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Repr´esentation et analyse

des syst`emes lin´eaires PC 3

Formes canoniques compagnes

Propri´et´es structurelles

Les formes compagnes

2 -Syst`eme mono-variable :

˙x(t)=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du(t) o`ux?R n ,u?Rety?R -Fonction de transfert :

H(p)=C(p1

n -A) -1 B+D b n p n +···+b 0 p n +a n-1 p n-1 +···+a 0

Polynˆome caract´eristique

PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Les formes compagnes

3

La forme compagne de commande

A c .........0

0··· ···01

-a 0

··· -a

i

··· -a

n-1 c 0 1? C c b 0

···b

i

···b

n-1

Nota :si la paire(A,B)est commandable

PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Les formes compagnes

4

La forme compagne de commande : algorithme

La matrice de passage :

P c =[P 1 P 2

···P

n P n =B P n-1 =(A+a n-1 1 n )B P n-2 =(A 2 +a n-1 A+a n-2 1 n )B=AP n-1 +a n-2 B P n-3 =(A 3 +a n-1 A 2 +a n-2 A+a n-3 1 n )B=AP n-2 +a n-3 B P 1 =(A n-1 +a n-1 A n-2 +···+a 1 1 n )B=AP 2 +a 1 B PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Les formes compagnes

5

La forme compagne d'observation

A o 0

1...-a

1

0.........

......0-a n-2

0···01-a

n-1 o 0 b 1 b n-2 b n-1 C o

0···001?

Nota :si la paire(A,C)est observable

PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Les formes compagnes

6

La forme compagne d'observation : algorithme

La matrice de passageP

o P -1o n-1 +a n-1 A n-2 +···+a 2 A+a 1 1 n C(A n-2 +a n-1 A n-3 +···+a 3 A+a 2 1 n C(A+a n-1 1 n C? PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Exemple

7 -Equations d"´etat :

˙x(t)=?

??-201 010 -201? ??x(t)+? ??1 1 0? ??u(t) y(t)=? 10-1? x(t) -Polynˆome caract´eristique :

P(p) = det(p1-A)=p

3 -p=p(p-1)(p+1) -Fonction de transfert :

C(p1-A)

-1 B=C

P(p)×?

??(p-1) 2 0p-1

0p(p+1) 0

-2(p-1) 0 (p-1)(p+2)? ??B=p 2 -1 p 3 -p=1 p PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Exemple (suite)

8 -Forme modale : A=? ??000 0-10 001? ??˜B=? ??-1 2 1? ??˜C=? -100?

La matrice de passage est

P=? v 1 v 2 v 3 et les vecteurs propres : v 1 ??1 0 2? ??v 2 ??1 0 1? ??v 3 ??0 1 0? PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Exemple (suite)

9 -La forme compagne de commande : A c ??010 001 010? ??B c ??0 0 1? ??C c -101?

La matrice de passage est

P c ??1-21 011 2-20? PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Relation entre les diff´erents mod`eles

10

DifférentielleEquation

d"état

EquationsFonction

de

Transformée

de

Laplace

transfert

Plusieurs

MéthodesH(p)=C(pIA) B+D

-1

Modè

le uniqu eM odèle u nique

ModèlesmultiplesLaplace Inverse

Transformée

de

Plusieurs

Méthodes

x=Px PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K

Propri´et´es structurelles des mod`eles

11 ?Th´eor`eme 1: -Lemod`ele entr´ee-sortie du type´equation diff´erentiellene repr´esente que la partie observabled"un syst`eme -Lemod`ele entr´ee-sortie du typefonction de transfertne repr´esente que la partie observableetcommandabled"un syst`eme La repr´esentation d"´etat associ´ee `a une fonction de transfert o`udes simplifications pˆoles-z´erosinterviennent estnon commandableounon observablesuivant le choix des variables d"´etat

Exemple :

x 1 x 2 1 p+21 p+1 3 p+1-3yy 1 y 2 x 3 ++u PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K Propri´et´es structurelles des mod`eles (suite) 12 -La fonction de transfertest d"ordre1avec un pˆole-2et un z´ero1 Y(p)

U(p)=p-1

p+2 -L"´equation diff´erentielleentr´ee-sortie est d"ordre2avec deux pˆoles-2et-1

¨y+3˙y+2y=¨u-u

-Une ´equation d"´etatd"ordre3est donn´ee par :

˙x=?

??-20 0 -12 0 -33-1? ??x+? ??1 1 3? ??u y=? -11-1? x+u o`u les pˆoles sont donn´es par-2, commandable et observable,2commandable et non observable et-1non commandable et observable PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6K Propri´et´es structurelles des mod`eles (suite) 13 -Forme modale de l"´equation d"´etat :

˙x=?

??-10 0 020 00-2? ??x+? ??0

1.0607

2.4749?

??u y=? -10-1.2122? x+u o`u les pˆoles sont donn´es par : --2commandable et observable -2commandable et non observable --1non commandable et observable PC3 - Repr´esentation et analyse des syst`emes ISAE-N6Kquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14