele d'etat a partir de la fonction de transfert enz. . . . . . . . .61

8.6 Resolution de l'equation d'etat dans le domaine dez. . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

8.7 Commandabilite et observabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

TABLE DES MATI

ERES5

8.7.1 Commandabilite d'un systeme echantillonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

8.7.2 Observabilite d'un systeme echantillonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

8.8 Stabilite des systemes echantillonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

8.9 Commandes des systemes echantillonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

8.9.1 Calcul de la matrice de preltre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

8.9.2 Commande optimale dans le cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

9 Annales d'examens 65

Devoir personnel Juin 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Examen nal Juin 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Examen nal Juin 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10 Travaux diriges75

I Annexes89

A Quelques publications originales 91

6TABLE DES MATIERES

Chapitre 1

Exemple introductif : l rouge

1.1 Dierentes representations d'un systeme physique

Soit un moteur a courant continu commande par l'inducteur.I= cteJ;fi u Figure1.1 { Moteur a courant continu commande par l'inducteur commande : u sortie : ! Le systeme est monovariable, lineaire invariant dans le temps, il peut donc ^etre represente par une equation dierentielle a coecients constants.

1.1.1 Equations dierentielles

Le systeme represente en gure 1.1 est decrit par les equations suivantes : u=Ri+Ldidt (1.1) J d!dt +f!= (1.2) =ki(1.3) J d2!dt

2+fd!dt

=kdidt =kL (uRi) =kL uRk d!dt +f! (1.4) J d2!dt 2+ f+RJL d!dt +RfL !=kL u(1.5) d 2!dt 2+fJ +RL d!dt +RfLJ !=kLJ u(1.6) d 2!dt

2+a1d!dt

+a0!=b0u(1.7) Des lors!(t) est connu si u(t) et les deux conditions initiales (!(0) etd!(0)dt ) sont connues. 7

8CHAPITRE 1. EXEMPLE INTRODUCTIF : FIL ROUGE

1.1.2 Fonction de transfert

En utilisant la transformation de Laplace :

L[e(t)] =Z

1 0 epte(t)dt;(1.8) L de(t)dt =pE(p)e(0);(1.9) nous obtenons la transformee de (1.7) : p 2 (p)p (0)_ (0) +a1(p (p) (0) +a0 (p) =b0U(p) (1.10) d'ou : (p) =b0p

2+a1p+a0U(p) +

(0)(a1+p) +_ (0)p

2+a1p+a0(1.11)

Si les conditions initiales sont nulles :

(p) =b0p

2+a1p+a0U(p) (1.12)

(p)U(p)=b0p

2+a1p+a0=H(p) (1.13)

H(p) est la fonction de transfert du systeme.

1.1.3 Reponse impulsionnelle

Si les conditions initiales sont nulles :

(p) =H(p)U(p) (1.14) En repassant en temporel, la multiplication est transformee en une convolution !(t) =h(t)? u(t) =Z 1 0 h()u(t)d(1.15) donc h(t) =kRJLf efJ teRL t (1.16)

1.1.4 Representation d'etat

Si l'on desire realiser une simulation analogique du systeme a partir d'integrateurs, l'equation (1.7)

peut se mettre sous la forme : d 2!dt

2=b0ua1d!dt

a0!(1.17) d'ou le schema suivant, Les variables d'etat sont les sorties des integrateurs. x

1=!; x2=d!dt

= _!(1.18) Le systeme peut ^etre represente par les deux equations suivantes,

1.1. DIFF

ERENTES REPRESENTATIONS D'UN SYSTEME PHYSIQUE9b

0RR a 1a 0u d2!dt d!dt _!(0)!(0)

Figure1.2 { Schema d'un simulateur analogique

_x1=x2(1.19) _x2=b0ua0x1a1x2(1.20)

La representation utilisee classiquement est la representation matricielle, on denit alors un vecteur

d'etat, x=x1 x 2 (1.21)

Equation d'etat :

_x1 _x2 =0 1 a0a1 x1 x 2 +0 b 0 u(1.22)

Equation de sortie :

!=1 0x1quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35