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Chapitre 3

Dérivées partielles, différentielle,

fonctions de classeC1 Le but de ce chapitre est de généraliser la notion de dérivée pour une fonctionfde plusieurs variables. L"objectif est évidemment de donner une définition qui permet de retrou- ver autant que possible toutes les bonnes propriétés de la dérivation d"une fonction d"une variable : En tout pointx0où la fonction est dérivable, la dérivée doit permettre de définir une fonction simple qui approche bienfau moins pour des points proches dex0, comme c"est le cas pour l"applicationx7!f(x0) + (xx0)f0(x0)en dimension 1. En particulier on attend d"une fonction dérivable qu"elle soit continue.

La dérivée doit permettre d"étudier les variations def, localiser et étudier les extréma.

Pour tout ce chapitre, on se donne un ouvertUdeRn, une fonctionfdeUdansRpet a= (a1;:::;an)2 U. On note(e1;:::;en)la base canonique deRn.

3.1 Dérivées partielles

Définition 3.1.Soitk2J1;nK.

On dit que lakièmedérivée partielle defexiste au pointasi l"application t7!f(a1;:::;ak1;ak+t;ak+1;:::;an) (définie sur un voisinage de 0 dansRet à valeurs dansRp) est dérivable en 0. Dans ce cas on note@f@x k(a)ou@kf(a) cette dérivée. On dit que lakièmedérivée partielle defexiste surUsi elle existe en tout point deU.

Les dérivées partielles ne sont finalement rien de plus que des dérivées au sens usuel. Pour

dériver par rapport à une variable on considère que toutes les autres sont des constantes et

on dérive alors par rapport à la variable qui nous intéresse comme on a l"habitude. Remarque3.2.Souvent, on note(x;y)et(x;y;z)plutôt que(x1;x2)et(x1;x2;x3)les points deR2ouR3respectivement. Dans ce cas on notera par exemple@f@x ou@xfla dérivée partielle

par rapport à la première variable. C"est une habitude à laquelle on peut se fier. Mais les choses

peuvent devenir ambiguës quand d"autres variables entrent en jeu, typiquement lorsqu"on

change de coordonnées. Il faudra donc être vigilant en lisant et en écrivant des calculs faisant

intervenir des dérivées partielles... 19

L2 Parcours Spécial -Calcul différentiel et intégralExercice1.1 On considère surR2les fonctions

f

1: (x;y)7!x2R; f2: (x;y)7!y2R; f3: (x;y)7!(x;y)2R2:

Montrer les quef1,f2,f3admettent en tout point deR2des dérivées partielles par rapport

àxet ày, et les expliciter.

Exercice2.Étudier l"existence et éventuellement la valeur des dérivées partielles en tout

point des fonctions définies par f

1(x;y) =excos(y); f2(x;y) =p1 +x2y2; f3(x;y) =xy(pourx >0):

L"exemple suivant montre que l"étude des dérivées partielles ne répond pas à toutes nos

attentes puisqu"une fonction peut avoir des dérivées partielles bien définies en tout point sans

nécessairement être continue :

Remarque3.3.L"applicationf:R2!Rdéfinie par

f(x;y) =( xyx

2+y2si(x;y)6= (0;0)

0sinon

admet en tout point deR2des dérivées partielles selonxet selonymais n"est pas continue en (0,0) (voir l"exemple 2.7 L"existence des dérivées partielles en (0,0) pour une fonctionfdéfinie surR2assure que

f" paraît continue » tant qu"on se déplace le long des axes des abscisses ou des ordonnées.

Dans l"exemple précédent, le problème vient du fait que ce n"est plus du tout le cas si on approche du point (0,0) en suivant par exemple la droite d"équationx=y.

Ce problème peut être évité si au lieu de ne considérer que les dérivées partielles, c"est-

à-dire les dérivées selon les directions données par les axes, on considère les dérivées selon

toutes les directions possibles : Définition 3.4.Soitv2Rnn f0g. On dit quefadmet une dérivée enasuivantvsi

l"application':t7!f(a+tv)est dérivable en 0. La dérivée'0(0)est alors appelée dérivée

defenasuivantv. Remarque3.5.Si elle existe, lak-ième dérivée partielle defau pointan"est autre que la dérivée defenasuivantek. Exercice3.Calculer la dérivée de l"applicationf: (x;y)7!x2y2au pointa= (1;2) suivant le vecteurv= (3;5). Remarque3.6.Malheureusement cette nouvelle définition ne résoud pas notre problème, puisqu"une fonction peut admettre des dérivées selon tout vecteur en un point sans pour autant être continue en ce point. Considèrons par exemple l"applicationf:R2!Rdéfinie par f(x;y) =( y2x six6= 0 ysinon Alorsfadmet des dérivées selon tout vecteur en tout point mais n"est pas continue (voir exercice 13

3.2 Fonctions différentiables

3.2.1 Différentielle

Définition 3.7.On dit quefest différentiable enas"il existe une application linéairedaf deRndansRptelle que f(a+h) =f(a) +daf(h) +oh!0(khk):20 J. Royer - Université Toulouse 3

Dérivées partielles, différentielle, fonctions de classeC1Autrement dit il existe une application"adéfinie sur un voisinage de 0 dansRnet à valeurs

dansRptelle que"a(h)!h!00et f(a+h) =f(a) +daf(h) +khk"a(h): Remarque3.8.On écrira parfoisdf(a)au lieu dedaf. Remarque3.9.On rappelle (sinon ce sera vu en approfondissements mathématiques) qu"en

dimension finie toutes les applications linéaires sont continues. Cela signifie en particulier que

jjjda(f)jjj:= sup h6=0kdaf(h)kkhk est bien défini. Proposition 3.10.Sifest différentiable ena, alorsfest continue ena. Démonstration.Avec les notations de la définition3.7 on a h2Rn

kf(a+h)f(a)k6kdaf(h)k+khkk"a(h)k6khkjjjda(f)jjj+k"a(h)k!h!00:Proposition 3.11.Sifest différentiable ena, alors elle est dérivable enasuivant tout

vecteurv2Rnn f0get cette dérivée vautdaf(v). Démonstration.Soitv2Rnn f0g. Pourt2Rassez petit on a f(a+tv) =f(a) +daf(tv) +ktvk"a(tv) =f(a) +tdaf(v) +ot!0(t):

Cela prouve quet7!f(a+tv)est dérivable en 0 de dérivéedaf(v).Exemples3.12.Une fonctionf:R!Rest différentiable ena2Rsi et seulement si

elle est dérivable enaet dans ce casdafest l"applicationh7!hf0(a). Une application constante est différentiable en tout point de différentielle nulle. SoitLune application linéaire deRndansRp. Pour tousa2Rneth2Rnon a

L(a+h) =L(a) +L(h)

AinsiLest différentiable enade différentielledaL=L. Proposition 3.13.On suppose quefest différentiable ena. Alors toutes les dérivées par- tielles defexistent au pointaet pour toutv= (v1;:::;vn)2Rnon a d af(v) =nX k=1v k@f@x k(a):

Autrement dit :

d af=nX k=1@f@x k(a)ek; où(e1;:::;en)est la base duale de la base canonique. Démonstration.Le fait que les dérivées partielles defexistent au pointarésulte de la proposition 3.11 appliquée a vecles v ecteursde la base canonique. P arlinéarité de dafon a d af(v) =daf nX k=1v kek! =nX k=1v kdaf(ek) =nX k=1v k@f@x k(a):Année 2013-2014 21 L2 Parcours Spécial -Calcul différentiel et intégral3.2.2 Plan tangent On suppose quefest différentiable ena. Pour toutx2Rnon note g(x) =f(a) +daf(xa) (on note que cette définition a un sens même sifn"est pas définie sur toutRn). Alorsgest une application affine (une constante + une application linéaire) telle que f(x)g(x) =ox!akxak

gest en fait la seule application affine à avoir cette propriété. L"image deRnpar l"application

gest appelée plan tangent au graphe defau pointa. Supposons quen= 2etp= 1. Alors le graphe defest une " surface » deR3, et le plan tangent au graphe defest véritablement un plan deR3. C"est le plan qui est proche du graphe defquand on " zoome » sur le point(a;f(a))(voir figure3.1 ).-5 0 5 -5 0 5 -20 0 20quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3