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RDM- TORSION RDM 1/5
TORSION
6ROLGH LGpMO matériau homogène, isotrope, poutre rectiligne, de section constante et circulaire.
IHV MŃPLRQV H[PpULHXUHV dans les sections extrêmes sont modélisables par deux moments opposés,
portés par la ligne moyenne. La poutre est donc soumise à deux torseurs couples:I. DEFINITION
Une poutre est sollicitée à la torsion simple si le torseur associé aux forces de cohésion de la partie droite (II) sur la partie gauche (I) de la poutre peut se réduire en G, barycentre de la section droite (S) à un moment perpendiculaire à (S), tel que:Dans (G,x
,y ,z [Tcoh] = G 0 Mt avecN = 0, Ty = 0, Tz = 0
Mt0, Mfy = 0, Mfz = 0 donc =
G 0Mt 00 00REMARQUE:
[Tcoh] = -T(Actions ext.I) = +T(Actions ext.
II) donc R = 0 et Mt = -MAII. ETUDE DES DEFORMATIONS
On exerce un moment MG1
dans la section droite (S1) et on mesure l'angle de rotation des sections (S ) et (S1) par rapport à (S0). On constate que: x = 1 l1 = ...... = Cte. (S1) (S0) Ligne moyenne MB MA A B x z y G (S MA A MG z y Lf3II I Lf2II I Lf1II I G1 (S1) MG 1G0 (S) (S0)
M' M1'
M1 M 1 1 x l1Génératrice avant
déformationGénératrice après
déformationSection S0 parfaitement encastrée dans 1
RDM- TORSION RDM 2/5
On peut écrire:
1 l1 avec: = angle unitaire de torsion (rad/mm).1 = angle de rotation (S1)/(S0) (en rad).
l1 = distance séparant (S1) à la section de référence (S0) (mm)La courbe donnant l'angle
en fonction du moment MG1 fait apparaître deux zones : IM ]RQH 2$ GH GpIRUPMPLRQ pOMVPLTXH ou
domaine élastique: où l'angle de rotation est proportionnel au moment appliqué. IM ]RQH $% GH GpIRUPMPLRQ SHUPMQHQPH, ou domaine plastique; n'est pas proportionnel à MG1 III. REPARTITION DES CONTRAINTES DANS UNE SECTION DROITEEn un point M, la contrainte de torsion
M est proportionnelle à la distance
de ce point à la ligne moyenne. M = .G. . [Dans (O,x1 ,y1M > 0 si
> 0 et 0] M: contrainte tangentielle due à la torsion (MPa). G: module d'élasticité transversale (de Coulomb) (MPa). : angle de torsion unitaire (rad/mm). : distance de M au centre de la section (mm). La contrainte de torsion est nulle si M est sur la ligne moyenne ( = 0). La fibre neutre est confondue avec la ligne moyenne. La contrainte de torsion est maximale si M est sur la surface du solide ( = R = distance max.): max. = G. .R.IV. MOMENT QUADRATIQUE POLAIRE
Le moment quadratique polaire de la surface (S) par rapport à l'axe (O, z) perpendiculaire en O au plan de cette dernière est: I0 = s) I0: moment quadratique de (S) par rapport a (O,z) (mm4). : distance du point M au point O (mm). S: surface élémentaire entourant le point M(mm2). B MG1 A MA 0Déformation
permanenteDéformation
élastique
max maxM1 M x
1 y z y 1 x z y F G xSection droite
(S) MG0 G0 Mt z y O M x y M S S ODistance de M
ààààO O
Point M
considéréSurface
élémentaire
RDM- TORSION RDM 3/5
MOMENTS QUADRATIQUES PARTICULIERS
Oz x y d Oz x y D d I0 = .d4 32I0= 32
.(D4-d4)
V. ETUDE DES DEFORMATIONS
1- Equation de déformation
Dans le domaine élastique, le moment de torsion Mt est proportionnel à l'angle unitaire de torsion
Mt = G.
.I0 si > 0 Mt > 0Mt: moment de torsion (Nmm).
G: module d'élasticité transversal (de Coulomb) (MPa). : angle de torsion unitaire (rad/mm). I0: moment quadratique de (S) par rapport a (O, x) (mm4). * Voir valeurs de G pour différents matériaux dans cours cisaillement.2- Condition de rigidité
Pour les arbres de grande longueur (arbres de forage de puits de pétrole, arbres de naviresimportants) on évite de trop grandes déformations de torsion qui risqueraient d'engendrer des vibrations
trop importantes pour un fonctionnement correct. A cet effet, on impose un angle unitaire limite dequotesdbs_dbs4.pdfusesText_8