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PC - Lyc´ee Dumont D"UrvilleExercices corrig´es : induction I.Induction li´ee au champ cr´e´e par un fil infini On d´eplace une boucle carr´ee de cot´e D dans un plan contenant un fil rectiligne infini parcouru par un courant I, deux des cˆot´es de la boucle restant par- all`eles au fil. IOz
OxOx(t)
D P Q R S V Oy1.D´eterminer la force ´electromotrice d"induction dans la boucle pr´ealablement orient´ee. Les r´esultats
seront exprim´es en fonction dex(t).2.On consid`ere maintenant que la boucle est conductrice, de r´esistance R et d"inductance L. On s"arrange
pour que le courant induit i circulant dans la boucle, lorsqu"elle s"´eloigne du fil, soit constant. Pr´eciser le
sens et la valeur de ce courant induit i.3.D´eterminer l"expression de la r´esultante des forces de Laplace exerc´ees sur la boucle. Le sens de cette
r´esultante ´etait-il pr´evisible ?4.D´eterminer le mouvement de la boucle permettant effectivement uncourant induit constant, sachant
quex=Dpourt= 0.II.Chute d"une tige
Une tige PQ, de largeur a et de masse m, peut
coulisser sans frottements, tout en restant horizon- tale, le long de deux rails verticaux. Le circuit ´electrique ainsi constitu´e est ferm´e par une bobine d"inductance L, et l"on n´eglige la r´esistance du circuit. Ce dernier est plong´e dans un champ magn´etique B uniforme et permanent, perpendiculaire au plan du circuit. At= 0, on d´ebloque la tige. gOzz(t)P Q
LB a RS1.D´eterminer la fem induite.
2.Faire le bilan des forces s"exer¸cant sur cette derni`ere, et les expliciter en fonction des donn´ees de l"exercice.
3.D´eterminer la loiz(t) , o`uz(t) est la position de la tige PQ sur un axe vertical orient´e vers le bas,
comparer au cas de la chute libre et conclure. 1III.Correction : Chute d"une tige
1.On oriente le circuit dans le sens horaire (PQRS), le vecteur normal est oppos´e `a-→B. Le flux du champ
magn´etique `a travers le circuit s"´ecrit :φ=-aB(z0-z(t)) o`uz0d´esigne la cote du segmentRS.
Ainsi d"apr`es la loi de Faraday:e=-dφ
dt=-aBz. L e P Q RSi On en d´eduit l"´equation ´electrique `a partir du circuit´equivalent:e=Ldi
dt=-aBz: l"´equation ´electrique contient un terme m´ecanique.2.La tige subit son poids :mg-→ez, la force de Laplace :i--→PQΛ-→B=iaB-→ezet la r´eaction des rails : pas de
composante surOzen absence de frottements. RFD appliqu´ee `a la barre et projet´ee surOz:mdV dt=mg+iaB: l"´equation m´ecanique contient un terme´electrique.
3.On int`egre l"´equation ´electrique par rapport au temps soit:Li(t) =-aBz(t)+Co`uCest une constante
d"int´egration.At= 0 :zetisont nuls (le courant dans la bobine est continu, il est nul juste avant de lib´erer la tige, il est
nul juste apr`es) ainsiC= 0 eti=-aBz L. On remplace dans l"´equation m´ecanique :m¨z=mg-a2B2zLou encore ¨z+a2B2 mLz=g. On reconnait un oscillateur harmonique de pulsation propreω0=? a2B2 mLsoit la solution:z(t) =mgLa2B2+Asin(ω0t)+Dcos(ω0t). On d´etermine les constantesAetDen ´ecrivant quez(t= 0) = 0 et(t= 0) = 0 soit
z(t) =mgL a2B2(1-cos(ω0t)).Le cadre a un mouvement oscillant.
IV.Correction : Induction li´ee au champ cr´e´e par un fil infini1.On oriente le circuit selonPQRS(sens horaire), on a donc-→n=-→ey. Le champ magn´etique cr´e´e par le
fil infini s"´ecrit ici -→B=μ0I2πx-→ey(ce champ est orient´e par la main droite : le pouce suit la direction deIet
le poignet tourne dans le sens de -→B).On en d´eduit le flux de
-→B:φ=??μ0I z0+D z 0dz? x(t)+D x(t)dxx=μ0ID2πln(x(t) +Dx(t). On en d´eduit la fem induite par la loi de faraday :e=-dφ dt=μ0ID2π(V(t)x(t) +D-V(t)x(t)) (en effetdxdt=V(t)).2.La boucle est parcourue par un courant induit dont les effets s"opposent aux causes qui lui ont donn´e
naissance : c"est la loi de Lenz. Ici la cause est le mouvement de la boucle dans un champ magn´etique non
uniforme : la boucle s"´eloigne du fil et donc avance dans une zone o`u le champ magn´etique est de plus en plus
faible. Le courant induit dans la boucle doit cr´eer un champ magn´etique induit qui s"oppose aux variations
du champ magn´etique cr´e´e par le fil ce champ induit doit donc ˆetre selon-→ey, pour cela (r`egle de la main
droite!) le courant induit est dans le sensPQRS. 3. 2 idl idl idl idl BdFl dFldFl dFl PQ R SLes forces de Laplace sur les cˆot´esQRetSPse compensent. La r´esultante des forces de Laplace est donc
la somme des forces qui s"exercent sur les cˆot´esPQetRSsoit: F