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Divisibilité et congruences.

Corrigés d'exercices

Lycée Fénelon Sainte-Marie 1/12 M. Lichtenberg

2012-2013 Version d'août 2012

Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants :

Page 445 : N°1, 5

Page 459 : N°45 Page 449 : N°10 Page 460 : N°51, 52, 55, 57

Page 451 : N°16

Page 461 : N°61, 62 Page 458 : N°29, 30, 31, 34, 38

N°1 page 445

1. Supposons que k soit un diviseur commun à 4n et 521n.

Comme

5215 41nn , alors k divise nécessairement 1.

On en déduit immédiatement que k est égal à

1 ou 1.

Si l'entier k divise

4n et 521n alors 1;1k.

2. D'après la question précédente, les entiers 4n et 521n sont premiers entre eux. On en déduit immédiatement :

La fraction

521
4n n est irréductible.

N°5 page 445

1. Les diviseurs propres de 284 dans

sont : 1, 2, 4, 71 et 142.

Leur somme vaut

1 2 4 71 142 220S .

2. Les diviseurs propres de S dans

sont :1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 et 110. Leur somme T vaut : 1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 110 284T . On constate que la somme des diviseurs propres de S est égale à l'entier initial : 284. ATTENTION ! Ce résultat n'a rien de général ! Par exemple, les diviseurs propres de 10 sont 1, 2 et 5 et leur somme vaut 8. Elle admet elle-même comme diviseurs propres 1, 2 et

4 dont la somme vaut 7.

Divisibilité et congruence

Corrigés d'exercices / Version d'août 2012

Lycée Fénelon Sainte-Marie 2/12 M. Lichtenberg

2012-2013 Version d'août 2012

N°10 page 449

1. Comme suggéré dans l'énoncé, nous allons distinguer deux cas selon la parité de l'entier

naturel n.

Si n est pair

Nous posons

2nk.

On a alors

22
4nk. Mais l'entier k peut être lui-même pair ou impair. Si

2kq alors

22 2 2

44416nk q q et

2 n est donc divisible par 8 (le reste de la division euclidienne de 2 n par 8 vaut donc 0). Si

21kq alors

222 2 2

4 4 2 1 16 16 4 8 2 2 4nk q q q qq et le

reste de la division euclidienne de 2 n par 8 vaut 4.

Si n est impair

Nous posons

21nk.

On a alors

22
21nk.
Si

2kq alors

22222

21 41 16 8182 1nk q qq qq et le reste

de la division euclidienne de 2 n par 8 vaut 1. Si

21kq alors

22222

2 1 4 3 16 24 9 8 2 3 1 1nk q qq qq

et le reste de la division euclidienne de 2 n par 8 vaut 1.

En définitive :

Le reste de la division euclidienne de

2 n par 8 peut prendre les valeurs 0, 1 ou 4.

2. Si l'entier n est impair, il en va de même de

2 n. Or 4 n est le carré de 2 n. On a vu à la question précédente que le carré d'un entier impair admettait toujours 1 comme reste dans sa division euclidienne par 8. On en conclut donc que : Lorsque n est impair, le reste de la division euclidienne de 4 n par 8 vaut 1.

N°16 page 451

1. Sans la calculatrice, on peut procéder comme suit (il est bon, de temps à autre, de refaire quelques multiplications ...

On a facilement

713 91 donc, immédiatement : 70 13 910.

Comme

1000 910 90 et que l'on a : 90 6 13 12, on en déduit immédiatement :

1000 910 90 70 13 6 13 12 76 13 12

Le reste de la division euclidienne de 1000 par 13 est égal à 12.

Divisibilité et congruence

Corrigés d'exercices / Version d'août 2012

Lycée Fénelon Sainte-Marie 3/12 M. Lichtenberg

2012-2013 Version d'août 2012 2.

D'après la question précédente, on a : 1000 12 13, soit 3

10 12 13.

Soit encore :

10 1 13.

On en déduit alors, pour tout entier naturel n : 3

10 1 13

On doit donc distinguer deux cas :

Si n est pair, on a 11

n et 3

10 1 13

n . Dans ce cas, le reste de la division euclidienne de 3 10 n par 13 est égal à 1.

Si n est impair, on a 11

n et 3

10 1 13

n , soit 3

10 12 13

n . Dans ce cas, le reste de la division euclidienne de 3 10 n par 13 est égal à 12. Si n est pair, le reste de la division euclidienne de 3 10 n par 13 est égal à 1 et s i n est impair, le reste de la division euclidienne de 3 10 n par 13 est égal à 12. 3. On peut, dans cette question procéder de diverses façons. 1

ère

méthode On peut, assez " naturellement, utiliser le résultat de la question précédente.

En effet, on a :

3133 3 3

10 10 10 10

nnn n

Quel que soit l'entier naturel n, n et

1n sont de parités différentes : l'un est pair et

l'autre impair. Ainsi, l'un est congru à 1 modulo 13 tandis que l'autre est congru à 1 modulo 13. Leur somme est donc congrue à

110 modulo 13. En d'autres termes,

elle est divisible par 13. 2

ème

méthode

On peut aussi remarquer que l'on a :

33 3 3 3 3

10 10 10 10 1 10 1001

nnn n Or, à la première question, on a vu que le reste de la division euclidienne de 1000 par 13 est égal à 12. On en déduit immédiatement que 1001 est divisible par 12 et qu'il en va

évidemment de même pour

3333

10 1001 10 10

nnn

Pour tout entier naturel n,

33 3
10 10 nn est divisible par 13.

N°29 page 458

1. Les diviseurs positifs de 30 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 et 30.

Leur somme vaut :

1235610153072s .

2. Les diviseurs positifs de 140 sont : 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 et 140.

Leurs somme vaut :

1 2 4 5 7 10 14 20 28 35 70 140 336t .

On a :

72 3 24 3 30

336 14 24 14 140s

Divisibilité et congruence

Corrigés d'exercices / Version d'août 2012

Lycée Fénelon Sainte-Marie 4/12 M. Lichtenberg

2012-2013 Version d'août 2012

N°30 page 458

En utilisant un programme donnant les diviseurs d'un entier positifs (cf. l'algorithme AlgoBox correspondant fourni sur panamaths.net), on obtient : Diviseurs de 135 : 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45 et 135. Leur somme vaut : 240. Diviseurs de 819 : 1, 3, 7, 9, 13, 21, 39, 63, 91, 117, 273 et 819. Leur somme vaut : 1456.

On a alors :

240 15 16 15 15 9 135

1456 91 16 91 91 9 819

Les entiers 135 et 819 sont amis.

N°31 page 458

On a facilement :

11111n n nn nn n n nn .

On constate ainsi que, pour tout entier n,

3 nn est le produit de trois, entiers consécutifs.

Lorsque nous disposons de deux entiers consécutifs, l'un des deux est pair. Il en va à fortiori

de même lorsque nous disposons de trois entiers consécutifs. Lorsque nous disposons de trois entiers consécutifs, l'un des trois est un multiple de trois.

En définitive, le produit

11nnn est multiple de 2 et de 3. Il s'agit donc d'un multiple

de 6.

Le résultat est ainsi établi.

Pour tout entier n,

3 nn est divisible par 6.

N°34 page 458

1. On suppose que 13 divise 74n. Dans ces conditions, 13 divise également

27 4 14 8 13 1 5nnnn .

Comme

13 1 5nn est un multiple de 13 alors nécessairement 5n en est

également un.

74n est un multiple de 13 alors 5n en est également un.

2. Supposons maintenant que 5n soit un multiple de 13. Il existe donc un entier k tel que

513nk, soit 13 5nk.

On a alors :

7 4 7 13 5 4 13 7 35 4 13 7 39 13 7 13 3 13 7 3nk k k k k

Divisibilité et congruence

Corrigés d'exercices / Version d'août 2012

Lycée Fénelon Sainte-Marie 5/12 M. Lichtenberg

2012-2013 Version d'août 2012 Ainsi,

74n est bien un multiple de 13.

5n est un multiple de 13 alors 74n en est également un.

N°38 page 458

Le rapport

11 6 31n
n est entier si, et seulement si, 31n divise 11 6n.

Or, on a :

11 6 4 3 1 10 4 3 1 10nnn nn . Ainsi, 31n divise 11 6n si, et

seulement si,

31n divise 10n.

La condition nécessaire

31 10nn équivaut à 29n, soit, n étant un entier naturel, 4n

Pour

0n, 311n et 10 10n. 1 divise 10 et on retient la valeur 0 pour n.

Pour

1n, 314n et 10 11n. 4 ne divise pas 11 et on ne retient pas la valeur 1 pour n.

Pour

2n, 317n et 10 12n. 7 ne divise pas 12 et on ne retient pas la valeur 2 pour n.

Pour

3n, 3110n et 10 13n. 10 ne divise pas 13 et on ne retient pas la valeur 3 pour

n. Pour

4n, 3113n et 10 14n. 13 ne divise pas 14 et on ne retient pas la valeur 4 pour

Le rapport

11 6 31n
n pour 0n. Remarque : on pouvait également introduire la fonction f définie sur par : 11 6

31xfxx

. On montre facilement que cette fonction est strictement croissante. On a 06f et

11lim 3,673

x fx . Or @>

11 1 6 511,251;2311 4f

11 2 6 1622;3321 7f

11 3 6 2732,72;3331 10f

11 4 6 3841,252;3341 13f

et, finalement,

11 5 6 4953351 16f

. On en déduit alors que pour tout entier naturel n strictement supérieur à 5, on aura

11 63; lim 3;431

x nfn fxn . D'où fn. On retrouve ainsi le résultat précédent mais avec une approche plus analytique via l'introduction de la fonction f.

N°44 page 459

Comme

516, on a immédiatement : 56nn puis

56nnnn.

Or, on a :

111n n nn nn n .

Divisibilité et congruence

Corrigés d'exercices / Version d'août 2012

Lycée Fénelon Sainte-Marie 6/12 M. Lichtenberg

2012-2013 Version d'août 2012 Mais

11nn n est le produit de trois entiers consécutifs. Nécessairement l'un d'eux (au

moins) est pair et exactement l'un d'eux est un multiple de 3. Ainsi, ce produit est divisible par 6 :

1106nn n et donc

506nn.

Le résultat est ainsi établi.

3 ,5nn est divisible par 6.

N°45 page 459

Pour tout entier naturel n, on pose :

n P : " 21 2
32
nn est divisible par 7 »

Initialisation

Pour 0n, on a :

21 2 201 02 1 2

323 232247

nn qui est bien divisible par 7. La propriété est initialisée (la propriété 0

P est vraie).

Hérédité

Soit n un entier naturel quelconque fixé.

On suppose que la propriété

n P est vraie et on s'intéresse à la propriété 1n P.

On va donc étudier la divisibilité par 7 de

211 12

32
nn

On a :

211 12221 2

323322

nnnn

Comme la propriété

P est vraie,

21 2
32
nn peut s'écrire : 21 2
327
nn k (où k est un entier naturel), soit 21 2
372
nnquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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Divisibilité et congruences.

Corrigés d'exercices

2012-2013 Version d'août 2012

Page 445 : N°1, 5

Page 451 : N°16

N°1 page 445

1. Supposons que k soit un diviseur commun à 4n et 521n.

5215 41nn , alors k divise nécessairement 1.

1 ou 1.

Si l'entier k divise

4n et 521n alors 1;1k.

La fraction

N°5 page 445

1. Les diviseurs propres de 284 dans

Leur somme vaut

1 2 4 71 142 220S .

2. Les diviseurs propres de S dans

4 dont la somme vaut 7.

Divisibilité et congruence

Corrigés d'exercices / Version d'août 2012

2012-2013 Version d'août 2012

N°10 page 449

1. Comme suggéré dans l'énoncé, nous allons distinguer deux cas selon la parité de l'entier

Si n est pair

Nous posons

On a alors

2kq alors

22 2 2

44416nk q q et

21kq alors

222 2 2

4 4 2 1 16 16 4 8 2 2 4nk q q q qq et le

Si n est impair

Nous posons

On a alors

2kq alors

21 41 16 8182 1nk q qq qq et le reste

21kq alors

2 1 4 3 16 24 9 8 2 3 1 1nk q qq qq

En définitive :

Le reste de la division euclidienne de

2. Si l'entier n est impair, il en va de même de

N°16 page 451

On a facilement

713 91 donc, immédiatement : 70 13 910.

1000 910 90 et que l'on a : 90 6 13 12, on en déduit immédiatement :

1000 910 90 70 13 6 13 12 76 13 12

Divisibilité et congruence

Corrigés d'exercices / Version d'août 2012

2012-2013 Version d'août 2012 2.

10 12 13.

Soit encore :

10 1 13.

10 1 13

On doit donc distinguer deux cas :

Si n est pair, on a 11

10 1 13

Si n est impair, on a 11

10 1 13

10 12 13

ère

En effet, on a :

3133 3 3

10 10 10 10

Quel que soit l'entier naturel n, n et

1n sont de parités différentes : l'un est pair et

110 modulo 13. En d'autres termes,

ème

On peut aussi remarquer que l'on a :

33 3 3 3 3

10 10 10 10 1 10 1001

évidemment de même pour

10 1001 10 10

Pour tout entier naturel n,

N°29 page 458

Leur somme vaut :

1235610153072s .

Leurs somme vaut :

1 2 4 5 7 10 14 20 28 35 70 140 336t .