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La première partie « Analyse 2 » de ce cours traite des sujets 1 Calcul intégral, 2 mon style LATEX un peu cryptique, lors de la création du PDF et surtout de la version HTML (prendre {a, b} ∈ Sa,b) et majorés resp minorés d'après l' exercice précédent On pédagogique, avec nombreux exercices corrigés ) [2] X
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= e−1 = 0, d'où la non convergence uniforme de fn vers f ≡ 0 Exercice 2 Soit la suite de fonctions définie par I = R +; fn(x) = nαxe−
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MPCI2013
Corrigé du devoir surveillé n
o2 d"analyse 2Exercice 1
Etudier la nature des intégrales suivantes.
I=Z +1 0tt3+ 1dt J=Z
+1 1 tlnt4+ 1t 4 dtLa fonctiont7!tt
3+1est définie et continue sur l"intervalle[0;+1[. Il suffit donc d"étudier la
convergence en l"infini. En l"infini, on a l"équivalent tt3+ 1t!11t
2:Or, l"intégrale
R1 11t2dtest une intégrale de Riemann convergente. Par théorème de comparaison des
fonctions positives, on a donc la convergence de l"intégraleI.La fonctiont7!tlnt4+1t
4 est définie et continue surR. En l"infini, on a l"équivalent tlnt4+ 1t 4 =tln 1 +1t 4 t!1t1t 4=1t 3Or, l"intégrale
R1 11t3dtest une intégrale de Riemann convergente. Par comparaison des fonctions po-
sitives, on a donc la convergence de l"intégraleR10tlnt4t
4+1 dt. En moins l"infini, on a le mêmeéquivalent :
tlnt4+ 1t 4 t!11t 3Et sur l"intervalle] 1;0]les fonctionst7!1t
3ett7! tlnt4t
4+1 sont positives, et l"intégraleR1 11t3dt=R1
11t3dt(par changement de variablet7! t) est une intégrale de Riemann convergente.
Par théorème de comparaison, l"intégraleR01tlnt4t
4+1 dtconverge donc. Finalement l"intégrale J=Z 1 1 tlnt4t 4+ 1 dt=Z 1 0 tlnt4t 4+ 1 dtZ 0 1 tlnt4t 4+ 1 dt converge.Exercice 2
On considère la suite de fonctions(fn)n2Ndéfinie sur]0;+1[par f n(x) =nxenx:1.Etudier la convergence simple de la suite(fn)n2Nsur]0;+1[.
Pourx >0fixé, on a
limn!1nxenx= 0 par croissances comparées. Donc la suite de fonctions(fn)n2Nconverge simplement vers la fonction nulle sur]0;+1[.TSVP!MPCI2013
2.Rappeler la définition de la convergence uniforme de la suite(fn)n2Nversfsur une
partieIR. sup x2Ijfn(x)f(x)j !n!103.Montrer que la suite(fn)n2Nconverge uniformément versfsur tout intervalle de la
forme[a;+1[poura >0. Etudions les variations des fonctionsfnpour calculer la borne supérieuresupx2[a;+1[jfn(x)0j.On a pour toutx >0
f0n(x) =nenxn2xenx=n(1nx)enx:
Donc f0n(x)0()x1n
La fonctionfnest nulle en0, tend vers0en+1et est croissance sur[0;1n ]puis décroissante sur 1n ;+1]. Pournassez grand (aétant fixé),1n est inférieur àa, et doncfnatteint son maximum ena. On a donc limn!1sup x2[a;+1[jfn(x)j= limn!1fn(a) = 0:Cette dernière limite étant nulle d"après la convergence simple de la suite(fn)n2Nena. Ainsi,
la convergence de la suite(fn)n2Nest bien uniforme sur[a;+1[.4.La suite(fn)n2Nconverge-t-elle uniformément versfsur]0;+1[?
D"après ce que l"on a fait à la question précédente, la fonctionfnatteint son maximum surR+en1n
. Ce maximum vaut sup x2R+jfn(x)j=fn1n =e1; qui ne tend pas vers0. La convergence n"est donc pas uniforme surR+.Exercice 3
Le but de cet exercice est de montrer le résultat suivant :SoitP+1
n=0anune série à termes strictement positifs convergente, et soitRn=P+1 k=n+1ak son reste. Alors la série+1X n=0a nR n est divergente.1.Donner une expression deanen fonction des restesRnetRn1pour tout entier
n2N. On a R n1=+1X k=na k=an++1X k=n+1a k=an+Rn doncan=Rn1Rn. TSVP!MPCI2013
2.Démontrer l"inégalitéx1ln(x)pour tout réelx0.
Etudions la fonctionfdéfinie parf(x) =x1ln(x)pour toutx2R+. La fonction est dérivable, et on a f0(x) = 11x
Cette dérivée est positive si et seulement six1. La fonction atteint donc son minimum en 1.Donc on a pour toutx2R+f(x)f(1) = 0:
D"où l"inégalité
x1ln(x) pour toutx2R+.3.En déduire l"inégalitéanR
nln(Rn1)ln(Rn) pour tout entiern2N.Daprès la question 1., on aa
nR n=Rn1RnR n=Rn1R n1:En utilisant alors la question 2. pourx=Rn1R
n>0on obtient a nR nln(Rn1R n) = ln(Rn1)ln(Rn):4.Que peut-on dire de la série de terme généralln(Rn1)ln(Rn)?
C"est une série téléscopique. Sa somme de0à l"infini est donc égale à ln(R1)limn!1ln(Rn): Or,Rnest le reste d"une série convergente, donclimn!1Rn= 0. On a donc lim n!1ln(Rn) =1:Donc la somme de la série vaut
1X n=0ln(Rn1)ln(Rn) = +1:5.Conclure.
En sommant l"inégalité de la question 3., on a +1X n=0a nR nX n2Nln(Rn1)ln(Rn) Or, d"après ce que l"on a fait dans la question 4., on a X n2Nln(Rn1)ln(Rn) = +1:D"où
+1X n=0a nR n= +1: On a bien montré la divergence de la série de terme général anR n. TSVP!Question bonus (facultative)
Calculer les intégralesIetJde l"exercice 1.
Pour calculer l"intégraleI, on peut décomposer en éléments simples. Pour cela on factorise le
dénominateur :t3+ 1 = (t+ 1)(t2t+ 1). On obtient la décomposition tt3+ 1=13
1 +t1t+t211 +t
On sait alors calculer l"intégrale
Zx011 +tdt= ln(1 +x):
Pour calculer l"intégrale de la fonction
1+t1t+t2, on la coupe en deux parties :
1 +t1t+t2=t12
1t+t2+32
1t+t2 afin de faire apparaître une fraction de la forme u0u . On a Z x 0t121t+t2dt=12
ln(1x+x2): Quant au dernier morceau, on le réécrit pour faire apparaître une intégrale usuelle : Z x 0321t+t2dt=Z
x 032(t12 )2+ 114 dt=Z x
021 + (
2t1p3 )2dt On effectue le changement de variable affineu= (2t1)=p3. On a alorsdu=2p3 dt. Z x 0321t+t2dt=Z
(2x1)=p3 1p3 p31 +u2du=p3
arctan2x1p3 arctan 1p3En remettant tout ensemble, on a :
Z x0t1 +t3dt=p3
3 arctan2x1p3 arctan 1p3 +12 ln(1x+x2)ln(1 +x): Si l"on passe maintenant à la limite quandxtend vers l"infini, on a lim x!1arctan(2x1p3 ) =2 et lim x!112 ln(1x+x2)ln(1 +x) = limx!112 ln1x+x2(1 +x)2 =12 ln(1) = 0:De plus, on a
arctan 1p3 =6On obtient donc
I=23 p3:L"intégrale J est nullepuisque l"on a vu qu"elle était convergente, et que c"est l"intégrale d"une fonction
impaire sur un domaine symétrique en0.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1