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passivement la matrice de transition fixe, on va à chaque état de la chaîne probabilités de transition et minimisera le coût du processus 3 Exemple: États

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1 2

Introduction

Dans le chapitre 2, on s'est intéressé à l'étude du comportement des chaînes de Markov (calcul de la distribution stationnaire...) Par ailleurs, il est parfois plus utile de décrire les opérations du système de sorte à optimiser sa performance (exemple: les files d'attente). Dans ce chapitre on s'intéresse à la manière de concevoir les opérations dans un processus de Markov à temps discret de sorte à optimiser ces performances. Ainsi, au lieu d'accepter passivement la matrice de transition fixe, on va à chaque état de la chaîne déterminer la décision à prendre qui affectera les probabilités de transition et minimisera le coût du processus 3

Exemple: États

Le processus vérifie la propriété d'un processus de Markov ? 4

Exemple: Matrice de transition

5

Exemple: Coût de production et de

maintenance L'état 3 est un état absorbant. Arrivée à cet état, l'entreprise doit remplacer la machine par une nouvelle (le processus démarre ainsi de l'état 0). Le remplacement nécessite une semaine et coûte 1000$ en terme de production et la nouvelle machine vaut

4000$. Aussi, on peut identifier le coût d'une production

défectueuse: 2 6

Exemple: Stratégie de maintenance

Remplacer la machine lorsqu'elle tombe en panne (état 3): 7

Exemple: Le coût moyen à long terme

8

Exemple: Autres stratégies de

maintenance 9

Processus de décision Markovien

1. L'état id'une chaîne de Markov à temps discret est observé après chaque

transition (i=0, ..., M)

2. Après chaque observation, une décision kest choisie parmi un ensemble

de Kdécisions possibles (k=1, 2, ..., K). Quelques décisions peuvent ne pas être applicables pour certains états.

3. Si la décision d

i =kest prise à l'état i, alors un coût immédiat moyen est induit C ik

4. La décision d

i =kdans l'état iva déterminer la probabilité de transition de l'état iàl'état j. On note cette probabilitép ij (k), j=0, 1,..., M.

5. La donnée des décisions d

0 , d 1 , ..., d M constitue une stratégie pour le processus de décision Markovien.

6. L'objectif est de trouver la stratégie qui optimise le coût moyen à long

terme par unité de temps. 3 10

Exemple: Autres stratégies de

maintenance 11

Exemple: Évaluations des stratégies de

maintenance 12

Exemple: Évaluations des stratégies de

maintenance avec 13

Stratégie déterministe de décision

4 14

Stratégie stochastique de décision

1 1 K k ik D 15

Formulation du PL: Variable de

décision 16

Formulation du PL: Contraintes

et 17

Formulation du PL: Fonction objectif

Minimiser le coût moyen à long terme

5 18 P.L. 19

Distribution du temps d'attente

Le P.L. présente M+2contraintes dont une redondante. Ainsi la solution du P.L. comprend M+1, y ik

0. Par ailleurs, pour chaque

i=0,1,..., Mil existe au moins un ktel que y ik >0, donc pour chaque iil existe exactement un seul ktel que y ik >0. 1ou 0 20

Exemple: Formulation

21

Exemple: Solution

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