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Définition 2 : La fonction de fiabilité est définie par : ( ) ( ) 1 Weibull a choisi une loi sous forme de puissance avec 3 paramètres qui Exercice 1 (corrigé)

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rangs médians • Déduire pour chaque loi, les paramètres de Weibull fonctionnement avec une fiabilité de 95 EXERCICE 2 : ESTIMATION D'UNE LOI :

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Calculer les taux moyens de défaillance puis tracer le graphe d'évolution, et l' analyser puis le commenter Classes EXERCICE 7 : ETUDE DE FIABILITE GENERAL TRUCK : De quelle loi peut alors se rapprocher cette loi de Weibull ?

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loi exponentielle et W une loi de Weibull définies comme ci-dessus 1- Déterminez la fonction de hasard, la densité, et la fonction de survie de T La fonction de 

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de probabilité de défaillance de T et la fonction taux de défaillance Z (t) 4 Exercice 4 On estime que la fiabilité d'un appareil suit une loi de Weibull : R (t) = e

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23 jui 2015 · A Calculez la fiabilité F et la défaillance R pour T=300 heures valeurs de E2 et E3 afin de faire correspondre l'espérance et l'écart-type de la loi de Weibull antérieur (puisque la fonction a enfin été corrigé pour donner 

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21 fév 2020 · Cours de maintenance et fiabilité industriel ENSP 4GIM Pr L MEVA' On individualise leur temps de fonctionnement t0 t0 t0 ti td te La loi de Weibull, c' est une loi à trois paramètres permettant d'ajuster des taux de défaillances Mise en place d'actions permettant de corriger donc d'améliorer le moyen

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Trois types • Prévisionnelle (architecture du système et fiabilité Prévisible ( examen antérieur) – Elles sont Le taux de défaillance de la loi de Weibull est:

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Modèles de durée / Examen du 13 mai 2005

Corrigé

Durée 2h - tous les documents sont autorisés

Exercice n°1 (loi exponentielle)

Sous l'hypothèse d'une arrivée aléatoire des patients dans un laboratoire d'analyses médicales,

le temps passé à attendre avant d'être pris en charge est distribué selon une loi exponentielle

de paramètre , ie telle que la fonction de hasard soit constante égale à

1- Un patient a attendu 10 minutes. Donner la vraisemblance de cette observation, et la

représenter graphiquement en fonction du paramètre. On note T la v.a. qui mesure le temps d'attente, et t la réalisation de cette variable. Ici l'échantillon est réduit à une seule observation. La densité de probabilité de la loi exponentielle est t etf , donc la probabilité associée à l'échantillon est 11111
1 ,dtedtttTP t . La fonction de vraisemblance correspond à cette expression, lorsqu'on la considère comme une fonction de 1 t eV

Si l'on trace cette fonction en fonction de

, on trouve la forme caractéristique de la fonction de vraisemblance : une courbe avec un unique maximum :

Vraisemblance en fonction de lambda

00,0050,010,0150,020,0250,030,0350,04

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

lambda vraisemblance L'estimation de au maximum de vraisemblance s'obtient en déterminant la valeur qui annule la dérivée de la vraisemblance, donc = 1/t 1 . L'estimateur de au maximum de vraisemblance est donc la variable 1/ T.

2- A la fin de la journée, on tire au sort un échantillon de 10 patients parmi ceux de la

journée. Les temps d'attente observés sont (en minutes) : 1; 13; 4; 4; 3; 6; 23; 1; 16;

3. Donner la vraisemblance de cet échantillon. Quelle est l'estimation naturelle du

temps moyen passé dans ce service ? La densité des observations est la fonction , que l'on peut calculer, sous l'hypothèse d'indépendance entre les 10 patients, comme le produit des 10 densités de probabilités individuelles. Il est ici plus simple de passer à la log vraisemblance pour calculer l'estimation de . On transforme ainsi un produit en une somme de terme. Finalement on a =n/(t 1 t n ), et l'estimateur du maximum de vraisemblance est

T1 ou T est la v.a. qui donne la moyenne

empirique des observations. Le temps moyen passé dans le service est de 7,4 minutes.

3- Dans un groupe de 10 patients tirés au hasard, le plus petit temps d'attente est de 10

minutes. Que peut-on dire de plus ? (vraisemblance, temps moyen d'attente ?) On se trouve en situation de censure au premier décès, donc la vraisemblance s'écrit : expexp!! 1

1nTnTnnL

Le passage au logarithme conduit à

lnlnln 1 nTnL, d'où 1

1nT ; le temps

moyen d'attente estimé est donc de 100 minutes ! Exercice n°2 (modèle à risques concurrents) Dans cet exercice on utilise la paramétrisation suivante des lois exponentielles et de Weibull : loi exponentielle : e th1, loi de Weibull : 1 ww tth

On considère pour modéliser le fonctionnement d'un appareil jusqu'à sa défaillance le modèle

de durée WET,min où les variables aléatoires E et W sont indépendantes, E suivant une loi exponentielle et W une loi de Weibull définies comme ci-dessus.

1- Déterminez la fonction de hasard, la densité, et la fonction de survie de T.

La fonction de hasard s'écrit

1 1 wwe tth ce qui est la conséquence directe du fait que la fonction de survie de T est le produit des fonctions de survie de E et W : tWtEtWtEtWEtT !! ! !PrPr,Pr,minPrPr

On en déduit donc que

OO E weT tttSexp ; la densité s'obtient alors facilement en dérivant la fonction de survie (au signe près).

2- On suppose 2 et on veut déterminer la probabilité que la défaillance provienne de

E ; montrez que

OOS OO ew ew erfcET 22Pr
avec f S xux dueexerfc 22
2 la fonction d'erreur complémentaire. On pourra conditionner par la durée exponentielle, puis faire le changement de variable w xy

On écrit

>@EETEETPrPr ; mais ^`EWET et donc on peut écrire : f

OOquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35