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Applications des mathématiques

Approximation de longueurs

d'arcs par la méthode d'Archimède

Version pour Mathematica

Marcel Délèze

Edition 2017

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§ 1 Approximation de longueurs d'arcs

Préambule

Nous allons étudier une méthode pour calculer numériquement * le nombre * le sinus d'un angle x * l'arc sinus, c'est-à-dire la fonction réciproque de sinus. La méthode que nous allons exposer n'est pas celle que l'on choisit habituellement pour program-

mer les calculatrices car il existe beaucoup d'autres plus performantes. Mais la méthode traitée ici

est * ancienne, * géométrique, lémentaire et * néanmoins pratiquement utilisable.

Un exemple d'algorithme

Dans ce chapitre, par un raisonnement géométrique, nous allons construire un algorithme pour

calculer la longueur d'un arc de cercle par la méthode d'Archimède (p. 9, Rel. 1-2-8). Cet algorithme

peut se traduire en un programme (p. 13, calcul de Arcsin). Il est à remarquer qu'il nous faudra 13

pages pour arriver à un programme de deux lignes !

Découpage en blocs pour la présentation

Le présent cours fait l'objet d'une présentation orale par les élèves. A cette fin, il est divisé en blocs;

chaque bloc est numéroté et attribué à un élève. Les marques de début et de fin de blocs sont

disposées sur la droite, comme suit. [B 1

1.1 Méthode d'Archimède pour calculer

Représentation géométrique du nombre

Géométriquement, le nombre

peut être représenté par la longueur du demi-cercle de rayon 1 1 2c=1

2(2r)=r=·1=

Exercice 1-1-1

Nous allons déterminer "expérimentalement" une valeur approximative du nombre * mesurer le diamètre du demi-cercle ci-après; * dérouler un fil sur le demi-cercle et mesurer sa longueur; * en déduire une valeur empirique du nombre

2 Longueur-arc.nb

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Notre ambition est bien plus grande : nous voulons non seulement calculer avec une grande précision mais, de plus, nous voulons connaître l'erreur maximale sur le résultat. B 1 [B 2

Méthode d'Archimède

Au VI-ème siècle avant J.- C., Archimède proposa la méthode suivante pour calculer

Considérons un demi-cercle de rayon 1.

Le demi-périmètre de tout polygone inscrit est inférieur à Le demi-périmètre de tout polygone circonscrit est supérieur à

Notons

d 0 demi périmètredel'hexagoneinscrit valeurde pardéfaut e 0 demi périmètredel'hexagonecirconscrit valeurde parexcès onal'encadrement d 0 e 0 Pour obtenir un encadrement moins grossier, doublons le nombre de côtés des polygones d 1 demi e 1 demi

Longueur-arc.nb 3

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onal'encadrement d 1 e 1 Pour obtenir un encadrement plus fin, doublons encore le nombre de côtés des polygones d 2 demi e 2 demi onal'encadrement d 2 e 2

On peut répéter le doublement du nombre des côtés jusqu'à ce que l'on atteigne la précision

souhaitée. B 2

Exercice 1-1-2

Pour calculer les nombres

d 0 et e 0 a) Dessinez, avec la règle et le compas, un demi-cercle avec ses demi-hexagones inscrit et circonscrit; b) Calculez l'approximation initiale de par la méthode d'Archimède, c'est-à-dire les valeurs exactes des nombres d 0 et e 0 Indication : les deux hexagones sont homothétiques. c) Calculez la valeur numérique correspondante de et écrivez-la sous la forme x x. Dans les paragraphes suivants, nous déterminerons des approximations plus fines de [B 3

1.2 Calcul de la longueur d'un arc de cercle

La méthode d'Archimède peut servir à calculer, non seulement la longueur du demi-cercle, mais

aussi la longueur de n'importe quel arc de cercle. C'est ce problème plus général que nous voulons

résoudre.

Le problème de la longueur d'arc

sx

Fig. 1

2 1

Problème Dans un cercle de rayon r = 1,

on donne la longueur d'une demi-corde s

On cherche la longueur du demi-arc correspondant

x

Dans le cas particulier où

s r , on obtient x 2 . Ainsi, la résolution de ce problème nous permet- tra, entre autres, de calculer la valeur de et de résoudre le problème du 1.1

4 Longueur-arc.nb

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Notations et description de la méthode

Nous allons adapter la méthode d'Archimède au problème de la longueur d'arc.

L'arc de longueur

x est approché par une ligne polygonale inscrite et une ligne polygonale circonscrite dont on double le nombre de segments à chaque étape.

Approximation

initiale ( numéro 0) x d 0 1 s 0 e 0 1 t 0 Dans la figure ci-dessus, on a représenté l'approximation numéro 0 (approximation initiale) x longueurd'arc; d 0 approximationdexpardéfaut; e 0 approximationdexparexcès; s 0 longueurd'un demi segmentdelalignepolygonaleinscrite; t 0 longueurd'undemi segmentdelalignepolygonalecirconscrite;

Onalesrelations :

2s 0 2x 2t 0 s 0 x t 0 d 0 x e 0 approximationinitiale

Approximation numéro 1

Longueur-arc.nb 5

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x d 1 2 s 1 e 1 2 t 1 Dans la figure ci-dessus, on a représenté l'approximation numéro 1 x longueurd'arc; s 1 longueurd'undemi segmentdelalignepolygonaleinscrite; t 1 longueurd'undemi segmentdelalignepolygonalecirconscrite;

Onalesrelations :

2s 1 x 2t 1 2 1 s 1 x 2 1 t 1 d 1 2 1 s 1 approximationdexpardéfaut; e 1 2 1 t 1 approximationdexparexcès; d 1 x e 1 approximationnuméro1

Approximation numéro 2

d 2 4 s 2 e 2 4 t 2 Dans la figure précédente, on a représenté l'approximation numéro 2 x longueurd'arc; x

2=longueurd'arcd'untriangleisocèle;

s 2 longueurd'undemi segmentdelalignepolygonaleinscrite; t 2 longueurd'undemi segmentdelalignepolygonalecirconscrite;

6 Longueur-arc.nb

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Onalesrelations :

2s 2 x 2< 2t 2 4s 2 x 4t 2 2 2quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34