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Système de numération et base
1 Notre système de numération
Notre système de numération est un système décimal de position. Il est constitué de 10 chiffres dont la position indique le nombre d"unités de la puissance de 10 correspondante.3405=3×103+4×102+0×101+5×100
Il a fallu attendre le XII
esiècle pour que ce système inventé en Inde arrive en occident.2 Notion de base
Définition 1 :Dans un système de position en baseb, on note un nombre Npar anan-1...a1a0b. Ce nombreNs"écrit dans notre système décimal de position par : N= Avecan,an-1,...a0des chiffres strictement inférieur àb. En baseb, il ne peut y avoir quebchiffres2.1 Conversion de la basebvers la base 10
•En base 2, il n"y a que 2 chiffres : 0 et 1 =32+16+0+4+2+1=55 •En base 5, il y a 5 chiffres : 0, 1, 2, 3 et 42315=2×52+3×51+1×50
=2×25+3×5+1=50+15+1=66 •En base 12, il y a douze chiffres. Comme nous n"avons que 10 chiffres dans notre système décimal, on prend souvent pour les deux derniers chiffresαpour le chiffre 10 etβpour le chiffre 11. Les douze chiffres sont donc : 0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9,αetβ.
1α612=1×122+10×121+6×120
=144+120+6=270PAUL MILAN1TERMINALE S SPÉ
Algorithme :Onpeutproposerl"algorithmesuivantpourtransformerunnombre de la basebvers la base décimale.On rentreQle nombre écrit en baseB. On ini-
tialise le nombreNen base 10 à zéro ainsi que le compteurI. La fonction E() correspond à la partie entière.Comme la calculette ne comprend que la base
10, on détecte les différents chiffres deQen ef-
fectuant des divisions successives par 10 et en retenant le reste que l"on multiplie par la puis- sance deBcorrespondanteExemple :SiQ=
20137etB=7, on obtient
alorsN=696Malheureusement, ce programme ne peut fonc-
tionner avec une base supérieure à 10 qui pos- sèdent des chiffres (α,β,...). La seule méthode serait de rentrer les chiffres deQdans une liste. Je laisse le lecteur me proposer un tel pro- gramme.Variables:Q,B,N,I,Rentiers
Entrées et initialisation
LireQ,B
0→N
0→I
Traitement
tant queQ>0faireQ-10×E?Q10?
→R E ?Q 10? →QN+R×BI→N
I+1→I
finSorties: AfficherN
2.2 Conversion de la base 10 vers la baseb
Propriété 1 :Pour déterminer l"écriture d"un nombre dans notre système de numération dans un système en baseb, on effectue des divisions succes- sives de ce nombre parb. On obtient le nombre en baseb, on prenant le der- nier quotient et en remontant tous les restes de ces divisions. •Donner l"écriture de 496 en base 7 4 9 6 6 77 07 0
071 01 0
371496=1×73+3×72+0×71+6×70=
1 3067
•Donner l"écriture de 2 278 en base 122 2 7 8
1 0 7 1 1 8 1 0 1 21 8 91 8 9
6 991 21 51 5
31 212 278=1×123+3×122+9×121+10(α)×120=
1 39α12
•Donner l"écriture de 149 en base 2.On utilise ici un procédé un peu différent car le nombre de divisions par 2
devient vite assez important. On connaît les puissances de 2 :