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Si la réparlition en fréquences recèle toute I'informationstatistique contenue dans la série des observations, il estsouvent souhaitable de résumer celle-ci en quelques
caractéristiques simples.La première caractéristique à considérer, dans l'exa-men d'une série statistique, est sa tendance centrale. Lestrois indicateurs présentés quantifient cette notion.
1. Mode - Classe modale
a) ttodeSoit une série slatistique prenant des valeurs isolées(couleur des yeux, CSP, nombre d'enfants...), le rnode estla valeur la plus fréquente. ll est noté : Mo.
Exenple. Le mode de la série statistique relevant lacouleur des yeux des Français esl le marron.
b) Classe nodaleSoit une série statistique numérique regroupée enclasses, la c/asse nodale est la classe de fréquence laplus élevée (si les classes sont d'amplitudes inégales, ils'agira de la classe de fréquence conigée la plus élevée).
Une série statistique peut avoir plusieurs modes, ouclasses modales. Le mode ou la classe modale désignel'endroit où la répartilion est la plus dense et correspond àla partie la plus haute du diagramme de fréquences (fig. t ).
2. Médiane - Classe médiane
a) MédianeSoit une série statistique numérique ordonnée parvaleurs croissanles,la nédiane est la valeur de I'observa-tion centrale, c'est-à-dire la valeur numérique telle qu'il y
ait 50 % des observations qui lui soient inférieures et 50 %qui lui soient supérieures. Elle est souvent notée : Me.
Exemple. La médiane de la série : 1, 1, 1, 2,2,3,4,5,8. 10. 13 est 3.Pour des séries d'etfectif pair, on convient de prendre
la moyenne des deux observations centrales. b) Classe médianeSoit une série numérique regroupée en classes, laclasse médiane est la classe qui contient l'observationcentrale, ou médiane. En d'autres lermes, c'est la première
classe qui voit les kéquences cumulées atteindre 0,50(ou 50 %).Si, ne disposant pas des données initiales, on souhaileune valeur ponctuelle de la médiane, on lail une interpo-Iatiln dans la classe médiane, c'est-à-dire qu'on calculepar prop0rtionnalité le point de cette classe où le poly-gone de fréquences cumulées coupe la ligne horizontale :lc = 0,50 (fig. 2).
Figure 2
Figure 1
variable ffiffi,Np,cArE, jniiii+iiiïi' BEPERESINDICATEURS DE LA TENDANCE CENTRALE
3. Moyenne arithmétique
La noyenne arithnétique est la plus usuelle. Elle est leplus souvent appelée simplement moyenne.
a) ttoyenne d'une série slmpleSoit une série de N obaervations numériques : x', rr,... , xN. La moyenne arithmétique de ces N nombres,notée I est le nombre :
x.t+ x2+ ... + xN N Exenple. On achète trois litres de lait aux prix4,30 F et 3,95 F. La moyenne est :
:4,20 F4,20+4,30+3,95= 4,15 (F).
Ce prix moyen est le prix unique qui aurait fait dépen.ser autanl pour les trois litres. b) Symbole sigma En statistique, on est fréquemment amené à écrire dessommes telles que : x1+ x2+x3+...+xN oubien; xt . f t + xz .fz+ ...+ Xp .f p.ll est alors aemmode d'utiliser une notation abrégée, lesymbole sigma'.8 (de la lettre grecque sigma majuscule).
La somme E' + E2 + ... + E, s'écril ainsi :
SFL-lt =1
et, s'il n'y a pas d'ambiguité sur l'ensemble des expres-sions E,, E2, ... , Ee à additionner, on écrit simplement :
? t''Le symbole I traduit donc une suite d'additions ; ilconserve les propriétés de I'addition. En cas d'incertitudesur le sens d'une formule, il est facile de revenir à uneécriture développée, avec des points de suspension.
La moyenne de la série simple : x1, x2, ..., xx s'écritdonc plus simplement : c) ttroyenne pondérée (ou avec coetficients)Soit une suite de N nombres '. x1, X2, ... , xx auxquelssont associés les polds, ou coefficients ! \, â2, ... , âs1.
Ix. r1=t'=i r,,
La moyenne des x,pondérée par les a, est le nombre : - 2a 'x,,,= ' 2a'La moyenne pondérée n'est pas modifiée si tous lespoids sont multipliés par un même nombre.
d) Moyenne d'une série regroupéeSoit une série statistique regroupée par valeurs : x', 12,... , xr, observées avec les effectifs respectifs : n,, nr, ... ,4. On voit que la moyenne des observations est :
n1 . x1+ n2. x2+ ...+ nk. xk n1 + n2 +...+ nk _ Lni. xi0U ,= l,'= * tr, x, (avec trl = !ni),
n,et puisque t, = *-, ona : x = ?1 ,r,.En d'autres termes, la moyenne de la série est lamoyenne des valeurs regroupées, pondérée par les effec-
tifs conespondants. Comme les fréquences sont proportionnelles aux effec-tifs, la moyenne de la série est aussi la moyenne desvaleurs regroupées, pondérée par les fréquences, celles-
ci étant de somme égale à 1.4. Autres moyennes
La moyenne arithmétique est la méthode la plus fré-quemment utilisée pour définir une valeur . moyenne D
d'observations d'une grandeur additive (par exemple, despoids, des sommes d'argent, des durées, etc.) ; il estcependant d'aulres variables dont l'addition a moins desens (la température, le coefficient intellectuel...).
ll est des grandeurs, enfin, qui se combinent autrementque par addition (par exemple, les taux d'inflation succes-sils, les vitesses sur différents parcours, etc.) Dans cesderniers cas, afin de déterminer des valeurs moyennes,il faut se reporter à la définition même des grandeurs.
On esl alors conduit à d'autres types de calculs.5. Conclusions
On a défini trois indicateurs de la tendance cenlrale ;leurs valeurs sont en général différentes (exemple fig. 3page suivante), sauf dans le cas de séries particulières(par exemple de distribution symétrique).
x=Leur interprétation et leur emploi sont également diffé-rents ;ainsi, pour une statistique de salaires :- le salaire modal est le salaire le plus fréquent;- le salaire médian est celui du salarié qui voit autantde personnes gagner plus que de personnes gagner
moins{ue lui :- le salaire moyen, enfin, est celui que chacun louche-rait si tous les salaires étaient éoaux.