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CHAPITRE 7. FLEXION.......................................................- 7.1 -

7.1. Définitions et exemples.....................................................- 7.1 -

7.1.1. Flexion pure......................................................- 7.1 -

7.1.2. Glissement et cisaillement dans les pièces fléchies........................- 7.1 -

7.1.3. Flexion simple....................................................- 7.3 -

7.2. Diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants.....................- 7.4 -

7.2.1. Conventions de signes..............................................- 7.4 -

7.2.2. Signification physique du moment de flexion.............................- 7.4 -

7.2.3. Diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants.............- 7.5 -

7.2.4. Résumé des relations entre le Mf

, le V et le type de charge..................- 7.6 - A) Relations entre le moment fléchissant et l'effort tranchant..............- 7.6 - B) Relations entre le type de charges et l'allure des diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants...........................- 7.6 - C) Relation entre le moment fléchissant et la déformée d'une poutre ........- 7.6 - D) Relation entre le type de charge et la position du moment fléchissant maximum d'une poutre...................................................- 7.7 - E) Trucs et astuces...............................................- 7.7 -

7.2.5. Marche à suivre pour tracer les diagrammes des V et Mf

...................- 7.8 -

7.2.6. Exemples........................................................- 7.9 -

A) Poutre sur deux appuis : charge ponctuelle.........................- 7.9 - B) Poutre sur deux appuis soumise à une charge uniformément répartie sur la partie droite..................................................- 7.10 - C) Poutre soumise à une charge ponctuelle et répartie..................- 7.12 -

7.3. Distribution des contraintes normales dans une section droite......................- 7.14 -

7.3.1. Généralités......................................................- 7.14 -

7.3.2. Relation fondamentale.............................................- 7.15 -

7.3.3. Axe fort, axe faible d'une section.....................................- 7.16 -

7.4. Contraintes tangentielles...................................................- 7.17 -

7.4.1. Glissement longitudinal............................................- 7.17 -

7.4.2. Glissement transversal.............................................- 7.20 -

7.5. Choix de la forme de la section droite.........................................- 7.21 -

7.5.1. En flexion.......................................................- 7.21 -

A) Cas des matériaux ductiles.....................................- 7.21 - B) Cas des matériaux fragiles......................................- 7.21 -

7.5.2. En cisaillement...................................................- 7.22 -

7.5.3. Section(s) dangereuse(s) d'une poutre................................- 7.23 -

7.6. Contraintes admissibles....................................................- 7.23 -

7.6.1. En flexion.......................................................- 7.23 -

7.6.2. En cisaillement...................................................- 7.23 -

7.7. Déformation de flexion des poutres isostatiques.................................- 7.28 -

7.7.1. Origine de la déformation - Equation de l'élastique......................- 7.28 -

7.7.2. Calcul de la flèche en un point : "Méthode différentielle".................- 7.29 -

7.7.3. Calcul de la flèche en un point : "Méthode des aires"....................- 7.32 -

A) Théorie.....................................................- 7.32 - B) Exemples...................................................- 7.33 - C) Récapitulatif - Résumé.........................................- 7.36 -

7.7.4. Flèche admissible.................................................- 7.37 -

7.8. Applications.............................................................- 7.39 -

7.8.1. Calcul d'une poutre en flexion suivant l'EUROCODE....................- 7.39 -

A) Principe de vérification........................................- 7.39 - B) Vérifications aux ELU.........................................- 7.39 - C) Vérifications aux ELS.........................................- 7.40 -

7.8.2. Calcul de poutres de plancher.......................................- 7.42 -

7.8.3. ! Calcul (simplifié) d'une dent de roue dentée (engrenage cylindrique)......- 7.46 -

7.8.4.

! Charges roulantes..............................................- 7.50 - A) Charge roulante unique........................................- 7.50 -

7.9. Démonstrations ..........................................................- 7.52 -

7.9.1. Démonstration de la formule de Navier pour la flexion...................- 7.52 -

7.9.2. Principe de réciprocité des contraintes tangentielles.....................- 7.53 -

Version du 15 août 2023 (13h35)

La flexion pure est un état de charge tel que, dans toute section droite d'une pièce, il n'existe qu'un moment fléchissant M f . Ce moment fléchissant doit être constant. fig. 7.1. - Flexion pure.

Définitions et exemples

C C on peut montrer que toute section droite de la barre le reste après déformation F © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion- 7.1 - fig. 7.2. - Glissement transversal. fig. 7.3. - Glissement longitudinal. glissement transversal efforts tranchants F F glissement longitudinal © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion- 7.2 - La flexion simple est un état de charge tel que dans toute section droite d'une pièce il n'existe qu'un moment fléchissant M f et un effort tranchant V associé. fig. 7.4. - Gauchissement. Une barre travaillant principalement à la flexion est appelée poutre. fig. 7.5. - Poutre de pont roulant : flexion simple. en même temps que les moments de flexion, des efforts tranchants P M f V © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion- 7.3 - fig. 7.6. - Flexion simple : convention de signes. moment fléchissants'il tend à mettre en traction les fibres inférieures longitudinales de la poutre effort tranchants'il tend à faire tourner le petit

élément dans le sens horlogique

charge p (x) si elle agit vers le bas

3RXUUHWURXYHUIDFLOHPHQWOHsigne des moments fléchissants M

f règle forceFpbasM f forceFphautM f signe des efforts tranchants V forceFpbasV forceFphautV

Remarque

de la gauche vers la droite Diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants M f M f f f f ssf ff © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion- 7.4 - fig. 7.7. - Signification du moment fléchissant.

Effort tranchant dans une section :

Somme des forces (réactions comprises) situées à droite (ou à gauche) de la section considérée.

Moment fléchissant dans une section

Somme des moments, de toutes les forces (réactions comprises) situées à droite (ou

à gauche) de la section considérée.

ss chaque coupureM f

Ven équilibrant le tronçon compris

entre une extrémité de la poutre et la coupure M f V VdM d x ou M V dx f f M f V= © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion- 7.5 -

fig. 7.8. - Relations entre le type de charges et l'allure des diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants.

M f V $Relations entre le moment fléchissant et l'effort tranchant M f est extrémun (minimum ou maximum)V s'annule M f croîtV est positif M f décroîtV est négatif ressautun point d'inflexion ()appuis d'extrémités extrémitésM f libres surface du diagramme des efforts tranchants

Relations entre le type de charges et l'allure des diagrammes des moments fléchissants et des efforts

tranchants sans chargefig. 7.8. (a) V V M f M f une charge uniformément répartie constantefig. 7.8. (b) V M f droit d'une force concentréefig. 7.8. (c) V M f Relation entre le moment fléchissant et la déformée d'une poutre © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion- 7.6 - fig. 7.9. - Relation entre le moment fléchissant et la déformée d'une poutre. fig. 7.10. - Position du M f max pour une charge répartie. positifconcavité vers le haut négatifconcavité vers le bas M f un point d'inflexion Relation entre le type de charge et la position du moment fléchissant maximum d'une poutre uniquement dRp A

Remarque importante

de manière continue entre l'appui et l'endroit du moment fléchissant maximum

Trucs et astuces

© R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion- 7.7 - fig. 7.11. - "Parabolisation" du diagramme des moments fléchissants lors d'une charge répartie. M f M f VM f VM f V V V= M f M f M f V= © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion- 7.8 - fig. 7.12. - Poutre sur 2 appuis avec charge ponctuelle. $Poutre sur deux appuis : charge ponctuelle f i =RFR AB M B -+==Rl Fl RFl l Ab Ab =RFl l Ba On coupe en un point et on équilibre de gauche à droite VRFl l ACAb- VRFFl l CBAa- On coupe en un point et on équilibre de gauche à droite M fA x MRx fACA- xl M RlFl l l M afCAaab f

MRxFxl

fC BAa- xl M RlFl fB A b moment fléchissant maximum Le moment fléchissant maximum se situe à l'endroit ou l'effort tranchant s'annule © R. Itterbeek Résistance des Matériaux - Flexion- 7.9 - fig. 7.13. - Recherche du moment maximum au moyen de la surface du diagramme des efforts tranchants.

Remarque importante

charge répartiecharge ponctuelle (WTXHquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35